2023年江苏省镇江市润州区中考数学模拟试卷

这是一份2023年江苏省镇江市润州区中考数学模拟试卷，共29页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）9的平方根是 ．
2．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
3．（2分）截至2022年末，镇江市常住人口约为3220000人，将数据3220000用科学记数法表示是 ．
4．（2分）若n边形的每个外角都是45°，则n＝ ．
5．（2分）如图，已知l1∥l2，∠1＝58°，∠2＝42°，则∠3＝ °．
6．（2分）已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则此圆锥的侧面积是 ．
7．（2分）已知关于x的方程x2+2x﹣a＝0的一个根为2，则另一个根是 ．
8．（2分）从2，3，4这三个数中随机选出2个，它们的和大于等于6的概率是 ．
9．（2分）如图，已知AB∥CD，OA＝2OD，则△OAB与△OCD的面积比是 ．
10．（2分）如图，菱形ABCD的顶点A、D都在⊙O上，且∠OAD＝12°，设AC与⊙O交于点E，则∠AEB的度数是 ．
11．（2分）在平面直角坐标系中，若双曲线y＝与直线y＝mx+n（mn≠0，m+n≠0）恰有1个交点，则的值是 ．
12．（2分）已知：对于平面内的一点P和矩形ABCD，恒有PA2+PC2＝PB2+PD2．如图，在四边形ABCD中，CD＝3，AD＝BD＝6，AC⊥BC，M是AB的中点，则△CDM的面积的最大值是 ．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求.）
13．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．a+a2＝a3B．a3•a3＝2a3C．a÷a3＝a﹣2D．（a2）3＝a5
14．（3分）下列几何体中，主视图不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
15．（3分）甲、乙、丙、丁四人在一次数学测验中的成绩分别为x甲、x乙、x丙、x丁，下面是他们四人的一段对话：
①甲对乙说：“我的成绩比你高．”
②丙说：“我的成绩恰好是我们四个人成绩的中位数．”
③丁说：“我的成绩恰好是我们四个人成绩的平均数．”
假设以上对话完全正确，则x甲、x乙、x丙、x丁的大小关系是（ ）
A．x乙＜x丙＜x丁＜x甲B．x乙＜x丙＝x丁＜x甲
C．x乙＜x丁＜x丙＜x甲D．x乙＜x丙＜x丁＝x甲
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A的坐标为（﹣5，12），BC的延长线与x轴交于点D，∠COD的平分线OE交BD于点E，则点E的横坐标是（ ）
A．5B．12C．13D．17
17．（3分）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（3分）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的直径，CD是弦，E是劣弧CD上一点，将⊙O沿CD折叠，使得点E的对应点是点E'，且弧CE'D与AB相切于点E'，设线段BE′的长度为x，弦CD的长度为y，则（ ）
A．（x﹣1）2+y2＝3
B．
C．
D．
三、解答题（本大题共有10小题，共计78分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（8分）（1）计算：；
（2）化简：．
20．（10分）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
21．（6分）曹老师从A、B、C、D四位同学中随机选取两位制作班会，请用画树状图或列表的方法，求出A、B两人中恰好有一人被选中的概率．
22．（6分）小X是做题高手．每天，他都从某题库中随机抽取一道题目完成，并且他按照从易到难的顺序给这道题目一个1～10中的整数作为难度评分．如表是最近30天中他所做各类题目的数量：
（1）若将该表制成扇形统计图，求代表“题目难度为3～4”的区域的圆心角度数；
（2）难度评分≥7的题目属于难题，若该题库中共有200道题目，试估计其中难题的数量；
（3）从中你能看出该题库中的题目有怎样的分布特点？
