江苏省苏州市工业园区金鸡湖学校2024-2025学年5月阶段练习八年级 数学试卷（含解析）

这是一份江苏省苏州市工业园区金鸡湖学校2024-2025学年5月阶段练习八年级 数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
2．下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
3．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．抛一枚硬币，正面朝上
B．明天天晴
C．若a是实数，则a2＞0
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
4．如图，D、E是△ABC的边AB、AC上的点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△AED的是（ ）
A．∠B＝∠AEDB．∠ADE＝∠CC．ABAE=ACADD．ADAC=DECB
5．若线段AB＝2，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（ ）
A．5−1B．3−5
C．5−12D．5−1或3−5
6．若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（4，y3）都在反比例函数y=−4x的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y1＜y2＜y3
7．如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝80kg时，它的最快移动速度v是（ ）m/s．
A．4.5B．5C．5.5D．6

8．小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形ABCD（虚线为重叠部分四边形EFGH的轮廓），其中∠G＝90°，AE∥CG，BE∥DG，已知AD＝10cm，AE＝DG＝12cm，且AF＝DF，则重叠部分四边形EFGH的面积为（ ）
A．25cm2B．(194−1202)cm2
C．(194−602)cm2D．(12−52)cm2
二、填空题
9．对于函数y=x−2的自变量x的取值范围是 .
10．若，则= .
11．如图，已知面积为20的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ．

12．如图，直线a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c相交于点A，B，C，D，E，F，若AB＝2，BC＝3，DE＝3，则EF＝ ．
13．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED．现测得AC＝42m，BC＝64m，DE＝26m，则AB＝ m．
14．在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，点D在边AB上，且BD＝2，点E在边BC上，当BE= 时，以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．

15．若关于x的分式方程3xx−1=m+21−x+2的解为正数，则m的取值范围是 ．
16．如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴的负半轴上，顶点B、C、D都在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，且边BC经过原点O．若平行四边形ABCD的面积为24，则k＝ ．
三、解答题
17．（1）计算： （2）解方程：
18．先化简，再求值x2−1x÷（1−2x−1x）其中x=2．
19．某校为了进一步丰富学生的课外阅读，欲增购一些课外书，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）：请根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）在这次问卷调查中，喜欢“科普书籍”出现的频率为 ；
（2）求在扇形统计图中，喜欢“科普书籍”的所占的圆心角度数；
（3）如果全校共有学生1500名，请估计该校最喜欢“科普”书籍的学生约有多少人？
20．“一池翠湖水，半部昆明史．”位于昆明市五华区繁华街区旁的翠湖，被作家汪曾祺称作“昆明的眼睛”．他在《翠湖心影》中写道：“没有翠湖，昆明就不成其为昆明．”翠湖周边分布着“云南陆军讲武堂旧址”“朱德旧居纪念馆”“翠湖公园”“国立西南联合大学旧址”等众多景点．记“云南陆军讲武堂旧址”为A、“朱德旧居纪念馆”为B、“翠湖公园”为C、“国立西南联合大学旧址”为D．
（1）从这四个景点中随机选择一个景点游览，则这个景点是“云南陆军讲武堂旧址”的概率是 ；
（2）从这四个景点中随机选择两个景点游览，求这两个景点中有“翠湖公园”的概率P．（请用列表法或画树状图法中的一种方法）
21．如图，在△ABC中，∠B＝22°，∠ACB＝45°，AB＝6cm，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点．
（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；
（2）求AE的长．
22．在正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，连接AC、DG,
求证：△AFC∽△AGD.
23．如图(1)所示是某校篮球架实物图，如图(2)所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧 AB垂直于地面、八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板 AB高度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法:如图(3)所示，小组成员将竹竿HE垂直固定在地面CD上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线FB与竹竿 HE的夹角 ∠HFB的度数为48°,接着将观察点沿着竹竿向上移动到 G点，使得从 G点观察篮板顶部A点的视线GA与竹竿 HE的夹角∠HGA的度数恰好等于∠HFB的度数时,在竹竿上标注G点的位置,测量GF的长度为1m,活动分享时,小明说:“GF的长度就是篮板 AB 的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由.
