江苏省镇江市市属学校2024年九年级第二次中考模拟数学试卷（解析版）

这是一份江苏省镇江市市属学校2024年九年级第二次中考模拟数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）
1. 若a与互为相反数，则a的值为 _______．
【答案】
【解析】若与互为相反数，则的值为，
故答案为：．
2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
【答案】x-1
【解析】根据分式有意义的条件可知，x+10，
解得x-1，
故答案为：x-1．
3. 因式分解：=______．
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【解析】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）．
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
4. 已知是方程的一个根，则实数c的值是 ________．
【答案】2
【解析】把代入，
可得出，
解得：，
故答案为：2．
5. 如图，直线将一个含有角的直角三角板（）按如图所示的位置摆放，若，则的度数是________．
【答案】
【解析】如图，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
6. 已知一组数据4，8，1，7，x的平均数是5，则x是____．
【答案】5
【解析】根据题意可得出，
故答案为：5．
7. 如图，长为2m的竹竿与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，竹竿与这一点相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m．
【答案】7
【解析】如图； AD=6m，AB=6+15=21m，DE=2m；
∵，∴△ADE∽△ABC，
∴，即 ．
解得：BC=7，经检验符合题意；
故树的高度位7m．
8. 反比例函数，当时，函数y的最大值与最小值之差为6， 则____．
【答案】9
【解析】∵反比例函数
∴反比例函数在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小
∵当时，函数y的最大值与最小值之差为6，
∴，解得，
故答案为：9．
9. 若圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面展开图的面积是_____．
【答案】
【解析】∵圆锥的底面半径是，高是，
∴圆锥的母线长为，
∴这个圆锥的侧面展开图的面积是．
10. 已知，，当时，则S的最大值为____．
【答案】1
【解析】∵，∴，
，抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵，
当时，函数有最大值，等于，
故答案为：1．
11. 如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，B（-2,1），将矩形OABC绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，若反比例函数（x＜0）的图象经过点E，则k的值为_________．
【答案】
【解析】如图所示，过点作垂直轴于点，
点坐标为，
，
即，
，
，
，
，
，
设，则，
，即，
，
．
12. 如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为____．
【答案】2
【解析】∵正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，记的中点为，则在以为圆心，为直径的圆上，
如图，连接，
由勾股定理得，，
如图，在上取点使，则，连接，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为，
如图，作于，
∴，
∴，
∴，
∴，即，解得，∴，
由勾股定理得，，
由勾股定理得，，
故答案为：2．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．）
13. 下面四幅图分别是“故宫博物馆”“广东博物馆”、“四川博物馆”、“温州博物馆”的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】A中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
B中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求；
C中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
D中既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；
故选：D．
14. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．，故该选项不正确；
B．，故该选项正确；
C．，故该选项不正确；
D．，故该选项不正确；
故选B．
15. 2024年少儿频道为全国小朋友们准备了“童趣盎然、梦想启航”的六一儿童节主题活动，截至6月3日13时，网络平台直播播放量达2930万次，较去年提升了53.21%．数据“2930万”用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】2930万．
故选：B．
16. 班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意列树状图如下：
由上表可知共有12中可能，满足题意的情况数为6种
则，两位同学座位相邻的概率是 .
故选C.
17. 漏刻（如图）是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．李明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是李明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，错误的h值为（ ）
A. 2.0B. 2.4C. 3.0D. 3.6
【答案】C
【解析】设过点和点的函数解析式为，
则，解得，即，
当时，，
当时，，
由上可得，点不在该函数图象上，与题目中有一个的值记录错误相符合，
故选：．
18. 一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是 （ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】由题意可以还原这个立体图形的形状，
左视图中2的对面是5；紧临的是3，其对面是4；再接下来是4，其对面是3；
主视图中小正方体正面是6，后面是1；左面是是4，右面是是3；上下两面就是2、5相对；
当底面是5，上面为2，紧临的是6，其对面是1；接触的两个面上的数字之和为8，则★应为7，不可能；
故底面只能是2，上面是5，紧临的是3，其对面是4；接下来紧临的还是4，★为其对面， 所以是3；
故选：B．
三、解答题（本大题共有10小题，共计78分．）
19. （1）计算： ；
（2）化简： ．
解：（1）原式=；
（2）原式=.
20. （1）解方程： ；
（2）解不等式组：．
解：（1）
方程两边同时乘以
得，
解得：
检验：将代入中得，，
∴是原方程的解．
（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：．
21. 甲乙两校分别有一男一女共4名教师报名参加双减工作．
（1）若从甲乙两校报名的教师中分别随机选1名，求所选的2名教师性别相同的概率．
（2）若从报名的4名教师中随机选2名，求两名教师来自同一所学校的概率．
解：（1）若从甲乙两校报名的教师中分别随机选1名，所选的2名教师性别相同的概率为＝；
（2）把甲校一男一女2名老师记为A、B，乙校一男一女2名老师记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两名教师来自同一所学校的结果有4种，
∴两名教师来自同一所学校的概率为＝．
22. 中华文化源远流长，镇江市某中学为了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成尚不完整的统计图（如图）．请根据以上信息，解答下列问题．

