2024-2025学年江苏省常州市田家炳高级中学高一下学期期中联合调研数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省常州市田家炳高级中学高一下学期期中联合调研数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知z2+i=1−i，则|z|=( )
A. 102B. 105C. 52D. 55
2.在▵ABC中，若acsB+bcsA=csinA，则▵ABC的形状为( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
3.已知π4≤α≤π，π≤β≤3π2，sin2α=45，cs(α+β)=− 210，则β−α=( )
A. 34πB. π4C. 54πD. π2
4.已知在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足 a2+b2−c2=4 33S▵ABC，则下列条件能使▵ABC成为锐角三角形的是( )
A. A=π6B. a=2,b=4C. b=3,c=2D. a=2,c=3
5.已知sin(α−β)=−13，且sinαcsβ=16，则cs(2α+2β)=( )
A. 59B. −19C. 19D. 49
6.计异下列合式的值，结果为2的是( )
A. tan75∘+tan60∘B. 1sin15∘cs15∘
C. 1+tan20∘⋅1+tan25∘D. 1cs80∘− 3sin80∘
7.“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB=2,CD=1,∠A=45∘.点P在线段AB与线段BL上运动，则EH⋅FP的取值范围为( )
A. [−4,6]B. [0,6]C. [0,8]D. [4,8]
8.▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinB=−2sinCcsA,ac=2 3则▵ABC面积的最大值为( )
A. 12B. 32C. 1D. 2
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法中正确的有( )
A. a⋅bc≤abc
B. 已知a在b上的投影向量为12b且b=5，则a⋅b=52
C. 若非零向量a，b满足a=b=a−b则a与a+b的夹角是30°
D. 已知a=(1,2),b=(1,1)，且a与a+λb夹角为锐角，则λ的取值范围是−53,+∞
10.下列命题中正确的是( )
A. 若复数z满足1z∈R,则z∈R
B. 若z为复数，则z2=∣z∣2必成立
C. 若复数z=12+ 32i,则z18=1
D. 若复数z满足|z|=z+i+1，则z为纯虚数
11.已知▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中b=4，m=bc,tanB，n=tanA,bc，m⋅n= 33csA，则( )
A. B=5π6
B. ▵ABC的外接圆面积为16π
C. 若AM=34AC，∠BAC=∠ABM，则BC=8 1313
D. 若AM=34AC，∠BAC=∠ABM，则sin∠BAC= 1313
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知z1=−4a+1+2a2+3ai,z2=2a+a2+ai，其中a∈R，z1>z2，则a的值为 ．
13.设平面向量a=(1,0),b=−1, 3,若a,c=b,c,则平面向量c的坐标是 .(写出其中一个c的坐标)
14.已知tanθtan2θtanθ−tan2θ=45,则sin4θ+cs4θ=
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知复数z=51+2i+1+i，i为虚数单位．
(1)求z；
(2)若复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，求实数m，n的值．
16.若已知向量a=csx,sinx，b=csx+2 3sinx,−sinx，设函数f(x)=a⋅b．
(1)若a//b且x∈0,π，求角x的大小；
(2)已知α，β均为锐角，fα+π6=65，sin(α−β)=−513，求sin(α+β)的值．
17.记▵ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知b2+c2−a2= 2bc，2sin(C−A)=sinB.
(1)求sinC;
(2)设BC=10，求BC边上的高．
18.如图，在▵ABC中，已知AB=2,AC=4,∠BAC=60°，M是BC的中点，N是AC上的点，且AN=xAC，AM,BN相交于点P.设AB=a,AC=b,
(1)若AM⊥PN，求▵ABN的面积;
(2)若x=13,求cs∠MPN的值．
19.中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数也可以表示为2sin18°.三倍角公式是把形如sin3α,cs3α等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式广泛应用于数学、物理、天文等学科．
(1)已知cs3α=4cs3α−3csα，试证明此三倍角公式；
(2)若角α满足cs3αcsα=−12，求sin3αsinα的值；
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值2sin18∘.
参考答案
1.B
2.A
3.A
4.D
5.C
6.C
7.C
8.B
9.AC
10.ACD
11.BCD
12.0
13.1, 3(答案不唯一)
14.1725/0.68
15.解：(1)因为复数z=51+2i+1+i=51−2i1+2i1−2i+1+i=51−2i1−4i2+1+i=1−2i+1+i=2−i，
所以z=2+i
(2)因为复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，
所以2−i2+m2−i+n=0，
可得4−4i+i2+2m−mi+n=0，即(3+2m+n)−(m+4)i=0，
所以3+2m+n=0m+4=0，解得m=−4,n=5．

