2026届高三数学一轮复习课后习题考点规范练59 正态分布（Word版附解析）

这是一份2026届高三数学一轮复习课后习题考点规范练59 正态分布（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。
1.已知随机变量X服从正态分布N(1,0.16),则下列结论不正确的是( )
A.E(X)=1B.D(X)=0.4
C.P(X>1)=0.5D.D(X)=0.16
答案:B
解析:因为随机变量X服从正态分布N(1,0.16),
所以μ=1,σ=0.4,
所以E(X)=1,D(X)=0.16,P(X>1)=0.5.
2.(多选)甲、乙两名高中同学历次数学测试的成绩(百分制)分别服从正态分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法正确的是( )
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7.
A.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩
B.甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
C.甲同学的成绩比乙同学的成绩更集中于平均值附近
D.若σ1=5,则随机抽取一次,甲同学的成绩高于80的概率约为0.158 65
答案:ACD
解析:由曲线知,甲同学的平均成绩为75,乙同学的平均成绩为85,所以乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩,故A正确,B错误.
由曲线可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩更集中于平均值附近,故C正确.
若σ1=5,则随机抽取一次,甲同学的成绩高于80的概率约为0.5-12×0.682 7=0.158 65,故D正确.
故选ACD.
3.(多选)4月23日为世界读书日,已知某高校学生每周阅读时间X(单位:h)服从正态分布N(9,4),则下列说法正确的是( )
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
A.该校学生每周平均阅读时间为9 h
B.该校学生每周阅读时间的标准差为4
C.该校学生每周阅读时间不超过3 h的人数约占该校学生总人数的0.3%
D.若该校有10 000名学生,则每周阅读时间在3~5 h的人数约为214
答案:AD
解析:因为X~N(9,4),所以μ=9,σ=2,所以该校学生每周平均阅读时间为9 h,该校学生每周阅读时间的标准差为2,故A正确,B错误.
因为P(3≤X≤15)≈0.997 3,
所以P(X≤3)=1-P(3≤X≤15)2≈0.001 35,
所以该校学生每周阅读时间不超过3 h的人数约占该校学生总人数的0.135%,故C错误.
因为P(5≤X≤13)≈0.954 5,所以P(3≤X≤5)=12[P(3≤X≤15)-P(5≤X≤13)]≈0.021 4,
所以每周阅读时间在3~5 h的人数约为10 000×0.021 4=214,故D正确.
4.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(X>-1)+P(X≥5)=1,则μ=( )
A.-1B.1
C.-2D.2
答案:D
解析:因为P(X>-1)+P(X≥5)=1,而P(X>-1)+P(X≤-1)=1,
所以P(X≥5)=P(X≤-1).
又X~N(μ,σ2),
所以μ=5+(-1)2=2.
5.已知某大型企业为10 000名员工定制工作服,设员工的身高X(单位:cm)服从正态分布N(172,52),则适合身高在177~182 cm的员工的工作服大约要定制 套.
答案:1 359
解析:因为X~N(172,52),所以P(167≤X≤177)≈0.682 7,
P(162≤X≤182)≈0.954 5,
所以P(177≤X≤182)=12[P(162≤X≤182)-P(167≤X≤177)]≈0.135 9.
所以适合身高在177~182 cm的员工的工作服大约要定制10 000×0.135 9=1 359(套).
6.某高速公路收费站有三个高速收费口,每天通过每个收费口的汽车数X(单位:辆)均服从正态分布N(600,σ2),若P(500≤X≤700)=35,三个收费口均能正常工作,且互不影响,则该收费站每天至少有一个收费口通过的汽车超过700辆的概率为 .
答案:61125
解析:因为X~N(600,σ2),P(500≤X≤700)=35,所以P(X>700)=12[1-P(500≤X≤700)]=15.
所以所求概率为1-1-153=61125.
7.某市教育局为了解高三学生的体育达标情况,对全市高三学生进行了体能测试(满分为100分).经分析,全市高三学生体能测试成绩X服从正态分布N(80,σ2).已知P(X95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取三名学生.
(1)求抽到的三名学生该次体能测试成绩在区间(80,85),(85,95),(95,100)内各有一人的概率;
(2)记抽到的三名学生该次体能测试成绩在区间(75,85)内的人数为Y,求随机变量Y的分布列和均值.
解:(1)因为X~N(80,σ2),
所以P(X>85)=P(X