2026届高三数学一轮复习课后习题考点规范练55 古典概型、条件概率与全概率公式（Word版附解析）

这是一份2026届高三数学一轮复习课后习题考点规范练55 古典概型、条件概率与全概率公式（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。
1.某市气象监测资料表明,清明节当天下雨的概率为0.9,清明节当天及随后一天都下雨的概率为0.63.若该市某年清明节当天下雨,则随后一天也下雨的概率为( )
B.0.7
C.0.9
答案:B
解析:设“清明节当天下雨”为事件A,“清明节随后一天下雨”为事件B,则P(A)=0.9,P(AB)=0.63,
故P(B|A)=P(AB)P(A)=
2.将三枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A=“三个点数都不同”,B=“至少出现一个3点”,则概率P(A|B),P(B|A)分别是( )
A.6091,12B.12,6091
C.518,6091D.91216,12
答案:A
解析:由题意可知P(A)=6×5×463=59,
P(B)=63-5363=91216,
P(AB)=C31×5×463=518,
故P(A|B)=P(AB)P(B)=6091,
P(B|A)=P(AB)P(A)=12.
3.已知P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(A|B)=0.3,则P(B|A)=( )
B.0.5
答案:A
解析:P(B|A)=P(B)P(A|B)P(A)=0.5×
4.纹样是中国传统文化艺术,小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣,他收集了9枚不同的纹样徽章,其中4枚凤纹徽章,5枚龙纹徽章.小楠从9枚徽章中任取3枚,则其中至少有1枚凤纹徽章的概率为( )
A.34B.3742
C.2137D.542
答案:B
解析:从9枚徽章中任取3枚的不同取法有C93种,其中没有凤纹徽章的不同取法有C53种,
故其中至少有1枚凤纹徽章的概率为1-C53C93=3742.
5.(2024天津,13)有A,B,C,D,E五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加,则甲选到A活动的概率为 ;已知乙选了A活动,那么他再选择B活动的概率为 .
答案:35 12
解析:(方法一:列举法)从五个活动中选三个有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种情况,其中甲选到A活动有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,共6种情况,则甲选到A活动的概率为610=35;乙选了A活动有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,共6种情况,其中他再选择B活动有ABC,ABD,ABE,共3种情况,则乙选了A活动,再选择B活动的概率为36=12.
(方法二)甲选到A活动的概率P=C42C53=35;
设乙选了A活动为事件M,乙选了B活动为事件N,
则P(M)=C42C53=35,P(MN)=C31C53=310,
所以乙选了A活动,再选择B活动的概率P(N|M)=P(MN)P(M)=12.
6.已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的,三人生产的产品分别占总产量的20%,40%,40%.已知三人生产产品的次品率分别为5%,4%,3%,现从这批零件中任取一个零件,则它是次品的概率为 .
答案:0.038
解析:设事件A=“任取一个零件是次品”,B1=“任取一个零件是甲生产的”;B2=“任取一个零件是乙生产的”,B3=“任取一个零件是丙生产的”,则由题意可知P(B1)=0.2,P(B2)=0.4,P(B3)=0.4,P(A|B1)=0.05,P(A|B2)=0.04,P(A|B3)=0.03,故P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)·P(A|B3)=0.2×0.05+0.4×0.04+0.4×0.03=0.038.
7.某海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中抽取6件商品进行检测.
(1)求分别从A,B,C三个地区的商品中抽取的商品数量;
(2)若从这6件商品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.
解:(1)由题意可知从A地区商品中抽取50×650+150+100=1(件),从B地区商品中抽取150×650+150+100=3(件),从C地区商品中抽取100×650+150+100=2(件).
(2)从6件商品中随机抽取2件,有C62=15(种)不同的取法,其中2件商品来自相同地区的不同取法有C32+C22=4(种),故所求概率为415.
8.已知某人从外地赶来参加紧急会议.他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是310,15,110,25,若他乘飞机来,则不会迟到;而乘火车、轮船或汽车来,迟到的概率分别为14,13,112.已知此人迟到,请推断他乘哪种交通工具来的可能性最大.
解:设事件A1=“乘火车来”,A2=“乘轮船来”,A3=“乘汽车来”,A4=“乘飞机来”,B=“迟到”.
由题意得P(A1)=310,P(A2)=15,P(A3)=110,P(A4)=25,P(B|A1)=14,P(B|A2)=13,P(B|A3)=112,P(B|A4)=0.
由贝叶斯公式,得
P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)∑k=14P(Ak)P(B|Ak)=12.
同理P(A2|B)=49,P(A3|B)=118,P(A4|B)=0.
因为P(A1|B)>P(A2|B)>P(A3|B)>P(A4|B),
所以推断此人乘火车来的可能性最大.
二、综合应用
9.已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)内单调递增的概率是( )
A.512B.13
C.14D.16
答案:A
解析:由题意可知样本空间Ω={(a,b)|a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5}},其中共有12个等可能的样本点.
设事件A=“函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)内单调递增”.
由函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)内单调递增,可知
①当a=0时,f(x)=-2bx,则-2b>0,即b0时,需要满足ba≤1,故当a=1时,b=-1或b=1,当a=2时,b=-1或b=1.
