江苏省南通市2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题

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考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，包含单项选择题（1～8，共40分）、多项选择题（9～11，共18分，填空题（第12题～第14题，共15分）、解答题（第15～19题，共77分）.本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回.
2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置.
3.答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答.在试卷或草稿纸上作答一律无效.
4.如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的运算求解即可.
【详解】故，
故.
故选：B
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，即，解得，
所以由推不出，故充分性不成立；
由推得出，故必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D.
【详解】对于A：若，，满足，但是，故A错误；
对于B：若，，满足，但是，故B错误；
对于C：当时，，故C错误；
对于D：因为，则，所以，
所以，即，故D正确.
故选：D
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用抽象函数的定义域求解即可.
【详解】函数的定义域为，故，
若函数有意义，则，解得.
则函数的定义域为.
故选：B
5. 若，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数式，转化为对数式，再利用对数运算公式求解.
【详解】，，，，
.
故选：B
6. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当时的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇函数的对称性，先求正数区域的最小值就可得负数区域的最大值.
【详解】当时，，当且仅当取等号，
所以当时，的取值范围是，
又因为函数为定义在上的奇函数，
所以当时，，则，
即当时，的取值范围是，
故选：B.
7. 若命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，由参变量分离法可得，求出函数在区间1,2上的最小值，由此可得出实数的取值范围.
【详解】命题“，不等式恒成立”是真命题，则，
令，则，则，可得，
因为函数、在区间1,2上均为减函数，
所以，函数在区间1,2上为减函数，
故当时，，所以，
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
8. 存在三个实数，满足下列两个等式：①；②，其中表示这三个实数中的最大值，则（ ）
A. 的最大值是2B. 的最小值是2
C. 的最大值是D. 的最小值是
【答案】B
【解析】
【分析】首先分析出的正负，再根据条件，利用基本不等式转化为关于的不等式，即可求解.
【详解】由题意可知，中有2个负数，1个正数，其中是负数，，
则，
所以，则，且，
所以，即，所以最小值为2.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据基本不等式转化为，并建立关于的不等式.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D. 若，则.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据对数的运算法则及换底公式一一计算可得.
【详解】对于A：，
，
所以，故A正确；
对于B：，
，
所以，故B错误；
对于C：
，故C正确；
对于D：因为，
所以，，
所以，故D错误.
故选：AC
10. 已知函数满足，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. 为奇函数D. 为偶函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】令，可判断A；令，由奇函数的定义可证明为奇函数可判断CD；令，由可判断B.
【详解】依题意，
令，得，故A正确.
令，则，
则，所以，
令，所以，所以为奇函数，
即为奇函数，故C正确，D错误.
令，由可得，
所以，故B正确.
故选：ABC.
11. 已知，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最小值为4B. 的最小值为9
C. 的最小值为10D. 的最小值为128
【答案】BD
【解析】
【分析】利用基本不等式求出，即可判断A、D；依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式判断B、C.
【详解】因为，
所以，解得（负值已舍去），所以，
当且仅当，即时，的最小值取到，故A错误；
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，取到最小值为9，故B正确；
，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C错误；
因为，所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，故D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算______________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，由指对数的运算，即可得到结果.
【详解】原式.
故答案为：
13. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】当，符合题意，当，列不等式组，解不等式即可得出答案.
【详解】当时，在区间上单调递减，故成立，
当时，要使函数在区间上单调递减，
所以，解得：.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
14. 如图，边长为4的菱形ABCD的两条对角线交于点，且.动点从点出发，沿着菱形四条边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到点距离的平方为，则函数在上单调递______________（填“增”或“减”）；若关于的方程恰有4个不等实根，则实数的取值范围是______________.

