2022高考数学一轮复习课时规范练24平面向量的概念及线性运算（含解析）

课时规范练24　平面向量的概念及线性运算

基础巩固组

1.下列说法错误的是(　　)

A.零向量与任一向量平行

B.方向相反的两个非零向量不一定共线

C.零向量的长度为0

D.方向相反的两个非零向量必不相等

2.设a,b是非零向量,则a=2b是成立的(　　)

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

3.(2020河南实验中学4月模拟,6)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则=(　　)

A. B.

C. D.

4.已知向量a与b不共线,=a+mb,=na+b(m,n∈R),则共线的条件是(　　)

A.m+n=0 B.m-n=0

C.mn+1=0 D.mn-1=0

5.在△ABC中,AD是边BC上的中线,过点B的直线l与AD,AC分别相交于E,F两点,若=λ,则λ=(　　)

A. B. 

C. D.

6.(2020安徽合肥二模,文5)在平行四边形ABCD中,若,AE交BD于F点,则=(　　)

A. B.

C. D.

7.已知O是四边形ABCD所在平面上任一点,且||=||,则四边形ABCD一定为(　　)

A.菱形 B.任意四边形

C.平行四边形 D.矩形

8.已知向量e1与e2不共线,且向量=e1+me2,=ne1+e2,若A,B,C三点共线,则实数m,n满足的条件是 (　　)

A.mn=1 B.mn=-1

C.m+n=1 D.m+n=-1

9.(2020安徽合肥二中高三段考)已知P为△ABC所在平面内一点,=0,||=||=||=2,则△ABC的面积等于(　　)

A. B.2

C.3 D.4

10.(2020河北武邑中学质检)在锐角三角形ABC中,=3=x+y(x,y∈R),则=　　　　　. 

11.(2020山东德州高三模拟)设向量a,b不平行,向量a+λb与-a+b平行.则实数λ=　　　. 

综合提升组

12.(2020辽宁庄河高级中学期中)有下列说法,其中正确的是(　　)

A.若a∥b,b∥c,则a∥c

B.若2+3=0,S△AOC,S△ABC分别表示△AOC,△ABC的面积,则S△AOC∶S△ABC=1∶6

C.两个非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,则a与b共线且同向

D.若a∥b,则存在唯一实数λ使得a=λb

13.设a,b是非零向量,则“存在实数λ,使得a=λb”是“|a+b|=|a|+|b|”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

14.在等腰梯形ABCD中,=2,点E是线段BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=(　　)

A. B. 

C. D.

15.过△ABC的重心G作直线l,已知l与AB、AC的交点分别为M,N,,若=λ,则实数λ的值为 (　　)

A. B.

C. D.

16.在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=　　　　　. 

创新应用组

17.在平行四边形ABCD中,M是DC的中点,向量=2,设=a,=b,则=　　　　　. 

18.(2020山东青岛西海岸联盟校模考)在△ABC中,有如下结论:若M为△ABC的重心,则=0.设a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,M为△ABC的重心.若a+b=0,则内角A的大小为　　　　;当a=3时,△ABC的面积为　　　　. 

参考答案

课时规范练24　平面向量的概念

及线性运算

1.B　零向量的定义:零向量与任一向量平行,与任意向量共线,零向量的方向不确定,但模的大小确定为0,故A与C都是正确的;因为方向相反的两个非零向量必定平行,所以方向相反的两个非零向量一定共线,故B错误;对于D,因为向量相等的定义是:长度相等且方向相同的向量相等,所以方向相反的两个非零向量必不相等,故D正确,故选B.

2.B　因为a,b是非零向量,由a=2b可知,a,b方向相同,所以成立,即由a=2b可推出成立;

若,则a=b,而不一定等于2,所以不一定推出a=2b,所以a=2b是成立的充分不必要条件.故选B.

3.B　∵D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,∴=()+()=)=.故选B.

4.D　由=a+mb,=na+b(m,n∈R)共线,得a+mb=λ(na+b)=λna+λb,∵向量a与b不共线,∴即mn-1=0,故选D.

5.A　)-.

=λ,由于共线,所以=μ,

即=μ(λ),所以μ=,μλ=,得λ=.故选A.

6.D　如图,∵,∴E为CD的中点.

设=λ=λ=λ=+λ,

又B,F,D三点共线,∴+λ=1,解得λ=,∴.故选D.

7.C　由||=||,可得||=||,即四边形中|AB|=|CD|.

又由,所以AB∥CD,即四边形ABCD中有一组对边平行且相等,所以四边形ABCD为平行四边形,故选C.

8.A　因为A,B,C三点共线,所以一定存在一个确定的实数λ,使得=λ,所以有e1+me2=nλe1+λe2,由此可得所以mn=1.故选A.

9.B　由||=||得,△PBC是等腰三角形.取BC的中点D,连接PD,则PD⊥BC.又=0,所以=-()=-2,所以PD=AB=1,且PD∥AB,故AB⊥BC,即△ABC是直角三角形.由||=2,||=1可得||=,则||=2,所以△ABC的面积为×2×2=2.

10.3　由题设可得=3(),整理,得4=3,即,则x=,y=.故=3.

11.-4　∵a,b不平行,a+λb与-a+b平行,∴存在实数μ,使a+λb=μ(-a+b),∴∴λ=-4.

12.B　A错误,例如b=0,推不出a∥c;设AC的中点为M,BC的中点为D,因为2+3=0,所以2×2+2=0,即2=-,所以O是MD的三等分点,可知O到AC的距离等于D到AC距离的,而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍,故可知O到AC的距离等于B到AC距离的,根据三角形面积公式可知B正确;C错误,两边平方可得-2a·b=2|a||b|,所以cos<a,b>=-1,即夹角为π,两向量反向,结论不正确;D错误,例如a=0,b=0,λ值不唯一.故选B.

13.B　存在实数λ,使得a=λb,说明向量a,b共线,当a,b同向时,|a+b|=|a|+|b|成立,当a,b反向时,|a+b|=|a|+|b|不成立,所以,充分性不成立.当|a+b|=|a|+|b|成立时,有a,b同向,存在实数λ,使得a=λb成立,必要性成立,即“存在实数λ,使得a=λb”是“|a+b|=|a|+|b|”的必要不充分条件,故选B.

14.B　(方法1)取AB的中点F,连接CF,则四边形AFCD是平行四边形,所以CF∥AD,且CF=AD.

因为)==,所以λ=,μ=,λ+μ=,故选B.

(方法2)连接AC,)=)=)=,所以λ=,μ=,λ+μ=,故选B.

15.B　设=x,因为G为△ABC的重心,所以=3,即.由于M,N,G三点共线,

所以=1,即x=.因为,S△ABC=|||sinA,S△AMN=|||sinA,

所以,即有=9,

解得λ=,故选B.

16.　由题意,得,则2,

即.

故λ+μ=.

17.a-b　根据题意画图如下.

则a,)=a-b,∴a-b-a=a-b.

18.　由a+b=a+bc(-)=a-c+b-c=0,且不共线,∴a-c=b-c=0,

∴a=b=c.在△ABC中,由余弦定理可求得cosA=,∴A=.若a=3,则b=3,c=3,S△ABC=bcsinA=×3×3.