数学八年级下册勾股定理习题

这是一份数学八年级下册勾股定理习题，共31页。
1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；
2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；
3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题；
【要点梳理】
要点一、勾股定理
1.勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）
2.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）求作长度为的线段.
要点二、勾股定理的逆定理
1.原命题与逆命题
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2.勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；
（2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.
3.勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
1.较小的直角边为连续奇数；
2.较长的直角边与对应斜边相差1.
3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.
（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）
要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.
【典型例题】
类型一、勾股定理✭✭勾股定理逆定理➽➼求值✭✭证明
1．在中，，，，是斜边上高．
（1）求的面积；
（2）求斜边；
（3）求高．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根据直角三角形两直角边乘积的一半为三角形的面积进行求解即可；
（2）根据勾股定理求解即可；
（3）根据等积法求出高即可．
（1）解：∵在中，，，，
∴；
解：根据勾股定理可得：
；
（3）解：∵，
∴．

【点拨】本题主要考查了勾股定理，直角三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理及三角形面积的计算公式．
举一反三：
【变式1】如图，等边三角形的边长为4，为边上的中线，且，求的长．

【答案】
【分析】过A作于点F，根据等边三角形的性质可得，再根据勾股定理可得的长，根据含角的直角三角形的性质可得的长，进一步可得的长，再根据勾股定理可得的长．
解：过A作于点F，如图所示：

∵是等边三角形，
∴F为边上的中点，
∵等边三角形的边长为4，
∴，
在中，根据勾股定理，
得，
∵是边上的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理，
得．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
【变式2】如图，在中，，，．
求的长；
点P从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接．设点P运动的时间为t秒，当t为何值时，为等腰三角形．
【答案】(1) ；(2) 当或或时，为等腰三角形．
【分析】（1）由勾股定理可得；
（2）依题意得，分三种情况求解：当时，；当时，，，则；当时，过点C作，垂直为D，在中，，求出，在中，，求出，则．
（1）解：∵，，，
由勾股定理可得；
（2）依题意得，
当时，，
当时，，
∴，
，
∴；
当时，过点C作，垂直为D，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
当或或时，为等腰三角形．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和判定方法，分类讨论动点的运动情况是解题的关键．
2．如图，在中，内角所对的边分别为．
（1）若，请直接写出与的和与的大小关系；
（2）求证：的内角和等于；
（3）若，求证：是直角三角形．

【答案】（1）；（2）证明见分析；（3）证明见分析
【分析】（1）根据三角形中大角对大边，即可得到结论；
（2）画出图形，写出已知，求证；过点A作直线MN∥BC，根据平行线性质得出∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，代入∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°即可求出答案；
（3）化简等式即可得到a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理即可得到结论
解：在中，，

；
如图，过点作，

，
（两直线平行，内错角相等），
（平角的定义），
（等量代换），
即：三角形三个内角的和等于；
（3），
，
，
，
是直角三角形．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，根据证明过程运用转化思想是解题的关键．
举一反三：
【变式1】阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
【答案】（1）C；（2）没有考虑a=b的情况；（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【分析】（1）根据等式的性质进行判断即可；
（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；
（3）根据a=b，写出正确的结论即可．
解：（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为C；
（2）错误的原因为：等式两边同时除以一个整式时，没有考虑除数不为0，即没有考虑a=b的情况，
故答案为没有考虑a=b的情况；
（3）由（2）可知，本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故答案为△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【点拨】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．
【变式2】在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．
当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为 三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为 三角形．
猜想，当a2+b2 c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2 c2时，△ABC为钝角三角形．
判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．
【答案】(1) 锐角；钝角(2) ＞；＜(3) ①当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；②当c=2时，这个三角形是直角三角形；③当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．
【分析】（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可：
（2）根据（1）中的计算作出判断即可；
（3）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解．
解：（1）∵两直角边分别为6、8时，斜边=10，
∴当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；
当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形．
（2）当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；
当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．
（3）∵c为最长边，2+4=6，∴4≤c＜6，a2+b2=22+42=20．
①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，
∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；
②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，
∴当c=2时，这个三角形是直角三角形；
③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，
∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．
【点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．
类型二、勾股定理✭✭勾股定理逆定理➽➼作图✭✭求值✭✭证明
3．如图，△ABC为锐角三角形．
请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹）
在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2）
【答案】(1) 见分析(2)
【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分线的性质作，即可找出点D；
（2）由题意可知四边形ABCD是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长，求出梯形的面积即可．
（1）解：如图，

