2026届高三数学一轮复习课后习题章末目标检测卷8 解析几何（Word版附解析）

这是一份2026届高三数学一轮复习课后习题章末目标检测卷8 解析几何（Word版附解析），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.与直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线的方程为( )
A.3x-4y+4=0
B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0
C.3x-4y+16=0
D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0
答案:D
解析:设所求直线方程为3x-4y+m=0(m≠1),由已知得|m-1|5=3,解得m=16或m=-14.
故所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.
2.(2021全国Ⅱ,文5)点(3,0)到双曲线x216-y29=1的一条渐近线的距离为( )
A.95B.85C.65D.45
答案:A
解析:由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=34x,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为|3×3-4×0|32+(-4)2=95.故选A.
3.若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,过点C(-a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P的轨迹方程为( )
A.y2-4x+4y+8=0B.y2-2x-2y+2=0
C.y2+4x-4y+8=0D.y2-2x-y-1=0
答案:C
解析:由已知得圆x2+y2-ax+2y+1=0的圆心为a2,-1,因为圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,所以点a4,-12在直线y=x-1上,则a=2.
设圆心P的坐标为(x,y),因为过点C(-2,2)的圆P与y轴相切,所以(x+2)2+(y-2)2=|x|,整理得y2+4x-4y+8=0.
4.已知双曲线M:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),△ABC为等边三角形.若点A在y轴上,点B,C在双曲线M上,且双曲线M的实轴为△ABC的中位线,双曲线M的左焦点为F,经过点F与抛物线x2=16y的焦点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线M的方程为( )
A.x24-y24=1B.x28-y28=1
C.x24-y28=1D.x28-y24=1
答案:B
解析:因为双曲线M的实轴为等边三角形ABC的中位线,所以△ABC的边长为4a.
不妨设点B在第一象限,则点B(2a,3a),将点B的坐标代入x2a2-y2b2=1中,
得4a2a2-3a2b2=1,化简得a2=b2,所以a=b,所以c2=a2+b2=2a2,即c=2a,
所以双曲线M的左焦点F的坐标为(-2a,0),渐近线的斜率为±1.
因为抛物线x2=16y的焦点为D(0,4),
所以kDF=42a=22a.由题意,可知22a=1,
所以a=22,所以b=22.
所以双曲线M的方程为x28-y28=1.
5.已知点M是抛物线y2=x上的动点,点N是圆C1:(x+1)2+(y-4)2=1关于直线x-y+1=0对称的曲线C上的一点,则|MN|的最小值是( )

A.112-1B.102-1
C.2D.3-1
答案:A
解析:圆C1:(x+1)2+(y-4)2=1关于直线x-y+1=0对称的圆C的圆心坐标是(3,0),半径是1.
设点M的坐标是(y2,y),则圆C的圆心到点M的距离d=(y2-3)2+y2,当y2=52时,d的最小值是112,则|MN|的最小值是112-1.
6.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-y24=1有公共的焦点,双曲线C2的一条渐近线与以椭圆C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若椭圆C1恰好将线段AB三等分,则( )
A.a2=132B.a2=13
C.b2=12D.b2=2
答案:C
解析:由题意知a2=b2+5,则椭圆C1的方程可化为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0.
双曲线C2的一条渐近线方程为y=2x,
代入椭圆C1的方程,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,所以直线截椭圆C1的弦长d=5×2a4-5a25a2-5=23a,解得a2=112.所以b2=12.
7.已知F1,F2分别是双曲线x2-y2b2=1(b>0)的左、右焦点,过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P.若点P在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.(1,2)B.(3,+∞)
C.(1,3)∪(2,+∞)D.(2,+∞)
答案:D
解析:由题意知F1(-c,0),双曲线x2-y2b2=1(b>0)的渐近线方程为y=±bx.
不妨令过点F1的直线与直线y=bx平行,则直线方程为y=b(x+c),由y=b(x+c),y=-bx,得交点P-c2,bc2.
