江苏省镇江市润州区2024年九年级第二次中考模拟数学试卷（解析版）

这是一份江苏省镇江市润州区2024年九年级第二次中考模拟数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．4的平方根是 ．
【答案】±2
【解析】∵(±2)2=4，∴4的平方根是±2．
2．分解因式：2a3﹣8a= ．
【答案】2a（a+2）（a﹣2）
【解析】2a3-8a=2aa2-4=2aa+2a-2．
3．若x+2y=5，则3x+6y-1的值是 ．
【答案】14
【解析】∵x+2y=5
∴3x+6y-1=3x+2y-1=3×5-1=14．
故答案为：14．
4．若分式xx-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≠2
【解析】∵分式xx-2在实数范围内有意义，
∴x-2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
5．计算3+12的结果是 ．
【答案】33
【解析】原式=3+23=33．
6．一种新型材料长度为0.3nm，用科学记数法来表示0.3nm= m．
【答案】3×10-10
【解析】0.3nm用科学记数法表示为0.3nm=0.0000000003m=3×10-10m．
故答案为：3×10-10．
7．若圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则它的侧面积是 ．
【答案】2π
【解析】由题意可得：圆锥的侧面积是S=π⋅1×2=2π．
8．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为 米．
【答案】26
【解析】如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2．4，AE=10米，AE⊥BD，
∵i=AEBE=12.4，
∴BE=24米，
∴在Rt△ABE中，AB=AE2+BE2=26（米）．
9．如图，物理实验中利用一个半径为6cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了120°，此时砝码被提起了 cm．（结果保留π）
【答案】4π
【解析】根据题意，砝码提起的长度为：120π×6180=4πcm，
故答案为：4π．
10．如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为 ．
【答案】15
【解析】过点B作BD⊥AC，垂足为D．
由格点三角形可知：AC=32+32=32，AB=32+22=13．
∵SΔABC=12⋅3⋅3-12⋅3⋅2 =92-3 =32，
SΔABC=12AC⋅BD =12⋅32⋅BD =322⋅BD．
∴ 322⋅BD=32，∴BD=22．
∴AD=AB2-BD2 =13-12 =522．
∴tan∠BAC=BDAD =22÷522 =15．
故答案为：15．
11．如图，一次函数y=x+3与反比例函数y=8x的图像交于A，B两点，则点A到原点O的距离为 ．
【答案】5
【解析】联立方程组得y=x+3y=8x，
消去y得，x2+3x-8=0，
解得x1=-3+412，x2=-3-412，
∵点A在第一象限，
∴xA=-3+412，
∴yA=-3+412+3=3+412，
∴A-3+412,3+412
∴AO=(-3+412)2+(3+412)2=5.
12．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=3，点O是对称中心，点P、Q分别在边AD、BC上，且PQ经过点O．将该纸片沿PQ折叠，使点A、B分别落在点A'、B'的位置，则△BA'B'面积的最大值为 ．
【答案】3+24
【解析】如图，连接AC，BD交于点O，过点O作OH⊥A'B'于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC=OB=OD，
∵AB=1，BC=3，
∴AC=AB2+BC2=1+3=2，
∴OA=OB=OC=OD=OB'=1，
∵OA'=OB',OH⊥A'B'，
∴A'H=HB'，
∵OP=OQ，
∴OH=12(PA'+QB')=12(PA+BQ)=12(PA+PD)=32，
∴当B，O，H共线时，△BA'B'的面积最大，最大值为12×1×(1+32)=12+34．
二、单选题
13．下列运算正确的是（ ）
A．a⋅a=2aB．(a+1)2=a2+1
C．(2a)3=6a3D．a2⋅2a3=2a5
【答案】D
【解析】a⋅a=a2，故选项A不符合题意；
(a+1)2=a2+2a+1，故选项B不符合题意；
(2a)3=8a3，故选项C不符合题意；
a2⋅2a3=2a5，故选项D符合题意；
故选D．
14．不等式2x-3≥1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】2x-3≥1，
移项合并同类项得：2x≥4，
系数化为1得：x≥2，
解集在数轴上表示，如图所示：
故选：B．
15．学校男子篮球队的12位队员的身高如下表：
这12位队员身高的中位数是（ ）
A．176cmB．178cmC．179cmD．180cm
【答案】C
【解析】∵ 12÷2=6，第六，七位队员身高分别是178cm，180cm，
∴12位队员身高的中位数是178+1802=179cm，
故选：C．
16．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，那么另一组数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数和方差分别是（ ）
