浙江省杭州市联谊学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分.）
1. 已知是虚数单位，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对应点写出复数，再应用复数乘法化简求复数.
【详解】由题设.
故选：A
2. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的一组基底为两个不共线的非零向量，结合的坐标，逐项判断可得答案.
【详解】A.为零向量，不能作为基底，A错误.
B.由得，，故，不能作一组基底，B错误.
C.由得为不共线的非零向量，可以作为基底，C正确.
D.由得，，故，不能作为一组基底，D错误.
故选：C.
3. 已知正三角形的边长为1，则的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由向量加减的几何意义及数量积的运算律求.
详解】由题设.
故选：C
4. 在中，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知及余弦定理得，进而有，再应用三角形面积公式求面积.
【详解】由题设，且为三角形的最大角，
所以，则的面积为.
故选：D
5. 已知，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求得答案.
【详解】由，得，，
所以在上的投影向量为.
故选：A
6. 已知平面向量满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据条件可得，表示，利用基本不等式可得最大值.
【详解】不妨设，
∴，
∵，∴，即，
∴.
∵，，当且仅当时取等号，
∴的最大值为.
故选：B.
7. 是斜边上一点，若，则的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，结合几何图形，利用正弦定理及二倍角公式列式求解.
【详解】在中，令，由，则，
，，
在中，，由正弦定理，，
即，整理得，
即，因，则有，即的值是.
故选：D
8. 在中，内角所对的边分别为，已知，依次是边的四等分点（靠近点），记，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件得到，，表示，利用数量积的运算律计算可比较大小.
【详解】
∵，∴，
∵，∴.
∵，∴.
∵依次是边的四等分点（靠近点），
∴，
，
，
∴
，
，
，
∴.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用表示，结合数量积的运算律计算，即可比较大小.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选，错选得0分.）
9. 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足，则下列正确的是（ ）
A. 的虚部为
B.
C. 是纯虚数
D. 若是方程的一个根，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据已知有，设且，进而求得，，最后依次判断各项正误.
【详解】由题设，令且，
所以，即，
所以，则，可得，
所以，，则，A错，B对；
，C对；
若是方程的一个根，
则，，故，D错.
故选：BC
10. 已知单位向量的夹角为，若平面向量，有序实数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记，则下列命题正确的是（ ）
A. 已知，则
B. 已知，则线段的长度为1
C. 已知，则
D. 已知，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题设“仿射”坐标系的定义，依据各项条件并应用向量数量积的运算律及相关坐标运算判断正误即可.
【详解】A：由题设，
所以，对；
B：由题设，则，对；
C：由题设，错；
D：由题设，即，
由，且时取等号，
则，故，即时的最大值为，对.
故选：ABD
11. 已知锐角，角所对应的边分别为，下列命题正确的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则的取值范围
D. 若，则的取值范围
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据充分、必要性定义及诱导公式、锐角三角形性质判断A；由已知及正弦边角关系及二倍角正弦公式有，结合锐角三角形有判断B；由已知及正余弦定理、三角恒等变换得，进而有，且，再由、求范围，即可判断C、D.
【详解】由，则，所以，必要性成立，
由，又为锐角三角形，必有，充分性成立，
所以“”是“”的充要条件，A错；
由，又，
故，则，
又，则或，得或（舍），
所以为等腰三角形，B对；
由，又，则，
所以，则，故，
所以，即，
结合三角形为锐角三角形，可得，故，
由，故，C对；
，
又，显然在上单调递减，
所以，D对.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：对于C、D，根据已知得到，且为关键.
非选择题部分
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知向量，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由向量加法的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数值.
【详解】由题设，且，
所以，则.
故答案为：
13. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求的最大值为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据新定义有，结合三角函数的性质求其最大值.
【详解】由题设，
当，即时，的最大值为2.
故答案为：2
14. 已知为单位向量，设向量，向量夹角为，若，求的取值范围__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知及数量积的运算律求得，，，再应用数量积的夹角公式求的范围.
【详解】由，
所以，故，
又，，
所以
，而，所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据已知得到为关键.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足
（1）求的值；
（2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）令且，根据已知等量关系得，进而求复数模；
（2）由已知有，结合其所在象限列不等式组求参数范围.
【小问1详解】
令且，则，
所以，则，可得，
所以，则；
【小问2详解】
由，
故对应点在第三象限，则，
所以，即.
16. 已知的内角所对应的边分别为是外一点，若，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角性质及已知，即可确定角大小；
（2）由（1）为等边三角形，令，建立直角坐标系并确定相关点坐标，由及三角形面积公式、辅助角公式、正弦型函数的性质求范围.
【小问1详解】
由题设，即，
所以，而，故，
又，则，故.
【小问2详解】
由（1）易知为等边三角形，令，建立如下图的直角坐标系，
则，，，故，
所以
，当时取最大值为.
17. 在中，为线段上的点，分别为的中点.
（1）若，求的值；
（2）若，求的长度；
（3）若，求的值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）令得到，结合已知即可求参数值；
（2）由已知得，，，结合已知有，再应用余弦定理求边长；
（3）根据已知有均为等腰三角形，结合向量数量积的定义及几何意义，将条件化为，结合已知求.
【小问1详解】
令，则，
而，即；
【小问2详解】
由题意，在、中为斜边上的中点，
所以，，故，，
所以，
由，
所以，
故；
【小问3详解】
由（2）易知，则，

所以，
同理，
所以，即，
显然，则.
18. 杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）

（1）请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）；
（2）为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式）
【答案】（1）300米；
（2）为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大.
【解析】
【分析】（1）根据已知有，即可求的高度；
（2）由，根据已知及差角正切公式、基本不等式求的最值，确定取值条件即可得结论.
【小问1详解】
由题设，
所以米；
【小问2详解】
设米，则，，
由，则
，
当且仅当时，欣赏“灯光秀”的视角最大.
19. 如图，已知是边长为1的等边三角形，点是内一点.过点的直线与线段交于点，与线段交于点.设，且.
（1）若，求的面积；
（2）求的最小值；
（3）若，设的周长为.
（i）求的值；
（ii）设，记，求的值域.
【答案】（1）；
（2）；
（3）（i）3；（ii）.
【解析】
【分析】（1）连接AG并延长交BC于点F，设，则，结合三点共线可得，，进而求得，，即可得出结果.
（2）取的中点，利用中点向量及数量积的定义、运算律，结合二次函数求出最小值.
（3）（i）根据给定条件，结合中点向量及共线向量定理的推论求解即得；（ii）求出，由余弦定理求得，结合（i）的结论求出，利用的范围及二次函数的性质求解即可得出的值域.
【小问1详解】
连接AG并延长，交BC于点F，设，则，
由B，F，C三点共线，得，解得，
因此，即，则，
由是边长为1的等边三角形，得的面积
由，得，由，得，
则，所以的面积.
【小问2详解】
取的中点，连接，则，，
，
当且仅当点是的中点时取等号，
所以的最小值为.
【小问3详解】
（i）由，得为的重心，
连接AG并延长交BC于点，则为BC中点，，
因此
由D，G，E三点共线，得，所以.
（ii）由正△ABC的边长为1，得，，，
在△ADE中，，
则，
由，得，即，
因此，
又，则，
由，，得，，又，则有，
而，于是，
由，得，则的最小值为，最大值为，
即，在上单调递增，则，
所以的值域为.