由点P在以线段F1F2为直径的圆外,
可得-c22+bc22>c2,即有b2>3,
则双曲线的离心率e=ca=1+b2>2.
8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.已知动点M与两定点A,B的距离之比为λ(λ>0,且λ≠1),则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系中,圆O:x2+y2=1,点A-12,0,B0,12,M为圆O上的动点,则2|MA|-|MB|的最大值为( )
A.52B.172C.32D.22
答案:B
解析:设点M(x,y),在平面直角坐标系中取一定点C(m,n),令2|MA|=|MC|,
即|MA||MC|=12,
则由阿氏圆的定义,可知点M的轨迹为圆.
又点M在圆O上,
所以点M的轨迹为圆O.
由|MA||MC|=x+122+y2(x-m)2+(y-n)2=12,
整理得x2+y2+2m+43x+2n3y=m2+n2-13,则2m+43=0,2n3=0,m2+n2-13=1,解得m=-2,n=0.故定点C(-2,0).
如图,当点M在点M1的位置时,2|MA|-|MB|=|MC|-|MB|的值最大,最大为|BC|=172.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知方程x2+y2+2ax-2ay=0,下列叙述正确的是( )
A.方程表示的是圆
B.当a≠0时,方程表示的圆过原点
C.方程表示的圆关于直线x+y=0对称
D.方程表示的圆的圆心在x轴上
答案:BC
解析:将方程配方,得(x+a)2+(y-a)2=2a2.
当a≠0时,方程表示圆,而且圆心坐标为(-a,a)在直线x+y=0上,
所以圆关于直线x+y=0对称.
将(0,0)代入原方程,左边=右边,
故当方程表示圆时,经过原点.
故A不正确,B,C正确,D不正确.
10.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,则下列说法正确的是( )
A.|AB|≥4
B.|OA|+|OB|>8
C.若点P(2,2),则|PA|+|AF|的最小值为3
D.△OAB的面积的最小值为2
答案:ACD
解析:由已知得F(1,0),不妨设点A在第一象限,
①若直线l的斜率不存在,则点A(1,2),B(1,-2),
则|AB|=4,|OA|+|OB|=2|OA|=25,S△OAB=12×4×1=2,可知B错误.
②若直线l的斜率存在,则设直线l的斜率为k,直线l的方程为y=k(x-1),显然k≠0,
由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2=2+4k2,
所以|AB|=x1+x2+2=4+4k2>4.
因为原点O到直线l的距离d=|k|k2+1,
所以S△OAB=12|AB|·d=12×4+4k2×|k|k2+1=21+1k2>2.
综上,|AB|≥4,S△OAB≥2,故A正确,D正确.
过点A向准线作垂线,垂足为N,
则|PA|+|AF|=|PA|+|AN|,
当P,A,N三点共线时,|PA|+|AF|取得最小值3,故C正确.
11.设F1,F2同时为椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2:x2a12-y2b12=1(a1>0,b1>0)的左、右焦点,椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M,椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1,e2,O为坐标原点,则下列说法正确的是( )
A.若|F1F2|=2|MO|,则1e12+1e22=2
B.若|F1F2|=2|MO|,则1e12+1e22=2
C.若|F1F2|=4|MF2|,则e1e2的取值范围是23,32
D.若|F1F2|=4|MF2|,则e1e2的取值范围是23,2
答案:BD
解析:如图,设|MF1|=m,|MF2|=n,焦距为2c,由椭圆的定义,可得m+n=2a,
由双曲线的定义,可得m-n=2a1,解得m=a+a1,n=a-a1,
当|F1F2|=2|MO|时,∠F1MF2=90°,所以m2+n2=4c2,
即a2+a12=2c2,所以a2c2+a12c2=2,即1e12+1e22=2.故A错误,B正确.
当|F1F2|=4|MF2|时,n=12c,即a-a1=12c,可得1e1-1e2=12,
由012,即10)的左、右焦点为F1,F2,P(2,2)为双曲线C上一点,且|PF1||PF2|=3,若线段PF1与双曲线C交于另一点A,则△PAF2的面积为 .