23．（6分）某商场销售甲、乙两种商品，其中甲商品进价40元/件，售价50元/件；乙商品进价50元/件，售价80元/件．现商场用12500元购入这两种商品并全部售出，获得总利润4000元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
24．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且AE＝CG，BF＝DH，连接EG、FH．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）若EG＝FH，∠AHE＝35°，求∠DHG 的度数．
25．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线y＝在第一象限的一支交于点C，且AB＝3BC．
（1）求k的值；
（2）设点D是x轴上的一个动点，线段CD与双曲线交于另一点E，连接AE，当AE平分△ACD的面积时，直接写出点D的坐标是 ．
26．（9分）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC与⊙O交于点D，且AD＝CD．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）设E是AB左侧的圆周上一点（不包含点A、B），连接CE．
①若E是的中点，求sin∠BCE；
②在①的条件下，试判断∠ACE和∠BCE的大小关系，并说明理由．
27．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，且对称轴是直线，点A（1，4）在抛物线上，点C（0，2）在y轴上，直线AC交抛物线于点A、D，点B在抛物线上，且AB∥x轴．
（1）求抛物线的解析式和点D坐标；
（2）求∠BOD的度数；
（3）设点F是线段BD的中点，点P是线段OB上一动点，将△DFP 沿FP折叠，得到△D′FP，若△D′FP与△BDP重叠部分的面积是△BDP面积的，求PB的长．
28．（11分）如图1，在△ABC中，点D在边AB上，点P在边AC上，若满足∠BPD＝∠BAC，则称点P是点D的“和谐点”．
（1）如图2，∠BDP+∠BPC＝180°．
①求证：点P是点D的“和谐点”；
②在边AC上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用圆规作图，找出点Q的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹）
（2）如图3，以点A为原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系，已知点B（6，0），C（2，4），点P在线段AC上，且点P是点D的“和谐点”．
①若AD＝1，求出点P的坐标；
②若满足条件的点P恰有2个，直接写出AD长的取值范围是 ．

参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分.）
1．（2分）9的平方根是 ±3 ．
【解答】解：9的平方根是±＝±3．
故答案为：±3．
2．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠﹣2 ．
【解答】解：根据题意得x+2≠0，
解得x≠﹣2，
故答案为：x≠﹣2．
3．（2分）截至2022年末，镇江市常住人口约为3220000人，将数据3220000用科学记数法表示是 3.22×106 ．
【解答】解：3220000＝3.22×106．
故答案为：3.22×106．
4．（2分）若n边形的每个外角都是45°，则n＝ 8 ．
【解答】解：n边形的每个外角都是45°，
∴，解得，n＝8，
故答案为：8．
5．（2分）如图，已知l1∥l2，∠1＝58°，∠2＝42°，则∠3＝ 80 °．
【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝58°，
∴∠ADE＝∠1＝58°，
∴∠ODC＝58°，
∵∠2＝42°，
∴∠OCD＝180°﹣∠2﹣∠ODC＝180°﹣42°﹣58°＝80°，
∴∠3＝∠OCD＝80°，
故答案为：80．
6．（2分）已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则此圆锥的侧面积是 12π ．
【解答】解：依题意知母线长＝4，底面半径r＝3，
则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π×3×4＝12π．