24．如图正比例函数y1＝﹣3x与反比例函数y2=kx的图象交于A（﹣2，m）、B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点P是第二象限反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M、交直线AB于点N，若三个点P、M、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点P、M、N三点为“和谐点”，直接写出使点P、M、N三点成为“和谐点”的P的坐标．
25．按照国际标准，打印用的A系列纸为矩形．如图1，将A0纸沿长边中点连线对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边中点连线对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边中点连线对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边中点连线对折、裁开，便成A4纸…并且通过以上操作得到的矩形纸都是相似图形．
（1）请直接写出A系列纸的长宽比为 ；
（2）将A4纸按如图2所示的方式折叠，求证：AE＝AD；
（3）在图2的最后一幅图中，记AF与B′E的交点为点G，连接DG和EF，得到图3，求证：四边形DGEF为菱形．
26．【综合与实践】初二年级的同学们在课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务．
答案与解析
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
答案：D
2．下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
3．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．抛一枚硬币，正面朝上
B．明天天晴
C．若a是实数，则a2＞0
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
B、明天天晴，是随机事件，不符合题意；
C、若a是实数，则a2＞0，是随机事件，不符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意；
故选：D．
4．如图，D、E是△ABC的边AB、AC上的点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△AED的是（ ）
A．∠B＝∠AEDB．∠ADE＝∠CC．ABAE=ACADD．ADAC=DECB
【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
【解答】解：∵∠A是公共角，
∴再加上∠B＝∠AED，或∠ADE＝∠C都可判定△ABC∽△AED，
∵∠A是公共角，再加上ABAE=ACAD，也可判定△ABC∽△AED，
∴选项A、B、C都可判定△ABC∽△ACD．
而选项D中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项D不能．
故选：D．
5．若线段AB＝2，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（ ）
A．5−1B．3−5
C．5−12D．5−1或3−5
【分析】分AC＜BC、AC＞BC两种情况，根据黄金比值计算即可．
【解答】解：当AC＜BC时，BC=5−12AB=5−1；
当AC＞BC时，BC＝2﹣（5−1）＝3−5，
故选：D．
6．若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（4，y3）都在反比例函数y=−4x的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y1＜y2＜y3
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：由条件可知y1=−4−2=2，y2=−41=−4，y3=−44=−1，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
7．如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝80kg时，它的最快移动速度v是（ ）m/s．
A．4.5B．5C．5.5D．6
答案：A
8．小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形ABCD（虚线为重叠部分四边形EFGH的轮廓），其中∠G＝90°，AE∥CG，BE∥DG，已知AD＝10cm，AE＝DG＝12cm，且AF＝DF，则重叠部分四边形EFGH的面积为（ ）
A．25cm2B．(194−1202)cm2
C．(194−602)cm2D．(12−52)cm2
【分析】先证四边形EFGH是正方形，由正方形的面积公式可求解．
【解答】解：∵AE∥CG，BE∥DG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵∠G＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴∠E＝∠GFE＝90°＝∠AFD，
∵AD＝10cm，AF＝DF，
∴AF＝DF＝52cm，∠FAD＝∠FDA＝45°，
∴∠EAB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝BE，∠ABE＝45°，
∴∠EBC＝45°＝∠DAF，
又∵∠AFD＝∠BHC＝90°，AD＝BC，
∴△ADF≌△BCH（AAS），
∴AF＝BH，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是正方形，
∵EF＝AE﹣AF＝（12﹣52）cm，
∴四边形EFGH的面积＝（12﹣52）2＝（194﹣1202）cm2，
故选：B．
9．对于函数y=x−2的自变量x的取值范围是 x≥2 .
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
10．若，则= .