答案:924
解析:由已知得|PF1|=3|PF2|,又|PF1|2=(2+c)2+2,|PF2|2=(2-c)2+2,
所以(2+c)2+2=9[(2-c)2+2],
解得c=3或c=2.
因为点P(2,2)在双曲线C上,
所以4a2-2b2=1,a2+b2=9或4a2-2b2=1,a2+b2=4,
所以a2=3,b2=6或a2=2,b2=2(舍去),
所以双曲线C的方程为x23-y26=1.
又F1(-3,0),所以直线PF1的方程为y=25(x+3),与双曲线C的方程联立,消去x,整理得8y2-102y+4=0,
所以y1=24或y2=2(舍去),所以点A的坐标为-74,24,
所以S△PAF2=S△PF1F2-S△AF1F2=12×6×2-12×6×24=924.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)如图,矩形ABCD的两条对角线交于点M(3,0),AB边所在直线的方程为x-3y-7=0,点E(0,1)在BC边所在直线上.
(1)求AD边所在的直线方程.
(2)求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的方程.
解:(1)∵AB⊥AD,∴kAD=-1kAB=-113=-3.由已知得点E(0,1)关于点M(3,0)的对称点(6,-1)在直线AD上,
∴AD边所在直线的方程为y+1=-3(x-6),即3x+y-17=0.
(2)由3x+y-17=0,x-3y-7=0,得点A(5.8,-0.4),
r2=|AM|2=(5.8-3)2+(-0.4-0)2=8,
故矩形ABCD外接圆的方程为(x-3)2+y2=8.
16.(15分)已知中心在原点的双曲线C的渐近线方程为y=±2x,且该双曲线过点(2,2).
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)点A为双曲线C上任一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,过其中的一个焦点作∠F1AF2的平分线的垂线,垂足为点P,求点P的轨迹方程.
解:(1)根据题意,双曲线C的渐近线方程是y=±2x,则设双曲线C的方程为4x2-y2=λ(λ≠0),将点(2,2)的坐标代入,得λ=12,
则双曲线C的方程为4x2-y2=12,即x23-y212=1.
(2)如图,F1,F2是双曲线x23-y212=1的左、右焦点,过F2作∠F1AF2的平分线AB的垂线,垂足为P,并且交AF1于点Q,连接OP,则OP?12F1Q,由题意可得|AQ|=|AF2|.
所以|F1Q|=||AF1|-|AQ||=||AF1|-|AF2||=2a,
所以|OP|=a=3.由圆的定义可知,点P的轨迹是以点O为圆心,3为半径的圆,故点P的轨迹方程为x2+y2=3.
17.(15分)已知抛物线y2=2px(p>0)上的点T(3,t)到焦点F的距离为4.
(1)求t,p的值;
(2)设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且OA·OB=5(其中O为坐标原点).求证:直线AB过定点,并求出该定点的坐标.
(1)解:由抛物线的定义,得3+p2=4,解得p=2,
故抛物线的方程为y2=4x.
将点T(3,t)的坐标代入,解得t=±23.
(2)证明:设直线AB的方程为x=my+n,
点Ay124,y1,By224,y2,
由y2=4x,x=my+n,消去x,得y2-4my-4n=0,
则y1+y2=4m,y1y2=-4n.
由OA·OB=5,得(y1y2)216+y1y2=5,
所以y1y2=-20或y1y2=4(舍去),
即-4n=-20,即n=5,
所以直线AB的方程为x=my+5,
所以直线AB过定点(5,0).
18.(17分)(2023新高考Ⅰ,22)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点0,12的距离,记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程;
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于33.
(1)解:设点P(x,y),由题意得x2+(y-12) 2=|y|,两边平方,得x2+y2-y+14=y2,于是y=x2+14,经验证成立.
故W的方程为y=x2+14.