故答案为：12π．
7．（2分）已知关于x的方程x2+2x﹣a＝0的一个根为2，则另一个根是 ﹣4 ．
【解答】解：设方程x2+2x﹣a＝0的另一个根为x2，
则x2+2＝﹣2
解得：x2＝﹣4，
故答案为：﹣4．
8．（2分）从2，3，4这三个数中随机选出2个，它们的和大于等于6的概率是 ．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中选出的2个数的和大于等于6的结果有：（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），共4种，
∴从2，3，4这三个数中随机选出2个，它们的和大于等于6的概率是＝．
故答案为：．
9．（2分）如图，已知AB∥CD，OA＝2OD，则△OAB与△OCD的面积比是 4 ．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝（）2＝22＝4．
故答案为：4．
10．（2分）如图，菱形ABCD的顶点A、D都在⊙O上，且∠OAD＝12°，设AC与⊙O交于点E，则∠AEB的度数是 78° ．
【解答】解：如图，连接DE，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝12°，
∴∠AOD＝180°﹣12°﹣12°＝156°，
∴∠AED＝∠AOD＝78°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，
在△BAE和△DAE中，
，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴∠AEB＝∠AED＝78°，
故答案为：78°．
11．（2分）在平面直角坐标系中，若双曲线y＝与直线y＝mx+n（mn≠0，m+n≠0）恰有1个交点，则的值是 ﹣ ．
【解答】解：∵双曲线y＝与直线y＝mx+n（mn≠0，m+n≠0）恰有1个交点，
∴＝mx+n只有一个解，整理方程得：mx2+nx﹣（m+n）＝0，
Δ＝n2+4m（m+n）＝0，
∴（2m+n）2＝0，
∴2m+n＝0．
∴＝﹣．
故答案为：﹣．
12．（2分）已知：对于平面内的一点P和矩形ABCD，恒有PA2+PC2＝PB2+PD2．如图，在四边形ABCD中，CD＝3，AD＝BD＝6，AC⊥BC，M是AB的中点，则△CDM的面积的最大值是 ．
【解答】解：如图，延长CM至MH＝CM，连接AH，BH，DH，
∵M是AB的中点，
∴AM＝BM，
又∵CM＝MH，
∴四边形ACBH是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴四边形ACBH是矩形，
由题意可得：DA2+DB2＝DC2+DH2，
∵CD＝3，AD＝BD＝6，
∴36+36＝9+DH2，
∴DH＝3，
∵CM＝HM，
∴S△DMC＝S△DHC，
∴当△DHC的面积的面积有最大值时，△CDM的面积有最大值，
∴当DH⊥DC时，△DHC的面积的面积有最大值，最大值为＝•DC•DH＝×3×3＝，
∴△CDM的面积的最大值为，
故答案为：．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求.）
13．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．a+a2＝a3B．a3•a3＝2a3C．a÷a3＝a﹣2D．（a2）3＝a5
【解答】解：a与a2不是同类项，无法合并，则A不符合题意；
a3•a3＝a6，则B不符合题意；
a÷a3＝a﹣2，则C符合题意；
（a2）3＝a6，则D不符合题意；
故选：C．
14．（3分）下列几何体中，主视图不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：球的主视图是圆，而圆是中心对称图形，因此选项A不符合题意；
圆柱的主视图是长方形，而长方形是中心对称图形，因此选项B不符合题意；
三棱柱的主视图是长方形，而长方形是中心对称图形，因此选项C不符合题意；
圆锥的主视图是三角形，而三角形不是中心对称图形，因此选项D符合题意；
故选：D．
15．（3分）甲、乙、丙、丁四人在一次数学测验中的成绩分别为x甲、x乙、x丙、x丁，下面是他们四人的一段对话：
①甲对乙说：“我的成绩比你高．”
②丙说：“我的成绩恰好是我们四个人成绩的中位数．”
③丁说：“我的成绩恰好是我们四个人成绩的平均数．”
假设以上对话完全正确，则x甲、x乙、x丙、x丁的大小关系是（ ）