答案：
11．如图，已知面积为20的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 13 ．
【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可．
【解答】解：∵在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，
∴估计黑色部分占这个区域的65100=1320，
∴黑色部分的面积为20×1320=13．
故答案为：13．
12．如图，直线a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c相交于点A，B，C，D，E，F，若AB＝2，BC＝3，DE＝3，则EF＝ 92 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴ABBC=DEEF，
∵AB＝2，BC＝3，DE＝3，
∴23=3EF，
解得：EF=92，
故答案为：92．
13．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED．现测得AC＝42m，BC＝64m，DE＝26m，则AB＝ 52 m．
【分析】利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【解答】解：∵CD＝DA，CE＝EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB，
∵DE＝26m，
∴AB＝52m，
故答案为：52．
14．在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，点D在边AB上，且BD＝2，点E在边BC上，当BE= 时，以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
答案：或
15．若关于x的分式方程3xx−1=m+21−x+2的解为正数，则m的取值范围是 m＜﹣4且m≠﹣5 ．
【分析】先解分式方程，用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【解答】解：3xx−1=m+21−x+2，
去分母，得：3x＝﹣m﹣2+2（x﹣1），
去括号，得：3x＝﹣m﹣2+2x﹣2，
移项，得：3x﹣2x＝﹣m﹣4，
合并同类项，得：x＝﹣m﹣4．
∵关于x的分式方程3xx−1=m1−x+2的解为正数，
∴﹣m﹣4＞0．
又∵x﹣1≠0，
∴x≠1．
∴﹣m﹣4≠1．
解得：m＜﹣4且m≠﹣5．
故答案为：m＜﹣4且m≠﹣5．
16．如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴的负半轴上，顶点B、C、D都在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，且边BC经过原点O．若平行四边形ABCD的面积为24，则k＝ 8 ．
【分析】依据题意，设A（a，0），C（b，kb），可得B（﹣b，−kb），连接OD，又平行四边形的面积为24，
从而S△AOD=12×24＝12，结合S△AOD=12AO•yD，进而可得D（−ak24，−24a），最后由平行四边形的对角线AC与BD互相平分，可得a+b＝﹣b−ak24①，且0+kb=−kb−24a②，从而计算可以得解．
【解答】解：由题意，设A（a，0），C（b，kb），
∴B（﹣b，−kb）．
连接OD，
又平行四边形的面积为24，
∴S△AOD=12×24＝12．
又S△AOD=12AO•yD，
∴﹣a•yD＝24．
∴•yD=−24a．
∴D（−ak24，−24a）．
又平行四边形的对角线AC与BD互相平分，
∴a+b＝﹣b−ak24①，且0+kb=−kb−24a②．
由②得，ak＝﹣12b③．
将③代入①得，a=−32b④．
把④代入③得，
∴−32b•k＝﹣12b．
∴k＝8．
故答案为：8．
17．（1）计算：
（2）解方程：
答案：略
18．先化简，再求值x2−1x÷（1−2x−1x）其中x=2．
【分析】
根据分式的运算法则先化简原式，然后将x和y的值代入化简后的式子求值即可．
【解答】
解：x2−1x÷（1−2x−1x）
=(x+1)(x−1)x÷x−2x+1x
=(x+1)(x−1)x•x1−x
＝﹣x﹣1，
当x=2时，原式=−2−1．
19．某校为了进一步丰富学生的课外阅读，欲增购一些课外书，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）：请根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）在这次问卷调查中，喜欢“科普书籍”出现的频率为 25% ；
