2024-2025学年江苏省常州市联盟学校高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省常州市联盟学校高一（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=1(1−i)2，则|z|=( )
A. −2B. 2C. −12D. 12
2.已知tan(α+β)=3，tan(α−β)=2，则tan2α=( )
A. −1B. 7C. 17D. 724
3.在△ABC中，点D在线段BC上，且BC=3BD，E是线段AB的中点，则DE=( )
A. −13AC+16ABB. 13AC−16ABC. 13AC+16ABD. −13AC−16AB
4.在△ABC中，BC=8,AC=10,sin∠BAC=45，则△ABC的面积为( )
A. 6B. 8C. 24D. 48
5.已知α∈(0,π)，sin(3π2−α)=−2+ 34，则sinα2=( )
A. 3−14B. 3+14C. 3−18D. 3+18
6.设向量a，b是非零向量，且|a|=2|b|，向量a在向量b上的投影向量为−2b，若(λa+b)⊥(a−b)，则实数λ的值为( )
A. 12B. 13C. 23D. 2
7.如图，在C处(点C在水平地面ABO下方)进行某仪器的垂直弹射，水平地面上的两个观察点A，B相距100米，∠BAC=60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.在A地测得最高点H的仰角∠HAO=30°(O为CH与水平地面ABO的交点)，在A地测得该仪器在C处的俯角∠OAC=15°，则该仪器的垂直弹射高度CH为( )
A. 210( 6+ 2)米B. 140 6米
C. 210 2米D. 20( 6− 2)米
8.记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2 6,ccs(A−B)+2 3asinBcsC=−ccsC，则AB边上的中线CD长度的最小值为( )
A. 12B. 22C. 2D. 2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设a,b,c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是( )
A. 若a⊥b，则|a+b|=|a−b|
B. 若|a|=|b|，则(a+b)⊥(a−b)
C. 若a⋅c=b⋅c，则a−b与c垂直
D. (a⋅b)c=a(b⋅c)
10.已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a2+b2−c2=4 33S△ABC，则下列条件能使△ABC成为锐角三角形的是( )
A. A=π4B. a=2，b=3C. a=2，c=3D. b=3，c=2
11.已知函数f(x)=cs4x+sin2x，则下列说法正确的是( )
A. π是f(x)的一个最小正周期B. f(x)是偶函数
C. f(x)在(0,π4)上单调递减D. x=−π8是f(x)图象的一条对称轴
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数z=i2025(1−i)−a为纯虚数，则实数a的值为______．
13.如图为南岸区黄桷垭文峰塔，建于清朝道光年间，距今已有160多年历史，为七级楼阁式塔，某同学为测量文峰塔的高度MN，在文峰塔的正东方向找到一座建筑物AB，高约为10m，在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A和文峰塔顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得塔顶部M的仰角为15°，则文峰塔的高度为______．
14.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为△ABC的外心，b=4，c=5，且有cs2(π2+A)+csA=54.若AO=λAB+μAC，则λ−μ= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=m+2+(m−2)i(m∈R)．
(1)若复数z在复平面上对应点落在第一象限，求实数m的范围；
(2)z−为z的共轭复数，且z+z−=6.若z−3i是关于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，sin∠BAC+ 3cs∠BAC=0，AB=4，BC=2 7．
(1)求AC的长；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
17.(本小题15分)
如图，在平面直角坐标系中，角α、β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α、β的终边与单位圆分别交A、B两点，点C是单位圆与x轴正半轴的交点．
(1)当A( 55,2 55)，B(−7 210, 210)时，求sin(2α+β)的值；
(2)若P为劣弧AC上的动点，当点A的横坐标为12时，求PA⋅PC最小值．
18.(本小题17分)
如图所示，AD是△ABC的一条中线，点O满足AO=2OD，过点O的直线分别与射线AB，射线AC交于M，N两点．
(1)求证：AO=13AB+13AC；
(2)设AM=mAB，AN=nAC，m>0，n>0，求1m+1n的值；
(3)如果△ABC是边长为a(a>0)的等边三角形，求OM2+ON2的取值范围．
19.(本小题17分)
在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足cs2A−cs2B=(sinC−sinA)sinC．
(1)求角B的大小；
(2)若c=1，求△ABC面积的取值范围；
(3)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点.若△ABC的面积为3，是否在△ABC内部存在费马点P，使得PB2−PA⋅PC为定值，若存在请求出该定值并说明理由，若不存在也请说明理由．
参考答案
1.D 2.A 3.D 4.C 5.A 6.A 7.B 8.C
9.ABC 10.ABC 11.BC
12.1
13.20
14.320
15.
16.
17.
18.解：(1)证明：∵AO=2OD，∴AO=23AD，
∵D是BC的中点，∴AD=12(AB+AC)，
∴AO=23AD=13AB+13AC．
(2)∵AM=mAB，AN=nAC，m>0，n>0，
∴AB=1mAM，AC=1nAN，
∵AO=13AB+13AC，
∴AO=13mAM+13nAN，
∵M，O，N三点共线，
∴13m+13n=1，∴1m+1n=3．
(3)∵AM=mAB，AN=nAC，m>0，n>0，
由(1)(2)知AO=13AB+13AC，1m+1n=3，即m+n=3mn，
∵OM=AM−AO=3m−13AB−13AC，
ON=AN−AO=3n−13AC−13AB，
∴OM2+ON2=(3m−13AB−13AC)2+(3n−13AC−13AB)2
=19[(9m2−6m+2)AB2+(9n2−6n+2)AC2−2(3m+3n−2)AB⋅AC]，
∵△ABC是边长为a(a>0)的等边三角形，
∴OM2+ON2=a2(m2+n2−m−n+23)，
令t=mn，∵3mn=m+n≥2 mn，即mn≥49，
当且仅当m=n时，等号成立，∴t≥49，
∴m2+n2−m−n+23=(m+n)2−5mn+23=9(mn)2−5mn+23=9t2−5t+23，
∵t≥49，∴9t2−5t+23≥29，
∴OM2+ON2=a2(m2+n2−m−n+23)≥2a29．
∴OM2+ON2的取值范围是[2a29,+∞)．
19.解：(1)因为cs2A−cs2B=(sinC−sinA)sinC，
所以(1−sin2A)−(1−cs2B)=sin2C−sinA⋅sinC，
即sin2B=sin2A+sin2C−sinA⋅sinC，
即b2=a2+c2−ac，
所以csB=12，
因为B(0,π2)，
所以B=π3．
(2)因为△ABC是锐角三角形，又B=π3，所以π6