A．2，3B．2，9C．4，18D．4，27
【答案】D
【解析】∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数为：3×2-2=4，方差为：32×3=27．
故选：D．
17．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长为（ ）
A．10尺B．5尺C．10尺或2尺D．5尺或4尺
【答案】A
【解析】设竹竿x尺，则图中BD=x．
∴BC=BE-CE=x-4x>4，CD=CF-DF=x-2，
在直角三角形BCD中，∠BCD=90°，
由勾股定理得：BC2+CD2=BD2，
所以x-42+x-22=x2，
整理，得x2-12x+20=0，
因式分解，得x-10x-2=0，
解得x1=10,x2=2，
∵x>4，
∴x=10．
答：竹竿为10尺．
故选：A
18．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，E为BC上一点，且BE=2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
【答案】B
【解析】如图，以EC为边作等边△ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形MHNB是矩形，
∴MH=BN，
∵BE=2，
∴EC=3，
∵△ECH是等边三角形，HN⊥BC，
∴EC=EH=3，EN=NC=1.5，∠HEC=60°，
∴BN=3.5=MH，
∵△FGE是等边三角形，
∴FE=GE，∠FEG=60°=∠HEC，
∴∠FEH=∠GEC，
在△FEH和△GEC中，EF=GE∠FEH=∠GECHE=EC，
∴△FEH≌△GECSAS，
∴FH=GC，
∴当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，
∴点F与点M重合时，FH=HM=3.5，
故选：B．
三、解答题
19．（1）计算：|-3|-2-1+3-8；
（2）解分式方程： 1x+3=51-2x．
解：（1）原式=3-12-2 =12；
（2）原方程去分母得：1-2x=5x+15，
解得：x=-2，
检验：当x=-2时，(x+3)(1-2x)≠0，
故原方程的解为x=-2．
20．先化简、再求值：x-2x2-1⋅x2+2x+12x+2+1x-1，其中x=2+1．
解：原式=x-2(x+1)(x-1)⋅(x+1)22(x+1)+1x-1=x-22(x-1)+1x-1=x2x-1，
当x=2+1时，原式=2+12(2+1-1)=2+122=2+24．
21．如图，经过某十字路口的汽车，它可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性大小相同．
(1)若有一辆小汽车经过这个十字路口，则这辆车直行的概率是_____；
(2)若有两辆小汽车经过这个十字路口，求这两辆车一辆向左转，一辆向右转的概率．
解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中这辆车直行的结果有1种，
∴这辆车直行的概率是13．
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中这两辆车一辆向左转，一辆向右转的结果有：（向左转，向右转），（向右转，向左转），共2种，
∴这两辆车一辆向左转，一辆向右转的概率为29．
22．在跨学科学习成果现场展示活动中，为了解学生最喜爱的初中数学学习项目，随机抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一个项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)此次抽样调查的学生有____人，补全统计图①；
(2)图②中扇形C的圆心角为_____º；
(3)已知参加展示活动的学生共有2000人，估计最喜爱“枕河人家”项目的学生人数．
解：（1）由题意得，此次抽样调查的学生有36÷30%=120（人)．
故答案为：120．
C项目的人数为120-36-30-6-30=18（人)．
补全统计图①如图所示．
（2）图②中扇形C的圆心角为360°×18120=54°．
故答案为：54．
（3）2000×18120=300（人)．
∴估计最喜爱“枕河人家”项目的学生人数约300人．
23．某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．
如图，①分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径在AB两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D；②连接AC，BC，AD，作射线BD；③以D为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BD于点E；④连接CE，交AB于点F．点F即为AB的一个三等分点（即AF=13AB)．
学习任务：
(1)填空：四边形ADBC的形状是 ； 你的依据是 ；
(2)证明： AF=13AB
（1）解：由作法可知：AC=AD=BC=BD，
∴四边形ADBC的形状是菱形，
依据是：四条边相等的四边形为菱形；
故答案为：菱形，四条边都相等的四边形是菱形；
（2）证明：∵四边形ADBC的形状是菱形，
∴AC∥BE，
∴∠ACE=∠CEB,∠AFC=∠BFE，