（1）本次调查所得数据的众数是_____，中位数是_____；
（2）扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为___度，并将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1600名学生，请估计该校四大名著1部没有读过的学生有多少人？
解：（1）本次调查的人数：人，
读1部的人数：人，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
中位数：部；
（2）扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为：；
由（1）知，读1部的人数为14人，
补全条形统计图如图所示，

（3）（人），
答：估计该校四大名著1部没有读过的学生约有80人．
23. 如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，．

（1）求证：点E是中点；
（2）若，，则的长为 ___．
（1）证明：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵、分别平分和，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
为的中点；
（2）解：根据解析（1）可知：，，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：4．

24. 如图1是一种可折叠台灯，其主体部分的示意图如图2，由固定灯座（）和可转动的光源（）组成，其中，，经测量，灯座高度（）为，光源（）为，．

（1）求台灯灯座的宽度的长；
（2）此种台灯配置的是合盖关灯，当光源绕点B旋转至光源与灯座（）夹角不超过时，台灯自动关闭电源．求台灯自动关闭电源时，台灯光源末端距桌面的最大高度．（结果精确到0．1cm．参考数据；，，，，，）
解：（1）在中，，即，，，
∴，
∴，
答：台灯灯座的宽度的长约为；
（2）过点作于点F，

由题意得，
在中，，∴，
∴，
∴，
答：台灯自动关闭电源时，台灯光源末端距桌面的最大高度约为．
25. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B分别是反函数、一次函数的交点，已知．
（1）求出k的值，以及一次函数的表达式；
（2）在线段上取一点C，过C点作直线l平行x轴，交反比例函数于点D，连接、，记的面积为，则的最大值为____．
解：（1）将点A的坐标分别代入反比例函数和一次函数表达式得：，
解得：，∴反比例函数的表达式为：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设，则，∴，高，
∴，
∴的最大值为．
26. 如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．获得如下数据：

请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；

（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米；
（3）求h关于d 的函数表达式；
（4）运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作．
解：（1）①建立如图所示的平面直角坐标系，
②根据表中数据描点，
③用平滑的曲线连接，所画图象如图所示：