∴点D为所求点．
（2）解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E，

∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴，四边形ABCD是梯形，
∴，
∴四边形AECD是矩形，
∴，
∴四边形ABCD的面积为，
故答案为：．
【点拨】本题考查作图，作相等的角，根据垂直平分线的性质做垂线，根据直角三角形的性质及勾股定理求线段的长，正确作出图形是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，点是数轴上表示实数的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
【答案】（1）见分析；（2），见分析
【分析】（1）利用勾股定理构造直角三角形得出斜边为，再利用圆规画圆弧即可得到点．
（2）在数轴上比较，越靠右边的数越大．
解：（1）如图所示，点即为所求．
（2）如图所示，点在点的右侧，所以
【点拨】本题考查无理数与数轴上一一对应的关系、勾股定理、尺规作图法、熟练掌握无理数在数轴上的表示是关键．
【变式2】如图，的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出的角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹）．

【答案】见分析
【分析】取格点E，连接AE，作AE的中点D，根据等腰三角形三线合一的性质可知：BD即为的角平分线．
解：如图，射线BD即为所求作．
．
【点拨】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形三线合一的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．图1，图2均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，B，E，F均在格点上，在图①，图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
在图①中画一个等腰直角三角形ABC．
在图②中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．
【答案】(1) 见分析(2) 见分析
【分析】（1）根据题意作出等腰直角三角形即可．
（2）作出其面积为9，且∠EFG＝90°的四边形即可．
（1）解：如图3，△ABC即为所求．理由是：
由勾股定理得AC＝AB＝，BC＝＝
∴，
∴
∴△ABC是直角三三角形，
∵AC＝AB
∴△ABC是等腰直角三三角形

（2）解：如图4，四边形EFGH即为所求．理由是：如图5，
四边形EFGH的面积＝
在Rt△EFM和Rt△FGN中，
∵MF＝NG＝1，∠EMF＝∠FNG＝90°，EM＝FN＝3
∴Rt△EFM≌Rt△FGN（SAS）
∴∠EFM＝∠FGN
∵∠EFM＋∠GFN＝∠FGN＋∠GFN＝90°
∴∠EFG＝180°－（∠EFM＋∠GFN）＝90°

【点拨】本题考查作图﹣应用与设计作图等腰直角三角形和四边形，解题的关键是正确的作出图形．
举一反三：
【变式1】如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺，经过的格点请描深一点．）
边的长度为______；
作△ABC的角平分线；
已知点在线段上，点在（2）中作出的线段上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格图中作出△PBQ．

【答案】(1) (2) 见分析 (3) 见分析
【分析】（1）根据勾股定理即可求出AC的长；
（2）利用等腰三角形的性质，连接AD即可；
（3）取格点P，连接CP交AD于点Q，△PBQ即为所求．
(1)解：根据勾股定理，得
AC=，
故答案为：；
(2)解：如图，AD即为所求；