A．x乙＜x丙＜x丁＜x甲B．x乙＜x丙＝x丁＜x甲
C．x乙＜x丁＜x丙＜x甲D．x乙＜x丙＜x丁＝x甲
【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四人在一次数学测验中的成绩分别为x甲、x乙、x丙、x丁，丙说：“我的成绩恰好是我们四个人成绩的中位数．”丁说：“我的成绩恰好是我们四个人成绩的平均数．”
∴四个人成绩的中位数（x丙+x丁）＝x丙，
∴x丁＝x丙，
∵甲对乙说：“我的成绩比你高．”
∴x甲＞x乙，
∴x乙＜x丙＝x丁＜x甲，
故选：B．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A的坐标为（﹣5，12），BC的延长线与x轴交于点D，∠COD的平分线OE交BD于点E，则点E的横坐标是（ ）
A．5B．12C．13D．17
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣5，12），
∴AO＝＝13，
∵四边形OABC是正方形，
∴OC＝OA＝13，∠OCB＝∠OCD＝90°，
如图，过点E作EF⊥x轴于点F，
∵OE平分∠COD，
∴EC＝EF，
在Rt△OCE和Rt△OFE中，
，
∴Rt△OCE≌Rt△OFE（HL），
∴OF＝OC＝13，
∴点E的横坐标是13，
故答案为：C．
17．（3分）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，得，
整理得．
故选：A．
18．（3分）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的直径，CD是弦，E是劣弧CD上一点，将⊙O沿CD折叠，使得点E的对应点是点E'，且弧CE'D与AB相切于点E'，设线段BE′的长度为x，弦CD的长度为y，则（ ）
A．（x﹣1）2+y2＝3
B．
C．
D．
【解答】解：如图，设弧CE'D的圆心为O′，连接OO′交CD于F，连接O′E′，OD，
由折叠得OO′⊥CD，OF＝O′F，⊙O′的半径为1，
∴CF＝DF＝CD＝，
∴OF＝＝＝，
∴OO′＝2，
∵弧CE'D与AB相切于点E'，
∴O′E′⊥AB，
∴OO′2＝OE′2+O′E′2，
∵OE′＝OB﹣BE′＝1﹣x，
∴（2）2＝（1﹣x）2+12，
∴（x﹣1）2+y2＝3，
故选：A．
三、解答题（本大题共有10小题，共计78分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（8分）（1）计算：；
（2）化简：．
【解答】解（1）
＝
＝2﹣2+1
＝1；
（2）
＝•
＝•
＝．
20．（10分）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）原方程去分母，得2（x﹣2）﹣3（x﹣3）＝0，
去括号得：2x﹣4﹣3x+9＝0，
移项，合并同类项得：﹣x＝﹣5，
系数化为1得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解；
（2）由第一个不等式得：x≤3，
由第二个不等式得：x＞﹣4，
则原不等式组的解集为﹣4＜x≤3．
21．（6分）曹老师从A、B、C、D四位同学中随机选取两位制作班会，请用画树状图或列表的方法，求出A、B两人中恰好有一人被选中的概率．
【解答】解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，其中符合条件的有10种，
∴P（A、B两人中恰有一人被选中）＝＝．
22．（6分）小X是做题高手．每天，他都从某题库中随机抽取一道题目完成，并且他按照从易到难的顺序给这道题目一个1～10中的整数作为难度评分．如表是最近30天中他所做各类题目的数量：
（1）若将该表制成扇形统计图，求代表“题目难度为3～4”的区域的圆心角度数；
（2）难度评分≥7的题目属于难题，若该题库中共有200道题目，试估计其中难题的数量；
（3）从中你能看出该题库中的题目有怎样的分布特点？
【解答】解：（1），
即代表“题目难度为3～4”的区域的圆心角度数为72°；
（2） （道）；
估计其中难题的数量大约为69道；
（3）该题库中的题目有以下分布特点；
①题库中题目数量随着难度升高先变大后变小；
②题库中题目随难度呈纺锤状分布；
③题库中中等难度题目多，简单题和难题少．
