江苏省南通市海安高级中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）

这是一份江苏省南通市海安高级中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版），共63页。试卷主要包含了 命题“，”的否定为， 已知，则“”是“”的条件．， 已知，则， 已知，，，则， 定义等内容，欢迎下载使用。
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为集合，，则.
故选：A.
2 已知，则（ ）
A. －1B. 1C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
故选：B
3. 已知函数，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】D
【解析】由，所以，
故选；D
4. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】根据全称命题的否定可知，，的否定为，，
故选：A
5. 已知，则“”是“”的（ ）条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】若，，满足，但不成立；
若，则，则成立.
“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由不等式性质，，故A错误，
由，故B错误；
由，故C正确；
由，故D错误.
故选：C
7. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意，，
，所以.
故选：B
8. 定义：表示、中的较小者．若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作出函数的图象如下图中的实线所示：
令，可得或，即点、，
令，可得 ，即点，
由图可知，当函数在区间上的取值范围是，
且当时，取到最大值.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲、乙、丙、丁四位同学均完成了道选项为、、、的单选题，他们的对话如下：甲：我选的；乙：我选的；丙：我选的；丁：我选的不是．已知这四位同学选的选项各不相同，且只有一位同学说了谎，则说谎的同学可能是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】AB
【解析】若甲说了谎，则乙选，丙选，甲不选，则甲选，丁选，合乎题意；
若乙说了谎，则甲选，丙选，乙不选，则乙选，丁选，合乎题意；
若丙说了谎，则甲选，乙选，丙不选，则丙选，丁选，不合乎题意；
若丁说了谎，则丁选，丙选，不合乎题意.
故选：AB.
10. 已知函数，的定义域均为，下列结论正确的是（ ）
注：函数的零点是当函数值取零时自变量的值
A. 若，均为增函数，则也为增函数
B. 若，均为减函数，则也为减函数
C. 若，均存在零点，则也存在零点
D. 若，均存在零点，则也存在零点
【答案】AC
【解析】对A，，均为增函数，则也为增函数，故A正确；
对B，，均为减函数，则不一定是减函数，
例如，不是减函数，故B错误；
对C，因为定义域为，且有解，则有解，故C正确；
对D，，均存在零点，则不一定有零点，例如都有零点，但无零点，故D错误.
故选：AC
11. 设，为正数，且且，则（ ）
A. 的最小值是2B. 的最大值是
C. 的最大值是D. 的最大值是
【答案】ACD
【解析】由，所以，
对A，，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对B，由可得，
当且仅当下时取等号，令，则，解得，
即，，当且仅当时取等号，故B错误；
对C，由，令，
则，解得，即，当且仅当时等号成立，
故C正确；
对D，由可得，
所以，令，由B知，
则由可知当时，，故当时，有最大值，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域为___________.
【答案】
【解析】由可知： ，故，
即函数的定义域为，
故答案为：
13. 已知，，则__________（用、表示）
【答案】
【解析】因为，则，
又因为，所以，.
故答案为：.
14. 已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则_________，的取值范围为_________．
【答案】
【解析】由题意，，即，
设不等式的解集为，则，，
则，
因为不等式解集中有且仅有个整数，所以，
即，解得，
所以的对称轴满足，
而，即离对称轴距离最近的整数只有，
所以，所以三个整数解为，
所以，解得.
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
（1）解：因为，
当时，，则或，
此时，.
（2）解：因为，则，
显然，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
16. 已知，命题，，
命题，．
（1）若为真命题，求的最小值；
（2）若和恰好一真一假，求的取值范围.
解：（1）为真命题，即对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，解得，即的最小值为.
（2）若为真命题，即当时，有解，
因为开口向上，对称轴为，
所以只需，即，
所以当真假时，则，解得；
当假真时，则，解得，
综上，的取值范围.
17. 已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行.
（1）某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间；
（2）一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值．
（1）解：如下图所示：
由题意可得，，，，，
由勾股定理可得，
因此，此人从海岛到达地的时间为.
（2）解：如下图所示：，，，，
由勾股定理可得，
由题意可得，即，
可得，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，快递员的速度的最大值为.
18. 已知函数，．
（1）是否存在，使得？请说明理由；
（2）设函数，判断并证明在区间上的单调性；
（3）设函数证明：，且，．
注：函数在上单调递增．
解：（1）函数，，由，得，解得，
所以存在 ，使得，.
（2）依题意，函数的定义域为，在上单调递减，，
，由，得，
则，即，因此，
所以在区间上单调递减.
（3）依题意，函数，
①，，
由，得，则，
于是；
②，，
由，得，于是；
③，，，
，
当时，，，，
则，，因此；
当时，，
，函数在上单调递减，则，
则，，因此，
即，，
所以，且，.
19. 我们知道，任何一个正实数都可以表示成．当时，记的整数部分的位数为，例如；当时，记的非有效数字的个数为，例如．
（1）求，，并写出的表达式（不必写出过程）；
（2）若，且取，求以及；
（3）已知，猜想：与的大小关系，并证明你的结论．
解：（1），，
由题意，当时，整数部分的位数为，
当时，的非有效数字的位数为，所以
（2）由，则，所以，
故，，.
（3）猜想：，
当时，为正整数且不可能是10的倍数，
所以存在，使得，此时，
而，所以，所以.