∵AB== AC，
∴△ABC为等腰三角形，
D为BC中点，
∴AD为△ABC的角平分线；
(3)解：如图，△PBQ即为所求；

∵AC2=50，AP2=42+42=32，CP2=32+32=18，
∴AC2= AP2+CP2，
∴∠APC=90°，即CP⊥AB，
∵AD为等腰△ABC的角平分线，
∴QB=QC，
∴QB+ QP的最小值为CP．
【点拨】本题考查了作图-应用与设计作图、等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
【变式2】在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，2）、（2，﹣3）．
（1）在AB的左侧画△ABC，使∠BAC＝90°，AC＝AB；
（2）画△DEF，使△DEF与△ABC关于y轴对称（点A、B、C的对应点分别是点D、E、F）；
（3）连接BE、CE，直接写出△BCE的面积 ．
【答案】（1）见分析； （2）见分析 ；（3）14
【分析】（1）找到坐标点，根据勾股定理以及勾股定理的逆定理即可判定，，连接即可；
（2）找到点关于轴的对称点，连接即可；
（3）△BCE以为底，高为，根据三角形面积公式求解即可．
解：（1）找到坐标点，由勾股定理得
，，
∴，
∴，符合题意，
连接，即可；
（2）点、、关于轴对称的点的坐标分别为、、，标出，连接即可；
（3）由图形可得
△BCE是以为底，高为，则
故答案为
【点拨】此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，轴对称变换，图形与坐标，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及轴对称变换的性质．
类型三、勾股定理✭✭勾股定理逆定理➽➼折叠问题✭✭求值✭✭证明
5．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6和8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，则折痕DE长为__________．
【答案】
【分析】在中利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得到，，设，则，，在中根据勾股定理计算出，则，利用三角形面积公式计算出，再在中利用勾股定理计算出．
解：在中，，，
，
把沿使与重合，
，，
，
设，则，，
在中，，即，
，
，
，
在中，，
．
【点拨】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，也考查了勾股定理，能熟练应用相关性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】综合与实践动手操作：用矩形下的折叠会出现等腰三角形，快速求BF的长．
（1）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则等腰三角形是 ；
（2）利用勾股定理建立方程，求出BF的长是多少？
（3）拓展：将此矩形折叠，使点B与DC的中点E重合，请你利用添加辅助线的方法，求AM的长；
【答案】（1）是等腰三角形；（2）；（3）AM的长为.
【分析】（1）证明可知，即是等腰三角形；（2）可设，则，在中，根据勾股定理可求解；（3）连接ME，可设,则，在根据勾股定理分别表示出
，等量代换，可得x的值，即AM的长.
解：（1）是等腰三角形
四边形ABCD是矩形
由折叠的性质得：


是等腰三角形
（2）设，则
在中，根据勾股定理得
解得

（3）连接ME，设,则，由折叠性质得
E为DC的中点

在中，根据勾股定理得
在中，根据勾股定理得

解得
所以AM的长为
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，灵活的用同一个未知数表示直角三角形边之间的关系，利用勾股定理求线段长是解题的关键.
【变式2】如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是长方形，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上且A（10，0），C（0，6），点D在AB边上，将△CBD沿CD翻折，点B恰好落在OA边上点E处．
（1）求点E的坐标；
（2）求折痕CD所在直线的函数表达式；
（3）请你延长直线CD交x轴于点F． ①求△COF的面积；
②在x轴上是否存在点P，使S△OCP=S△COF？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）E（8，0）；（2）y=﹣x+6（3）①54；②点P的坐标为（6，0）或（﹣6，0）．
【分析】（1）根据折叠的性质知CE=CB=10．在在直角△COE中，由勾股定理求得OE=8；
（2）根据OC=6知C（0，6），由折叠的性质与勾股定理，求得D（10，），利用待定系数法求CD所在直线的解析式；
（3）①根据F（18，0），即可求得△COF的面积；②设P（x，0），依S△OCP=S△CDE得×OP×OC=×54，即×|x|×6=18，求得x的值，即可得出点P的坐标．
解：（1）如图，
∵四边形ABCD是长方形，
∴BC=OA=10，∠COA=90°，
由折叠的性质知，CE=CB=10，
∵OC=6，
∴在直角△COE中，由勾股定理得OE==8，
∴E（8，0）；
（2）设CD所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵C（0，6），
∴b=6，
设BD=DE=x，
∴AD=6-x，AE=OA-OE=2，
由勾股定理得AD2+AE2=DE2
即（6-x）2+22=x2，
解得x=，
∴AD=6-=，
∴D（10，），
代入y=kx+6 得，k=-，
故CD所在直线的解析式为：y=-x+6；
（3）①在y=-x+6中，令y=0，则x=18，
∴F（18，0），
∴△COF的面积=×OF×OC=×18×6=54；
②在x轴上存在点P，使得S△OCP=S△COF，
设P（x，0），依题意得
×OP×OC=×54，即×|x|×6=18，
解得x=±6，
∴在x轴上存在点P，使得S△OCP=S△COF，点P的坐标为（6，0）或（-6，0）．
【点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理以及待定系数法求一次函数的解析式的综合应用．解答此题时注意坐标与图形的性质的运用以及方程思想的运用．
类型四、勾股定理✭✭勾股定理逆定理➽➼勾股定理的证明✭✭应用
6．观察、思考与验证
如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ．
如图2所示，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE=90°．
伽菲尔德(1881年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图2证明了勾股定理(发表在1876年4月1日的