23．（6分）某商场销售甲、乙两种商品，其中甲商品进价40元/件，售价50元/件；乙商品进价50元/件，售价80元/件．现商场用12500元购入这两种商品并全部售出，获得总利润4000元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
【解答】解：设该商场购进甲种商品x件，乙种商品y件，
由题意得：，
解得：，
答：该商场购进甲种商品250件，乙种商品50件．
24．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且AE＝CG，BF＝DH，连接EG、FH．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）若EG＝FH，∠AHE＝35°，求∠DHG 的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝BC，
∵BF＝DH，
∴∠AD﹣DH＝BC﹣BF，
∴AH＝CF，
在△AEH和△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）解：由（1）知△AEH≌△CGF，
同理：△DHG≌△BFE（SAS），
∴HE＝FG，GH＝EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EG＝FH，
∴四边形EFGH是矩形，
∴∠EHG＝90°，
∵∠AHE＝35°，
∴∠DHG＝180°﹣∠EHG﹣∠AHE＝55°．
25．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线y＝在第一象限的一支交于点C，且AB＝3BC．
（1）求k的值；
（2）设点D是x轴上的一个动点，线段CD与双曲线交于另一点E，连接AE，当AE平分△ACD的面积时，直接写出点D的坐标是 （4，0） ．
【解答】解：（1）∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3．
∵AB＝3BC，
∴＝．
如图，过C点作CF⊥x轴于点F，则OB∥CF，
∴△AOB∽△AFC，
∴＝＝＝，
∴＝＝＝，
∴AF＝，FC＝4，
∴OF＝AF﹣OA＝﹣4＝，
∴C（，4），
∵双曲线y＝过点C，
∴k＝×4＝；
（2）设点D的坐标是（x，0）．
∵AE平分△ACD的面积，
∴E为CD的中点，
∴E（，2），
∵点E在双曲线y＝上，
∴×2＝，
解得x＝4，
∴点D的坐标是（4，0）．
故答案为：（4，0）．
26．（9分）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC与⊙O交于点D，且AD＝CD．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）设E是AB左侧的圆周上一点（不包含点A、B），连接CE．
①若E是的中点，求sin∠BCE；
②在①的条件下，试判断∠ACE和∠BCE的大小关系，并说明理由．
【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝DC，
∴BD垂直平分AC，
∴AB＝BC，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）①连接OE，设CE与OB相交于点F．
∵点E是弧AB的中点，
∴∠BOE＝90°，
∴OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴，
∴BF＝OB＝AB＝BC，
∴令BF＝x，则BC＝3x，
∴FC＝＝x，
∴sin∠BCE＝＝．
②∠ACE＞∠BCE，理由如下：
作FH⊥AC 于H，
设BC＝a，则BA＝a，AC＝a，
∵BF＝AB＝a，
∴AF＝AB＝a，
∵△AFC的面积＝AF•BC＝AC•FH，
∴a×a＝a×FH，
∴FH＝a，
∴FH＞BF，
∵sin∠ACE＝，sin∠BCE＝，
∴sin∠ACE＞sin∠BCE，
∵∠ACE、∠BCE是锐角．
∴∠ACE＞∠BCE．
27．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，且对称轴是直线，点A（1，4）在抛物线上，点C（0，2）在y轴上，直线AC交抛物线于点A、D，点B在抛物线上，且AB∥x轴．
（1）求抛物线的解析式和点D坐标；
（2）求∠BOD的度数；
（3）设点F是线段BD的中点，点P是线段OB上一动点，将△DFP 沿FP折叠，得到△D′FP，若△D′FP与△BDP重叠部分的面积是△BDP面积的，求PB的长．
