2026届高三数学一轮复习课后习题考点规范练30 平面向量的概念及线性运算（Word版附解析）

这是一份2026届高三数学一轮复习课后习题考点规范练30 平面向量的概念及线性运算（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。
1.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的充分条件是( )
A.a=-bB.a∥b
C.a=2bD.a∥b,且|a|=|b|
答案:C
解析:由a|a|表示与a同向的单位向量,b|b|表示与b同向的单位向量,故只要a与b同向即可,观察可知C满足题意.
2.在△ABC中,AB=c,AC=b.若点D满足BD=2DC,则AD等于( )
A.23b+13cB.53c-23b
C.23b-13cD.13b+23c
答案:A
解析:如图,可知AD=AB+BD=AB+23(AC-AB)=c+23(b-c)=23b+13c.故选A.
3.设向量a,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是( )
A.-2B.-1
C.1D.2
答案:B
解析:∵BC=a+b,CD=a-2b,
∴BD=BC+CD=2a-b.
又A,B,D三点共线,∴AB,BD共线,
∴存在实数λ,使得AB=λBD,即2a+pb=λ(2a-b),
∴2=2λ,p=-λ,解得λ=1,p=-1.
4.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2OP=2OA+BA,则( )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的反向延长线上
C.点P在线段AB的延长线上
D.点P不在直线AB上
答案:B
解析:因为2OP=2OA+BA,所以2AP=BA.
所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.
5.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且OA+OB+OC=0,则△ABC的一个内角A等于( )
A.30°B.60°
C.90°D.120°
答案:B
解析:由OA+OB+OC=0,得点O为△ABC的重心.
因为点O为△ABC外接圆的圆心,所以△ABC为等边三角形,故A=60°.
6.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是( )
A.矩形B.平行四边形
C.梯形D.以上都不对
答案:C
解析:∵AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC,
∴AD∥BC.
又AB与CD不平行,∴四边形ABCD是梯形.
7.若M是△ABC所在平面内的一点,且满足5AM=AB+3AC,则△ABM与△ABC的面积比为( )
A.15B.25C.35D.45
答案:C
解析:如图,设AB的中点为D.
由5AM=AB+3AC,
得3AM-3AC=2AD-2AM,即3CM=2MD.
故C,M,D三点共线,且MD=35CD,得△ABM与△ABC对于边AB上的两高之比为3∶5,则△ABM与△ABC的面积比为35,故选C.
8.在△ABC中,E为AB边的中点,D为AC边上的点,BD,CE交于点F.若AF=37AB+17AC,则ACAD的值为 .
答案:4
解析:设AC=λAD,因为AF=37AB+17AC,所以AF=37AB+17λAD.
由B,F,D三点在同一条直线上,
即37+17λ=1,所以λ=4,得ACAD=4.
9.已知D为△ABC的边BC的中点,点P满足PA+BP+CP=0,AP=λPD,则实数λ的值为 .
答案:-2
解析:由PA+BP+CP=0,得PB+PC=PA.
又PB+PC=2PD,所以PA=2PD,所以AP=-2PD,即λ=-2.
二、综合应用
10.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD等于( )
A.a-12bB.12a-b
C.a+12bD.12a+b
答案:D
解析:如图,连接OC,OD,CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,可得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,从而△OAC和△OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形,所以四边形OACD为菱形,所以AD=AO+AC=12AB+AC=12a+b,故选D.
11.(多选)在△ABC中,D为AC上一点,且满足AD=13DC.若P为BD上一点,且满足AP=λAB+μAC,λ,μ均为正实数,则下列结论正确的是( )
A.λμ的最小值为16
B.λμ的最大值为116
C.1λ+14μ的最大值为16
D.1λ+14μ的最小值为4
答案:BD
解析:∵AD=13DC,∴AC=4AD,
∴AP=λAB+4μAD,又P,B,D三点共线,
∴λ+4μ=1.
已知λ,μ均为正实数,∴1=λ+4μ≥2λ·4μ=4λμ,可得λμ≤116,当且仅当λ=12,μ=18时取等号;B正确.
1λ+14μ=(λ+4μ)·1λ+14μ=2+4μλ+λ4μ≥2+24μλ·λ4μ=4,当且仅当λ=12,μ=18时取等号.D正确.
12.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足OP=13(12OA+12OB+2OC),则点P一定为△ABC的( )
A.边AB中线的中点
B.边AB中线的三等分点(非重心)
C.重心
D.边AB的中点
答案:B
解析:设AB的中点为M,则12OA+12OB=OM,
所以OP=13(OM+2OC),即3OP=OM+2OC,OP-OM=2OC-2OP,即MP=2PC.
因为MP与PC有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近点C的一个三等分点.
13.已知△ABC是边长为4的正三角形,D,P是△ABC内的两点,且满足AD=14(AB+AC),AP=AD+18BC,则△APD的面积为( )
A.34B.32
C.3D.23
答案:A
解析:如图,取BC的中点E,连接AE,因为△ABC是边长为4的正三角形,所以AE⊥BC,AE=12(AB+AC).
又AD=14(AB+AC),
所以D是AE的中点,即AD=3.
取AF=18BC,以AD,AF为邻边作平行四边形,可知AP=AD+18BC=AD+AF.
因为△APD是直角三角形,且DP=AF=12,所以△APD的面积为12×12×3=34.
14.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 .
答案:12
解析:因为DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(BA+AC)=-16AB+23AC,所以λ1=-16,λ2=23,所以λ1+λ2=12.
三、探究创新
15.如图,有5个全等的小正方形,BD=xAE+yAF,则x+y的值是 .
答案:1
解析:由平面向量的运算可知BD=AD-AB.
∵AD=2AE,AB=AH+HB=2AF-AE,
∴BD=AD-AB=2AE-(2AF-AE)=3AE-2AF.
∵AE,AF不共线,且BD=xAE+yAF,
即xAE+yAF=3AE-2AF,
∴x=3,y=-2,
∴x+y=1.
16.已知a,b不共线,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设t∈R,若3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.
解:由题设知,CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得CE=kCD,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,
整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.
因为a,b不共线,
所以有t-3+3k=0,t-2k=0,
解得t=65.
故存在实数t=65,使C,D,E三点在一条直线上.