（2）求在扇形统计图中，喜欢“科普书籍”的所占的圆心角度数；
（3）如果全校共有学生1500名，请估计该校最喜欢“科普”书籍的学生约有多少人？
【分析】（1）利用“科普书籍”出现的频率为＝1﹣其它的百分比﹣文艺的百分比﹣体育的百分比求解；
（2）利用喜欢“科普书籍”的所占的圆心角度数＝喜欢“科普书籍”的百分比×360°求解；
（3）利用该校最喜欢“科普”书籍的学生数＝该校学生数×喜欢“科普书籍”的百分比求解即可．
【解答】解：（1）在这次问卷调查中，喜欢“科普书籍”出现的频率为1﹣20%﹣15%﹣40%＝25%．
故答案为：25%．
（2）喜欢“科普书籍”的所占的圆心角度数25%×360°＝90°．
（3）估计该校最喜欢“科普”书籍的学生数为1500×25%＝375名．
20．“一池翠湖水，半部昆明史．”位于昆明市五华区繁华街区旁的翠湖，被作家汪曾祺称作“昆明的眼睛”．他在《翠湖心影》中写道：“没有翠湖，昆明就不成其为昆明．”翠湖周边分布着“云南陆军讲武堂旧址”“朱德旧居纪念馆”“翠湖公园”“国立西南联合大学旧址”等众多景点．记“云南陆军讲武堂旧址”为A、“朱德旧居纪念馆”为B、“翠湖公园”为C、“国立西南联合大学旧址”为D．
（1）从这四个景点中随机选择一个景点游览，则这个景点是“云南陆军讲武堂旧址”的概率是 14 ；
（2）从这四个景点中随机选择两个景点游览，求这两个景点中有“翠湖公园”的概率P．（请用列表法或画树状图法中的一种方法）
【分析】（1）根据简单概率公式求解即可；
（2）列表，列举出所有等可能的结果及满足题意的结果，由简单概率公式求解即可得到答案．
【解答】解：（1）从这四个景点中随机选择一个景点游览，则这个景点是“云南陆军讲武堂旧址”的概率是14；
故答案为：14；
（2）从这四个景点中随机选择两个景点游览，列表如下：
由表可知，共有12种等可能的结果，其中这两个景点中有“翠湖公园”的结果有6种，
∴这两个景点中有“翠湖公园”的概率是612=12．
21．如图，在△ABC中，∠B＝22°，∠ACB＝45°，AB＝6cm，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点．
（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；
（2）求AE的长．
【分析】（1）由△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，可知点A为旋转中心，∠BAD为旋转角，而点C在AD上，∠B＝22°，∠ACB＝45°，则∠BAD＝∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝113°，所以旋转角的度数为113°；
（2）由旋转得AE＝AC，AD＝AB＝6cm，由点C为AD的中点，得AC＝DC=12AD＝3cm，则AE＝3cm．
【解答】解：（1）∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
∴点A为旋转中心，∠BAD为旋转角，
∵点C在AD上，∠B＝22°，∠ACB＝45°，
∴∠BAD＝∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝113°，
∴点A为旋转中心，旋转角的度数为113°．
（2）由旋转得AE＝AC，AD＝AB＝6cm，
∵点C为AD的中点，
∴AC＝DC=12AD＝3cm，
∴AE＝3cm，
∴AE的长是3cm．
22．在正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，连接AC、DG,
求证：△AFC∽△AGD.
答案：略
23.如图(1)所示是某校篮球架实物图，如图(2)所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧 AB垂直于地面、八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板 AB高度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法:如图(3)所示，小组成员将竹竿HE垂直固定在地面CD上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线FB与竹竿 HE的夹角 ∠HFB的度数为48°,接着将观察点沿着竹竿向上移动到 G点，使得从 G点观察篮板顶部A点的视线GA与竹竿 HE的夹角∠HGA的度数恰好等于∠HFB的度数时,在竹竿上标注G点的位置,测量GF的长度为1m,活动分享时,小明说:“GF的长度就是篮板 AB 的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由.