（2）观察图象可得：运动员滑行过程中距离地面的最大高度为米，
故答案为：；
（3）由图象可得，顶点，
设二次函数的关系式为，
把代入得：，
解得：，
；
（4）能，理由见详解
令，即，
解得：，
令，即，
解得：，
，
，
，
该运动员能完成空中动作．
故答案为：能．
27. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法过圆外一点作圆的切线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小强：如图（1），连接OP，作线段OP的垂直平分线BC，交OP于点A；以点A为圆心，OA长为半径作⊙A，交⊙O于点D；作直线PD，则PD即为过点P的⊙O的切线．
简述理由如下：连接OD，因为OP是⊙A的直径，所以∠ODP＝90°，所以OD⊥DP．又因为OD是⊙O的半径，所以PD是⊙O的切线．
小刚：我认为小强的作用方法有创新，但作弧的次数多，可进行如下改进；如图（2），作直线OP交⊙O于A，B两点，以点O为圆心，OP长为半径作大⊙O，交直线OP于点C；以点C为圆心，AB长为半径作⊙O，交大⊙O于点D；作直线PD，则PD即为过点P的⊙O的切线．
（1）小强得出∠ODP＝90°的依据是 （填序号）．
①一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；
②在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；
③切线与过切点的半径垂直；
④直径所对的圆周角是直角．
（2）小刚作图所得到直线PD是⊙O的切线吗？请判断并说明理由．
（3）如图（3），已知∠APD＝30°，射线PA经过点O，且与⊙O交于点B，C，射线PD与⊙O相切于点E，且PE＝3，点M是射线PD上一动点，连接MC，EC，若∠MCE＝15°，请直接写出线段PM的长．
解：（1）∵OP是⊙A的直径，
∴∠PDO=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线，
故选④；
（2）如图1，
连接CD，取PD的中点E，连接OE，
∵PC是大⊙O的直径，
∴∠PDC=90°，
∵OP=OC，
∴OE∥CD，OE=CD，
∴∠PEO=∠PDC=90°，
∵CD=AB，
∴OE=AB，
∴点E在小⊙O上，
∴PE是小⊙O的切线；
（3）①如图2，连接OE，作PG∥CE交CM的延长线于G，作EF⊥BC于F，
∵PE是⊙O的切线，
∴∠PEO=90°，
∴∠POE=90°-∠CPE=90°-30°=60°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∵∠OCE+∠OEC=∠POE，
∴2∠OCE=60°，
∴∠OCE=30°，
∴∠CPE=∠OCE，∠PCM=∠ECM=15°，
∴CE=PE=3+，
∴PC=2CF，
∵，
∴，
∴
∵PG∥CE，
∴∠G=∠ECM=15°，△PGM∽△ECM，
∴，∠G=∠PCM，
∵PG=PC，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴PM=3．
②如图，连接OE，过点M作MF⊥PA于点F，
∵PM是⊙O的切线，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
设，
∵∠
∴
∵∠
∴∠
∵∠
∴
由①得
∴
∴
∴PM=6
综上，PM的值为3或6.
28. 已知两个矩形，若其中一个矩形的四个顶点分别在另一个矩形的四条边上（顶点不重合），我们称这个矩形为另一个矩形的“衍生矩形”．
【模型探究】（1）如图1，矩形是矩形的“衍生矩形”，不连接其它线段，图中有哪几组全等三角形，请写出并任选一组证明；
【迁移应用】（2）如图2，在矩形中，，．点M在线段上，且，点N是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q落在矩形内．连接，，当面积为时，求的长；
【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，．点N是的中点，点M是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q始终落在矩形内（不含边界）．连接，点O是的中点，连接，求长的取值范围（用含a，b的式子表示）．
解：（1），．
在矩形和矩形中，
，，
，
，
同理可得：，
，
在和中，，
，
同理可证：；
（2）如图，过Q作平行线，分别与，交于点G，H，四边形为矩形，则矩形为矩形的“衍生矩形”，
由（1）可知：，
，
，
，
，
由（1）可知：，
又，
，
，
设，则，
，
解得或5，
或5；
（3）如图，过Q作平行线，分别与，交于点G，H，连接，
四边形为矩形，过点O，
由（1）知：，
，
为中点，，
四边形矩形，
，
延长交于点F，则，，，
当最小时，最小；当最大时，最大，
即：当最大时，最小；当最小时，最大，
当Q在上时，，，
，
点Q落在矩形内（不含边界），
，
在矩形中，，
当最小时，最小，最大，
时，，
此时，
，
，
综上，．t（min）
…
2
3
5
6
…
h（cm）
…
2.0
2.4
3.0
3.6
…
水平距离d/米
0
2
4
6
8
垂直高度h/米
4
8
8
水平距离米
0
2
4
6
8
垂直高度米
4
8
8