2024-2025学年天津市西青区张窝中学高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市西青区张窝中学高一下学期第一次月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共15小题，共75分。
1.下列命题正确的是( )
A. 若|a|=0，则a=0B. 若|a|=|b|，则a=b
C. 若|a|=|b|，则a//bD. 若a//b ，则a=b
2.设e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量不能作为一组基底的是( )
A. e2和e1+e2B. 9e1−6e2和4e2−6e1
C. e1+2e2和2e1+e2D. e1+e2和e1−e2
3.已知m=3,−4，则和m同向的单位向量是( )
A. 35,−45B. −35,45C. −45,35D. 45,−35
4.在▵ABC中，已知a=2，则bcsC+ccsB等于( )
A. 1B. 2C. 2D. 4
5.设x,y∈R，向量a=x,1,b=1,y,c=2,−4且a⊥c,b//c，则a+b=( )
A. 5B. 2 5C. 10D. 10
6.在▵ABC中，内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c，若a=3,b= 13,B=60 ∘，则c=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.已知向量a=(csθ,1),b=(−1,2sinθ)且向量a,b方向相反，则θ可以是( )
A. 2π3B. 5π3C. 3π4D. 7π4
8.已知非零向量a,b满足a=2b，且a−b⊥b，则a与b的夹角为( )
A. π3B. π6C. 5π6D. 2π3
9.如图，在一条河上有两座桥AC和BC，已知AC=120m,BC=80m，又测得AB=120m，则河宽CD为( )
A. 40 23 mB. 80 23 mC. 160 23 mD. 200 23 m
10.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB⇀=
A. 34AB⇀−14AC⇀B. 14AB⇀−34AC⇀C. 34AB⇀+14AC⇀D. 14AB⇀+34AC⇀
11.已知向量a,b不共线，MN=a+5b,NP=−2(a−4b),PQ=3(a−b)，则( )
A. M,N,P三点共线B. M,N,Q三点共线
C. M,P,Q三点共线D. N,P,Q三点共线
12.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC⇀2=16,AB⇀+AC⇀=AB⇀−AC⇀，则AM⇀=( )
A. 8B. 4C. 2D. 1
13.若点E是▵ABC的中线BD上的一点(不含端点)，且AE=xAB+yAC，则2x+1y的最小值为( )
A. 4B. 8C. 6D. 12
14.已知在▵ABC中，a2csAsinB=b2sinAcsB，则▵ABC的形状为( )
A. 等边三角形B. 等腰三角形
C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
15.在▵ABC中，AC=1，BC=2，∠ACB=2π3，点M满足CM=CB+2CA，则MA⋅MB=( )
A. 0B. 2C. 2 3D. 4
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
16.已知b=3,a在b上的投影向量为12b，则a⋅b的值为 ．
17.已知▵ABC的内角为A,B,C所对应的边分别为a,b,c，且bcsA=2ccsC−acsB.则角C的大小为 ．
18.设向量a=1, 3,b=m, 3，且a,b的夹角为锐角，则实数m的取值范围是 ．
19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a= 7，b=2，A=60°，则sin B= ，c= ．
20.在▵ABC中，若lga+c+lga−c=lgb−lg1b+c，则角A等于 ．
21.如图梯形ABCD，AB//CD且AB=5，AD=2DC=4，E在线段BC上，AC⋅BD=0，则AE⋅DE的最小值为 ．
三、解答题：本题共4小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.已知a=(1,2)，b=(−3,1).
(1)求|a−2b|；
(2)设a与b的夹角为θ，求csθ的值；
(3)若向量a+kb与a−kb互相垂直，求k的值．
23.已知▵ABC中∠C是直角，CA=CB，点D是CB的中点，E为AB上一点．
(1)设CA=a，CD=b，当AE=12AB，请用，来表示AB⇀，CE．
(2)当AE=2EB时，求证：AD⊥CE．
24.在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知m=a,c−2b，n=csC,csA，且m⊥n．
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=5，ΔABC的面积为 3，求ΔABC的周长
25.已知在▵ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，满足2ccs2B2+b−2acsC=c．
(1)若AC⋅BC=6，求▵ABC的面积；
(2)已知向量m=5, 3,n= 3,csA，且m//n，求sinB−A的值．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.C
5.C
6.D
7.D
8.A
9.C
10.A
11.B
12.C
13.B
14.D
15.A
16.92
17.π3
18.m>−3且m≠1
19. 217
；3
20.2π3
21.9513
22.解：(1)a−2b=(1,2)−2(−3,1)=(1+6,2−2)=(7,0)；
故|a−2b|= 72+02=7.
(2)cs θ=a⋅b|a|⋅|b|=1×(−3)+2×1 1+(−3)2⋅ 22+1=− 210；
(3)因为向量a+kb与a−kb互相垂直，
所以(a+kb)⋅(a−kb)=0，即a2−k2b2=0，
因为a2=5，b2=10，
所以5−10k2=0⇒k=± 22.

23.(1)∵CA=a，CD=b，点D是CB的中点，
∴CB=2b，
∴AB=CB−CA=2b−a，
∵CE=CA+AE=a+12AB=a+122b−a=12a+b．
(2)以C点为坐标原点，以CB，CA为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设A0,a，∴B点坐标为a,0，另设点E坐标为x,y，∵点D是CB的中点，
∴点D坐标为a2,0，
又∵AE=2EB，∴x,y−a=2a−x,−y，∴x=2a3，y=a3，
所以AD=a2,−a，CE=2a3,a3，
所以AD⋅CE=a2×2a3+−a×a3=0，
∴AD⊥CE．

24.(1)∵m⊥n ∴m⋅n=acsC+c−2bcsA=0
由正弦定理得：sinAcsC+sinC−2sinBcsA=0
即：sinAcsC+csAsinC−2sinBcsA=sinA+C−2sinBcsA=0
∵A+B+C=π ∴sinA+C=sinB ∴sinB−2sinBcsA=0
∵B∈0,π ∴sinB≠0 ∴csA=12
∵A∈0,π ∴A=π3
(2)∵SΔABC=12bcsinA=12bcsinπ3= 34bc= 3 ∴bc=4
由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccsA=b+c2−2bc−2bccsπ3=25−12=13
∴a= 13 ∴ΔABC的周长L=a+b+c=5+ 13

25.(1)∵2ccs2B2+b−2acsC=c，
∴c2cs2B2−1=2a−bcsC，
∴ccsB=2a−bcsC，
∴sinCcsB=2sinA−sinBcsC，
∴sinCcsB+sinBcsC=sinA=2sinAcsC，
∵A∈0,π,∴sinA≠0．
∴csC=12，C=π3．
∵AC⋅BC=abcsC=6，∴ab=12．
∴S△ABC=12absinC=3 3．
(2)∵m=5, 3,n= 3,csA，且m//n，∴5csA− 3× 3=0，
∴csA=35,sinA=45,∵A+B=2π3，
∴sinB−A=sin2π3−2A，
=sin2π3cs2A−cs2π3sin2A= 3cs2A+sinAcsA− 32
=9 325+1225− 32=24−7 350．