(2)证明:设矩形ABCD的顶点A(x1,y1)(x1≥0),B(x2,y2)(x2>0),D(x3,y3)在W上,如图所示.
设直线AB的斜率为k(k>0).
不妨将A,B固定在y轴及y轴右侧.
A,B的坐标满足y2-y1=k(x2-x1),A,D的坐标满足y3-y1=-1k(x3-x1).
又点A,B,D在抛物线上,即y1=x12+14,y2=x22+14,y3=x32+14,代入以上方程中,得x2=k-x1,x3=-1k-x1.
矩形ABCD的周长为2|AB|+2|AD|≥4|AB|·|AD|,当且仅当|AB|=|AD|时等号成立,此时矩形ABCD为正方形.(用基本不等式将矩形周长问题转化成正方形面积问题)
要证明矩形ABCD的周长大于33,只需证明正方形的面积大于2716.
∵|AB|=1+k2·(x2-x1),|AD|=1+1k2·(x1-x3),
∴1+k2·(x2-x1)=1+1k2·(x1-x3),得x1-x3=k(x2-x1).
将x2=k-x1,x3=-1k-x1代入x1-x3=k(x2-x1),有2x1+1k=k(k-2x1),
即k2-1k=(2k+2)x1.
∵x1≥0,∴k2-1k≥0.
∵k>0,∴k3≥1.∴k≥1.
则|AB|=1+k2·(x2-x1)=1+k2·(k-2x1)=1+k2·k2+1k(k+1).
正方形面积S=|AB|2=(k2+1)(k2+1)2k2(k+1)2=(k2+1)2k2·k2+1(k+1)2.
∵k2+1≥2k,∴(k2+1)2k2≥4(当k=1时“=”成立).
∵k2+1≥2k,∴2(k2+1)≥k2+2k+1=(k+1)2,∴k2+1(k+1)2≥12(当k=1时“=”成立).
则S=(k2+1)2k2·k2+1(k+1)2≥2(当k=1时“=”成立).
显然S=(k2+1)2k2·k2+1(k+1)2≥2>2716.
即矩形ABCD的周长大于33.
19.(17分)如图,已知椭圆C1:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为22,并以抛物线C2:x2=8y的焦点F为上焦点.直线l:y=kx+m(m>0)交抛物线C2于A,B两点,分别以A,B为切点作抛物线C2的切线,两切线相交于点P,点P恰好在椭圆C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)求mk的最大值;
(3)求证:点F恒在△AOB的外接圆内.
(1)解:由已知得F(0,2),所以c=2,
因为e=ca=22,
所以a=22,
所以椭圆C1的方程为y28+x24=1.
(2)解:设点A(x1,y1),B(x2,y2),
由直线l:y=kx+m(m>0)与抛物线C2:x2=8y的方程联立可得x2-8kx-8m=0,
所以x1+x2=8k,x1x2=-8m,Δ=64k2+32m>0.因为y'=x4,
所以PA:y-x128=x14(x-x1),
即PA:y=x14x-x128.
同理可得PB:y=x24x-x228,
所以Px1+x22,x1x28,即P(4k,-m).
因为点P在椭圆y28+x24=1上,
所以m28+16k24=1,即m2+32k2=8.
因为m2+32k2≥232mk,
所以当m=2,k=24时,mk取得最大值22.
(3)证明:因为过原点O,所以可设△AOB的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey=0,
由已知可得x12+y12+Dx1+Ey1=0,x22+y22+Dx2+Ey2=0,
故E=x12x2+y12x2-(x22x1+y22x1)x1y2-x2y1=(x12x2-x22x1)+x14x2-x24x164x1x22-x2x128=8(x1-x2)+x13-x238x2-x1=-8-x12+x22+x1x28,
所以E=-8k2-m-8.
将点F(0,2)的坐标代入外接圆方程可得4-2(8k2+m+8)=-16k2-2m-12,因为m>0,所以-16k2-2m-12