江苏省南通市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省南通市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，且，则（ ）
A. B. 1C. D. 0
【答案】A
【解析】因为集合，且，则，解得.
故选：A.
2. 若与角终边相同，则是第（ ）象限角.
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】C
【解析】因为与角终边相同，所以，则，
所以是第三象限角.
故选：C.
3. 已知函数 则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】易知，所以.
故选：D.
4. 已知扇形的半径为2，面积为4，则圆心角为（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】记圆心角为，因为扇形的半径为2，面积为4，所以，则.
故选：C.
5. 已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为fx=lnx的定义域为0，+∞，可知，
对于选项AD：例如，则，，
即，且，故AD错误；
对于选项C：例如，则，，
即，故C错误；
对于选项B：因为，故B正确.
故选：B.
6. 已知命题，命题，若均为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】若命题为真命题，可得即可，即；
若命题为真命题，可得，即可得，
因此若均为真命题，可得，
即实数的取值范围为.
故选：B.
7. 用总长为的篱笆围成一块矩形菜地，其中一边空出的缺口作为进出通道.若要使菜地的面积最大，则有缺口的一边的篱笆长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设有缺口的一边的篱笆长为米，则矩形的另一边长为米，菜地的面积为平方米，
则，即，则，，
由基本不等式得，
当且仅当即时，取得最大面积，
所以当有缺口的一边的篱笆长为米时，菜地的面积最大.
故选：C.
8. 设为上的奇函数，则当时，“单调递增”是“”的（ ）条件.
A. 充要B. 必要不充分
C. 充分不必要D. 不充分不必要
【答案】D
【解析】若，如图：
当时，单调递增不能推出；
若，如图：
当时，不能推出单调递增；
所以“单调递增”是“”的不充分不必要条件.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列集合表示图中阴影部分的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】易知图中的阴影部分表示在集合中去除两集合的交集部分，即可表示为，即A正确；
还可表示为集合的补集与集合的交集，即，即D正确.
故选：AD.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 的图象可由的图象向左平移个单位得到
B. 的最小正周期是的2倍
C. 与的单调性一致，且零点相同
D. 正切函数是增函数，且是奇函数
【答案】AC
【解析】对于A，将图象向左平移个单位可以得到，即A正确；
对于B，的最小正周期是，而的最小正周期是；
因此的最小正周期是的倍，即B错误；
对于C，根据余弦函数图象性质可知与的单调性一致，且零点相同，即C正确；
对于D，正切函数在区间上单调递增，不是增函数，其图象关于原点对称，是奇函数，因此D错误.
故选：AC.
11. 对于函数，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. ，且
D. ，且
【答案】ABD
【解析】因为函数.
对于选项A：因为，
由零点存在性定理可知，故A正确；
对于选项B：根据指数函数、幂函数单调性特征可知：，当时，，
即，当时，，
所以，故B正确；
对于选项C：假设，且，
可知在内单调递增，
因为，可知在内不单调，两者相矛盾，假设不成立，
故C错误；
对于选项D：因为在内单调递增，
可知在内单调递增，
所以对，且，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若是奇函数，且当时，，则__________.
【答案】0
【解析】由奇函数可得，
又，所以.
13. 已知角的终边经过点，若角与的终边关于__________对称（请在“轴”，“轴”，“原点”中任选一个填写），则__________.
【答案】轴或轴或原点（选填其中一个）
（当空1填轴时）；（当空1填轴时）；（当空1填原点时）
【解析】由角的终边经过点可得；
若选择“轴”，
则可得角的终边经过点，因此可得；
所以；
若选择“轴”，
则可得角的终边经过点，因此可得；
所以；
若选择“原点”，
则可得角的终边经过点，因此可得；
所以.
14. 设.若，则__________.（结果用表示）
【答案】
【解析】由可得
.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
解：（1）因为或，
当时，，
此时，或.
（2）由（1）可得，
因为“”是“”的充分条件，则，
所以且，则，
因此，实数的取值范围是.
16. 设函数与在区间上的图象交于点.
（1）求、；
（2）若，求的值.
解：（1）由题意可得，则，
即，整理可得，
即，
因为，则，解得，
所以，.
（2）因为，
所以
.
17. 为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量.这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位.已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：请从①；②；③中选择合适的两个确定关于的函数解析式，并求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳）
解：易知模型③在上单调递减，因此可排除；
因为这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，根据二次函数性质可得①符合题意；
又随后越来越慢，由幂函数性质可得②符合题意；
因此在时，，
当时，；
结合图象可知经过点；
即，解得，即；
函数经过点，
即，解得，即；
因此符合题意的两函数解析式为①和②；
因为微生物的数量在个单位之间生态环境最佳，
当时，令，解得；
当时，令，解得；
综上可得，当时，满足题意；
因此该水域生态环境最佳的时长为.
18. 对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质.
（1）判断函数是否具有性质，并说明理由；
（2）若函数具有性质，求证：为定值；
（3）若函数具有性质，求的最小值.
解：（1）假设函数具有性质，
且的定义域为，
又满足存在，对任意，都有，
所以，
又，所以满足，此方程无解，
所以数不具有性质.
（2）若函数具有性质，且函数定义域为0，+∞，
所以存在，对任意的x∈0，+∞，都有，
即，
所以，故为定值.
（3）因为函数具有性质，
定义域为0，+∞，所以，
所以存在，对任意的x∈0，+∞，都有，
即，
所以，
即，
所以，
令，所以或，
又，所以，所以，
即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为4.
19. 已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）判断并证明函数在上的单调性；
（2）记函数的零点为为函数的图象上横坐标分别为的两点，点，求证：
（i）；
（ii）.
解：（1）因为，函数在上单调递增，证明如下：
任取，令，
则，
因为，则，
可得，即，
所以函数在上单调递增.
（2）（i）令，
因为，则，可得，
则，
可知函数内均有零点，
由题意可知：函数的零点为且，
所以.
（ⅱ）由题意可知：，
则，即，
因为，即，
等价于，即，
等价于，
因为，则，
又因为，则，
由（1）可在函数在上单调递增，
可知，即，
所以，即.