16.解：(1)∵a//b，
∴csx⋅−sinx−sinxcsx−2 3sinx=0，
∴−sinx⋅2csx+2 3sinx=0，
∵x∈(0,π)，
∴sinx≠0，
∴2csx+2 3sinx=0，
∴4sinx+π6=0，
∴sinx+π6=0，
∵x∈0,π，
∴x+π6∈π6,76π，
∴x+π6=π
∴x=56π；
(2)f(x)=a⃗⋅b⃗=cs2x+2 3sinxcsx−sin2x
= 3sin2x+cs2x=2sin2x+π6，
∴fα+π6=2sin2α+π2=2cs2α=65，
∴cs2α=35，
∵α∈0,π2，β∈0,π2，
∴2α∈0,π，α−β∈−π2,π2，
∴sin2α=45，
∵sin(α−β)=−5130，∴sinC=3 1010.
(2)由正弦定理得BCsinA=ABsinC，
得AB=BCsinA×sinC=10 22×3 1010=6 5，
由(1)得，sinC=3 1010,tanC>0，csC= 1010，
∴sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC=2 55，
设BC边上的高为ℎ，则ℎ=AB×sinB=6 5×2 55=12，
∴BC边上的高为12.

18.解：(1)因为AM⊥PN，所以AM⊥BN．
因为AM=12a+12b，BN=AN−AB=−a+xb，
所以AM⋅BN=12a+12b⋅−a+xb=−12a2+12xb2+12x−12a⋅b，
又因为a2=AB2=4,b2=AC2=16,a⋅b=2×4×cs60∘=4，
所以，AM⋅BN=−12×4+12x×16+12x−12×4=10x−4=0，解得x=25．
所以，AN=25AC，则AN=85，
所以S▵ABN=12×AB×AN×sin60∘=12×2×85× 32=4 35．
(2)易知AM=12AB+12AC,BN=BA+AN=−AB+13AC，
则AM=12AB+12AC= 14AB2+14AC2+12AB·AC= 1+4+12×2×4×12= 7，
BN=−AB+13AC= AB2+19AC2−23AB·AC= 4+169−23×2×4×12=2 73，
AM⋅BN=12AB+12AC·−AB+13AC=−12AB2−13AB·AC+16AC2=−12×4−13×4+166=−23，
所以．
19.(1)证明见解析

19.解：(1)由cs3α=cs(2α+α)=cs2αcsα−sin2αsinα
=(2cs2α−1)csα−2sin2αcsα=2cs3α−csα−2(1−cs2α)csα
=2cs3α−csα−2csα+2cs3α=4cs3α−3csα，得证；
(2)由(1)知cs3αcsα=4cs2α−3=−12，可得cs2α=58，
又sin3α=sin(2α+α)=sin2αcsα+cs2αsinα
=2sinαcs2α+(1−2sin2α)sinα=2sinα1−sin2α+(1−2sin2α)sinα
=2sinα−2sin3α+sinα−2sin3α=3sinα−4sin3α，
故sin3αsinα=3−4sin2α=3−4(1−cs2α)=4cs2α−1=32
(3)由cs54∘=sin36∘，则cs(3×18∘)=sin(2×18∘)，
所以4cs318∘−3cs18∘=2sin18∘cs18∘，则4cs218∘−3=2sin18∘，
所以4sin218∘+2sin18∘−1=0，可得sin18∘= 5−14(负值舍)，
所以2sin18∘= 5−12．