【答案】 ①. 减 ②.
【解析】
【分析】首先确定当时的位置，再确定函数的单调性，再分段求函数的解析式，画出函数的图象，利用数形结合求实数的取值范围.
【详解】由点作，垂足为点，
由题意可知，是等边三角形，边长为4，所以，
点由点到点的过程中，OP变短，所以在上单调递减；
点到各边距离都是，如图，垂足分别为，
，，

所以，
画出函数的图象，

当时，取得最小值3，时的函数值为4，时的函数值为12，
与y=fx有4个交点时，.
故答案为：减；
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的意义，并能正确找到分界点，写出分段函数的解析式.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合，当时，写出集合，利用补集和并集的定义可得出集合；
（2）分析可知，，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为，
当时，，则或，
所以，或.
【小问2详解】
解：因为是的充分不必要条件，则，
则，解得.
因此，实数的取值范围是.
16. 已知函数.
（1）若，求的值;
（2）若，求函数的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，将式子两边同时平方即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得的解析式，从而可得的解析式，然后换元，结合二次函数的单调性，即可得到函数的最小值.
【小问1详解】
因为，所以，
两边平方可得，所以
【小问2详解】
因为，
所以，
令，则，当且仅当时，
即时，等号成立，即，
所以，对称轴为，
所以函数在上单调递增，
即时，，
所以函数的最小值为.
17. 已知定义在上的奇函数满足：对，且，都有成立，且.
（1）若函数.
①求证：函数是偶函数;
②求函数的单调区间;
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）①证明见解析；
②单调减区间是0,+∞；单调增区间是.
（2）
【解析】
【分析】（1）①由，根据偶函数的定义判断为偶函数；
②根据及，利用单调性的定义证明在0,+∞上是减函数；再根据为偶函数，得到在上是增函数.
（2）由，故可转化为或，再根据的单调性，可得不等式的解集.
【小问1详解】
①∵是定义在上奇函数，∴.
∴，
∴函数是偶函数.
②设且，则，
由，得，
∴，即，
所以函数在0,+∞上是减函数；
又∵函数是偶函数，∴在上是增函数；
所以的单调减区间是0,+∞；单调增区间是.
【小问2详解】
∵，是偶函数 ∴，
由，故可转化为或，
当时，由得，即，
因为在0,+∞上是减函数，∴；
当时，由得，即，
因为在上是增函数，∴.
即不等式的解集为.
18. 已知函数
（1）若是上的增函数，求实数的取值范围;
（2）若，方程有三个实数解.
①写出实数和的取值范围;
②求证:.
【答案】（1）
（2）①，；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意可得，解得即可；
（2）①首先得到函数解析式，即可画出函数图象，再数形结合求出的取值范围，又，，即可求出的取值范围；②由①，从而得到，再结合对勾函数的性质计算可得.
【小问1详解】
因为，
又是上的增函数，所以，解得，
所以实数的取值范围为；
【小问2详解】
当时，
当时，所以在0,2上单调递减，在上单调递增，
，令，即，解得；
当时，则在上单调递增，且，；
则的图象如下所示：
①因方程有三个实数解，即y=fx与有三个交点，
由图可知，且，，
所以；
②由①可知，
所以，
所以
令，
因为，所以，则，
所以，则，
又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以，所以，
所以.
19. 已知二次函数满足：有两个实数根.
（1）若，求实数的取值范围;
（2）若，记在时的最小值为，求的表达式;
（3）若与都是整数且，求的值.
【答案】（1）或；
（2）；
（3）时，，，时，，．
【解析】
【分析】（1）由判别式大于0可得；
（2）由已知求得，先分，然后考察对称轴与区间端点的远近，从而得最小值；
（3）求出方程的解，然后根据解是整数，得出或，代入求得．
【小问1详解】
由已知有两个不等实根，
所以，解得或；
【小问2详解】
由，可知，
又，故，显然，
所以，
当时，的图象是开口向上的抛物线，
当时，，，
当时，，
当时，的图象是开口向下的抛物线，
时，，，
时，，，
所以；
【小问3详解】
由题意，，
由得，
又方程的解都是整数，则或2，
，即时，，，
，即时，，．
综上，时，，，时，，．
【点睛】结论点睛：二次函数在区间的最值，
（1）时，，；
（2），时，，；
（3），时，，；
（4）时，，
，类似讨论可得．