24．如图正比例函数y1＝﹣3x与反比例函数y2=kx的图象交于A（﹣2，m）、B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点P是第二象限反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M、交直线AB于点N，若三个点P、M、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点P、M、N三点为“和谐点”，直接写出使点P、M、N三点成为“和谐点”的P的坐标．
【分析】（1）由y1＝﹣3x1的A的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式；
（2）分两种情况，想办法构建方程解决问题即可．
【解答】解：（1）∵正比例函数y1＝﹣3x与反比例函数y2=kx的图象交于A（﹣2，m），
∴m＝﹣3×（﹣2）＝6，
∴A（﹣2，6），
∴k＝﹣2×6＝﹣12，
∴反比例函数的表达式为y2=−12x，
（2）设P（t，−12t）（t＜0），则N（t，﹣3t），
如图1，当P在A点的下方时，PM＝PN，则﹣3t＝2×(−12t），
解得t＝±22，
∵t＜0，
∴t＝﹣22，
如图2，当P在A点的上方时，MN＝PN，则−12t=2×（﹣3t），
解得t＝±2，
∵t＜0，
∴t=−2，
∴点P的坐标为（﹣22，32）或（−2，62）．
25．按照国际标准，打印用的A系列纸为矩形．如图1，将A0纸沿长边中点连线对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边中点连线对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边中点连线对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边中点连线对折、裁开，便成A4纸…并且通过以上操作得到的矩形纸都是相似图形．
（1）请直接写出A系列纸的长宽比为 2：1 ；
（2）将A4纸按如图2所示的方式折叠，求证：AE＝AD；
（3）在图2的最后一幅图中，记AF与B′E的交点为点G，连接DG和EF，得到图3，求证：四边形DGEF为菱形．
【分析】（1）设A系列纸的长为x，宽为y，则对折后形成的矩形的长为y，宽为x2，根据对折得到的矩形纸都是相似图形，列出比例式进行求解即可；
（2）由（1）可知：AD=2a折叠推出四边形ABEB为正方形，进而求得AE=2a，即可得证；
（3）易得BE∥DC，得到∠EGF＝∠GFD，折叠得到∠EGF＝∠DGF，DG＝EG，FD＝FE，进而推出DG＝EG＝FE＝DF，即可得证．
【解答】解：（1）设A系列纸的长为x，宽为y，则对折后形成的矩形的长为y，宽为x2，
∵通过对折得到的矩形纸都是相似图形，
∴yx=12xy，
∴12x2=y2，
∵x＞0，y＞0，
∴x=2y，
∴xy=2：1，
故答案为：2：1；
（2）证明：设AB＝a，由（1）可得：AD=2a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵按图2的方式折叠，
∴∠AB'E＝∠B＝90°，BE＝B'E，
∴四边形ABEB'为正方形，
∴AB＝BE＝a，
在Rt△ABE中，
∵AB＝BE＝a，∠ABE＝90°，
∴AE=2a，
∴AD＝AE；
（3）由题意可得：∠ABE＝∠AB'E＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠AB'E＝∠ADC，
∴B'E∥DC，
∴∠EGF＝∠GFD，
∵按照图中折叠，
∴∠EGF＝∠DGF，DG＝EG，FD＝FE，
∴∠GFD＝∠DGF，
∴DG＝DF，
∴DG＝EG＝FE＝DF，
∴四边形DGEF为菱形．
26．【综合与实践】初二年级的同学们在课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务．
答案：略【研究素材】若干张全等的矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝6．
【探究1】
小明按如图1的方式沿BE折叠纸片ABCD,点A与点A'对应，EA'的延长线与 BC交于点F.

【任务1】
(1)若∠AEB＝50°，则∠EFB＝ °;
【探究2】
如图2，小丽计划利用这张纸片剪出一个面积最大的菱形．

【任务2】
(2)①请你帮助小丽用无刻度的直尺和圆规作出这个菱形(不写
作法，保留作图痕迹);
②求小丽剪出的菱形的边长.
【探究3】
如图3，点E是线段 AD上的动点，小亮利用绘图软件将△ABE绕点E逆时针旋转90°至△A'B'E．
【任务3】
(3)连接 B'C、A'C，当△A'B'C是等腰三角形时，直接写出 AE的长.
A
B
C
D
A
—
AB
AC
AD
B
BA
—
BC
BD
C
CA
CB
—
CD
D
DA
DB
DC
—
【研究素材】若干张全等的矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝6．
【探究1】
小明按如图1的方式沿BE折叠纸片ABCD,点A与点A'对应，EA'的延长线与 BC交于点F.

【任务1】
(1)若∠AEB＝50°，则∠EFB＝ °;
【探究2】
如图2，小丽计划利用这张纸片剪出一个面积最大的菱形．

【任务2】
(2)①请你帮助小丽用无刻度的直尺和圆规作出这个菱形(不写
作法，保留作图痕迹);
②求小丽剪出的菱形的边长.
【探究3】
如图3，点E是线段 AD上的动点，小亮利用绘图软件将△ABE绕点E逆时针旋转90°至△A'B'E．
【任务3】
(3)连接 B'C、A'C，当△A'B'C是等腰三角形时，直接写出 AE的长.