所以A={(0,-1),(1,-1),(1,1),(2,-1),(2,1)},n(A)=5.
所以函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)内单调递增的概率P(A)=512.
10.为了解学生的体重状况,某校随机抽取了一批学生测量体重,经统计,这批学生的体重数据(单位:千克)全部介于45至70之间.将数据分成5组,并得到频率分布直方图如图所示.现采用分层随机抽样的方法,从[55,60),[60,65),[65,70]这三个区间中随机抽取6名学生,再从这6名学生中随机抽取3人,则这3人中恰有2人体重位于区间[55,60)的概率是( )
A.815B.920
C.35D.910
答案:B
解析:由频率分布直方图,可得(0.01+0.07+0.06+a+0.02)×5=1,
解得a=0.04.
由分层随机抽样,可知从区间[55,60)中抽取6×+0.04+0.02=3(人),
从区间[60,65)中抽取6×+0.04+0.02=2(人),
从区间[65,70]中抽取6×+0.04+0.02=1(人).
所以从这6名学生中随机抽取3人,这3人中恰有2人体重位于区间[55,60)的概率为C32C31C63=920.
11.已知袋中有大小、质地相同的4个黑球,3个白球.现掷一枚均匀的骰子,掷出几点就从袋中取出几个球.若取出的球全是白球,则掷出2点的概率为( )
A.23B.14
C.521D.523
答案:C
解析:记事件Ai=“骰子掷出的点数为i(i=1,2,3)”,B=“取出的球全是白球”,
则P(Ai)=16,P(B|Ai)=C3iC7i,
所以P(B)=∑i=13P(Ai)P(B|Ai)=16×C31C71+16×C32C72+16×C33C73=110.
所以若取出的球全是白球,则掷出2点的概率为P(A2|B)=P(A2B)P(B)=16×C32C72110=521.
12.已知甲箱产品中有5个正品和3个次品,乙箱产品中有4个正品和3个次品.
(1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率;
(2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,再从乙箱中任取1个产品,求取出的这个产品是正品的概率.
解:(1)从甲箱中任取2个产品,有C82=28(种)不同的取法,
其中2个产品都是次品的不同取法有C32=3(种),
故从甲箱中任取2个产品,这2个产品都是次品的概率为328.
(2)设事件A=“从乙箱中取出1个产品是正品”,B1=“从甲箱中取出2个产品都是正品”,B2=“从甲箱中取出1个正品,1个次品”,B3=“从甲箱中取出2个产品都是次品”,则
P(B1)=C52C82=514,
P(B2)=C51C31C82=1528,
P(B3)=C32C82=328,
P(A|B1)=23,
P(A|B2)=59,
P(A|B3)=49,
故所求概率P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=514×23+1528×59+328×49=712.
13.某种仪器由三个部件组装而成.假设各部件质量互不影响,它们的优质品率分别为0.8,0.7,0.9.如果三个部件都是优质品,那么组装后的仪器一定合格;如果有一个部件不是优质品,那么组装后仪器的不合格率为0.2;如果有两个部件不是优质品,那么组装后仪器的不合格率为0.6;如果三个部件都不是优质品,那么组装后仪器的不合格率为0.9.
(1)求仪器的不合格率;
(2)若已发现一台仪器不合格,则它有几个部件不是优质品的概率最大?
解:记事件B=“仪器不合格”,Ai=“仪器有i个部件不是优质品”,i=0,1,2,3.
显然A0∪A1∪A2∪A3=Ω,且A0,A1,A2,A3两两互斥.
根据题意得P(B|A0)=0,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=0.9,P(A0)=0.8×0.7×0.9=0.504,
P(A1)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398,
P(A3)=0.2×0.3×0.1=0.006,
P(A2)=1-P(A0)-P(A1)-P(A3)=0.092.
(1)由全概率公式,得
P(B)=∑i=03P(Ai)P(B|Ai)=0.504×0+0.398×0.2+0.092×0.6+0.006×0.9=0.140 2.
(2)由贝叶斯公式,得P(A0|B)=0,
P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)P(B)=398701,
P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)P(B)=276701,
P(A3|B)=P(A3)P(B|A3)P(B)=27701.
比较结果可知,若已发现一台仪器不合格,则它有一个部件不是优质品的概率最大.
三、探究创新
14.(2023新高考Ⅰ,21)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选,第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(∑i=1nXi)=∑i=1nqi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
解:(1)设事件A:“第2次投篮的人是乙”,
则P(A)=P(甲乙)+P(乙乙)=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.
(2)设第i次是甲投的概率为pi,则第i次是乙投的概率为1-pi.
由题意可知p1=12,
pi+1=pi×0.6+(1-pi)×0.2=0.2+0.4pi.
则pi+1-13=25pi+15-13=25(pi-13),
故数列{pi-13}为公比为25的等比数列.
故pi-13=(p1-13)×25i-1=16×25i-1,
得到pi=13+16×25i-1,i∈N*.
(3)由(2)知,每次投篮的人选都服从二项分布,
所以当n≥1时,E(Y)=∑i=1npi=16∑i=1n25i-1+n3=518[1-25n]+n3,n∈N*.
综上所述,可知E(Y)=∑i=1npi=518[1-25n]+n3,n∈N*.地区
A
B
C
数量/件
50
150
100