【解答】解：（1）∵抛物线经过原点，
∴c＝0，
∵对称轴是直线，
∴﹣＝﹣，
∴b＝3a，
∴y＝ax2+3ax，
将点A（1，4）代入y＝ax2+3ax，
∴a+3a＝4，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+3x，
设直线AC的解析式为y＝kx+2，
∴k+2＝4，
解得k＝2，
∴直线AC的解析式为y＝2x+2，
当2x+2＝x2+3x时，解得x＝﹣2或x＝1，
∴D（﹣2，﹣2）；
（2）∵AB∥x轴，
∴B（﹣4，4），
∴BO＝4，BD＝2，DO＝2，
∴BD2＝BO2+DO2，
∴△BDO是直角三角形，
∴∠BOD＝90°；
（3）当D'在BO上方时，设FD'与BO交于点H，
∵F是BD的中点，
∴S△BPF＝S△PDF，
∵S△HPF＝S△BDP，
∴S△HPF＝S△BFP，
∴S△HPF＝S△BFH，
∴H是BP的中点，
由折叠可知，△PD'F≌△PDF，
∴S△PFD'＝S△PFD，
∴S△PFH＝S△PHD'，
∴H是FD'的中点，
∴四边形BFPD'是平行四边形，
∴BF＝D'P＝PD＝DF＝BD＝，
设P（t，﹣t），
∴＝，
解得t＝﹣1或t＝1（舍），
∴P（﹣1，1），
∴PB＝3；
当D'在BO下方时，同理可得四边形BPFD'是平行四边形，
∴BP＝D'F＝DF＝BD＝；
综上所述：PB的长为3或．
28．（11分）如图1，在△ABC中，点D在边AB上，点P在边AC上，若满足∠BPD＝∠BAC，则称点P是点D的“和谐点”．
（1）如图2，∠BDP+∠BPC＝180°．
①求证：点P是点D的“和谐点”；
②在边AC上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用圆规作图，找出点Q的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹）
（2）如图3，以点A为原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系，已知点B（6，0），C（2，4），点P在线段AC上，且点P是点D的“和谐点”．
①若AD＝1，求出点P的坐标；
②若满足条件的点P恰有2个，直接写出AD长的取值范围是 ≤AD＜ ．
【解答】（1）①证明：∵∠BDP+∠BPC＝180°，∠BDP＝∠BAC+∠APD，
∴∠BAC+∠APD+∠BPC＝180°，
∵∠APD+∠BPD+∠BPC＝180°，
∴∠BPD＝∠BAC，
∴点P是点D的“和谐点”；
②解：以B为圆心，BP为半径作弧交AC于点Q，点Q即为所求，如图：
连接BQ，
∵∠BDP＝∠BAC+∠APD，∠BPD＝∠BAC，
∴∠BDP＝∠BPD+∠APD，
∵∠APD+∠BPD+∠BPC＝180°，
∴∠BDP+∠BPC＝180°，
∵BP＝BQ，
∴∠BPC＝∠BQP，
∴∠BDP+∠BQP＝180°，
∴B、Q、P、D四点共圆，
∴∠BPD＝∠DQB，
∵∠BPD＝∠BAC，
∴∠DQB＝∠BAC，
∴Q也是点D的“和谐点”；
（2）解：①∵∠BPD＝∠BAP，∠PBD＝∠ABP，
∴△PBD∽△ABP，
∴＝，＝，
∴BP＝，
∵C（2，4），
∴直线AC的表达式为：y＝2x，
设点P的坐标为（x，2x），
∵点B（6，0），
∴（x﹣6）2+（2x）2＝30，
∴5x2﹣12x+6＝0，
∴x1＝，x2＝，
∴P（，）或（，）；
②当点P与点C重合时，△BDP的外接圆与线段AC恰有两个交点，恰有两个“和谐点”，如图：
∵点B（6，0），C（2，4），
∴BC＝＝4，
由①知△PBD∽△ABP，
∴＝，即＝，
∴BD＝，
∴AD＝AB﹣BD＝6﹣＝；
当△BDP的外接圆与线段AC恰有一个交点时，如图：
此时△BDP的外接圆与线段AC相切，则AP⊥PB，且PB为直径，
∴∠PDB＝90°，
∵点P的坐标为（x，2x），
∴AD＝x，PD＝2x，BD＝AB﹣AD＝6﹣x，
∵∠PAD+∠PBD＝90°，∠PAD+∠APD＝90°，
∴∠APD＝∠PBD，
∵∠ADP＝∠PDB＝90°，
∴△ADP∽△PDB，
∴＝，
∴PD2＝AD•DB，即（2x）2＝x（6﹣x），
∴x＝，
∴AD＝；
综上，若满足条件的点P恰有2个，AD长的取值范围是≤AD＜，
故答案为：≤AD＜．
难度评分
1～2
3～4
5～6
7～8
9～10
题目数量
4
6
11
7
2
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