∴△AFC∽△BFE，
∴ AFFB=ACBE，
∵AC=BD，BD=DE，
∴BE=2AC，∴ AFFB=12，
∴FB=2AF，∴AB=3AF．∴AF=13AB．
24．如图，四边形OABC为菱形，且点A在x轴正半轴上，点C的坐标为(3,4)，反比例函数y=kx x>0的图象经过点C，且与边AB交于点D．
(1)求k的值及点B的坐标；
(2)判断点D是否为边AB的中点，并说明理由．
解：（1）∵反比例函数y=kxx＞0的图象经过点C(3,4)，
∴k=3×4=12．
∵四边形OABC为菱形，
∴OA=BC=OC=32+42=5，
根据平移性质可得点B的坐标为(8,4)．
（2）由（1）可知，反比例函数解析式为：y=12x，
∵A(5,0)，B(8,4)，
∴线段AB的中点坐标为132,2，
在反比例函数y=12x中，当x=132时，y=12132=2413≠2，
∴点D不是边AB的中点
25．图1是某住宅楼单元门的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA=160cm，识别的最远水平距离OB=150cm
(1)欢欢站在离摄像头水平距离130cm的点C处，恰好能被识别（头的顶部在仰角线），问欢欢的身高约是多少厘米？
(2)身高148cm的乐乐，头部长度为17cm，踮起脚尖可以增高4cm．他需要站在距离点O多远的区域内才能被识别到？请计算说明．（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27）
解：（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，
在Rt△AEF中，tan∠EAF=EFAF，
∴EF=AF⋅tan15°≈130×0.27=35.1cm，
由题意，知∠AOB=∠OAF=∠FCO=90°，
∴四边形AOCF是矩形，
∴CF=OA=160cm，
∴CE=CF+EF=160+35.1=195.1cm，
∴欢欢的身高约是195.1厘米；
（2）乐乐踮起脚尖后应站在距摄像头水平距离不小于92.6cm，不大于150cm的区域内才能被识别到．
理由：如图，若乐乐站在G处踮起脚尖时头的下部正好位于俯角线上，过G点垂直于OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，
则GN=148+4-17=135cm，
此时PN=160-135=25cm，
在Rt△APN中，tan∠NAP=NPAP，
∴AP=NPtan15°=250.27≈92.6cm，
即乐乐踮起脚尖后应站在距摄像头水平距离不小于92.6cm，不大于150cm的区域内才能被识别到．
26．如图1，△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AC上一点，AE∥BC交CD延长线于点E．
(1)求证：AE为⊙O的切线；
(2)如图2，连接BD，BD恰好过圆心，过点A作AG⊥BD于G，过点C作CF⊥BD于F．
①求证：△ABG≌△ACE；
②若GF=2，DF=1，求BD的长．
（1）证明：连接AO并延长AO交BC于M，
∵AB=AC，∴ AB=AC，
又∵AM过圆心，
∴AM⊥BC，即∠AMB=90°，
∵AE∥BC，
∴∠MAE=∠AMB=90°，
∴AE⊥AO，AO为半径，
∴AE为⊙O的切线；
（2）①证明：∵BD过圆心O即BD为⊙O直径，
∴∠BCD=90°，
∵AE∥BC，
∴∠AEC+∠BCD=180°，
∴∠AEC=180°-∠BCD=90°．
∵AG⊥BD即∠AGB=90°，
∴∠AEC=∠AGB，
在△AGB与△AEC中，∠AGB=∠AEC∠ABG=∠ACEAB=AC，
∴△ABG≌△ACEAAS；
②解：由（2）知ΔABG≅ΔACE，
∴BG=CE，AG=AE
在Rt△ADG与Rt△ADE中，AD=ADAG=AE，
∴Rt△ADG≌Rt△ADEHL，
∴DG=DE，
∵FG=2，FD=1，
∴DE=DG=2+1=3，
设CD=x，则BG=CE=x+3，
∴BD=BG+DG=x+3+3=x+6，
在Rt△BCD中，CF⊥BD于F，
由射影定理得：CD2=DF⋅BD，
∴x2=1×(x+6)，
解得x1=3，x2=-2 （舍去），
∴BD=9．
27．在平面直角坐标系，二次函数y=ax2-bx-a的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在该函数的图象上．
(1)写出该函数图象的对称轴；
(2)已知点M1,1-a，N3,-3．
①若函数图象恰好经过点M，求a的值；
②若函数图象与线段MN只有一个交点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
解：（1）二次函数图象与y轴交于点A，则A0,-a，
∵点A向右平移4个单位长度得到点B，点 B恰好也在该函数的图象上，
∴B4,-a，
∴该函数图象的对称轴为x=0+42=2，
∴对称轴为x=2；
（2）①∵二次函数图象的对称轴为x=--b2a=2，
∴b=4a，
∵二次函数图象过点M1,1-a，
∴1-a=a-b-a，
∴a-b=1，
∴a-4a=1，
解得，a=-13；
②根据题意，b=4a，
∴二次函数解析式为y=ax2-4ax-a=ax-22-5a，
∴当x=2时，y=-5a，即顶点坐标为2,-5a；
当x=0时，y=-a，即二次函数与y轴的交点为0,-a；
当y=0时，ax-22-5a=0，解得，x1=2-5，x2=2+5；
∴当a>0时，如图所示，

∴点N3,-3在二次函数图象上，
∴-3≤a3-22-5a，解得，a≤34，
∴当0