甘肃省庆阳市西峰区北京师范大学庆阳实验学校2024-2025学年七年级下学期期中 数学试卷（含解析）

这是一份甘肃省庆阳市西峰区北京师范大学庆阳实验学校2024-2025学年七年级下学期期中 数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了 的平方根是_______．， 比较大小， 下列命题中等内容，欢迎下载使用。
一．填空题（每空3分，共45分）
1. 的平方根是_______．
【答案】±2
【解析】
【详解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案为±2．
2. 请写出一个轴负半轴上的点的坐标___．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握以上知识是解题的关键．
让横坐标为，纵坐标为负数即可．
【详解】解：∵一个轴负半轴上的点的坐标，横坐标为0，纵坐标为负数，
∴坐标可为，
故答案为：．
3. 已知是关于，的二元一次方程，则的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
根据二元一次方程的定义得到，，即可求解．
【详解】解：由题意得，，，
解得：，
故答案为：．
4. 如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是 __________．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】本题考查了垂线段的定义和性质．根据“垂线段最短”进行解答即可．
【详解】解：过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
5. 将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④，其中能说明纸条上下两边平行的有___________（填序号）
【答案】②③④
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定，熟悉平行线的判定定理是解题的关键；根据平行线的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：（对顶角相等），不能判断纸条两边平行，故①错误；
∵，
∴纸条两边平行（内错角相等，两直线平行），故②正确；
∵，，
∴，
∴纸条两边平行（同位角相等，两直线平行），故③正确；
，
∴纸条两边平行（同旁内角互补，两直线平行），故④正确．
故答案为：②③④．
6. 若是二元一次方程的解，则 ______ ．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将x与y的值代入方程计算即可求出m的值．
【详解】解：将代入方程得：，
解得：，
故答案为1．
7. 已知的平方根是的立方根是4，则______．
【答案】105
【解析】
【分析】本题主要考查的是平方根、立方根的定义以及二元一次方程组的解法，属于基础题型．明白平方根、立方根的定义是解题的关键．首先根据平方根和立方根的性质列出关于a和b的二元一次方程组，从而得出a和b的值，然后得出答案．
【详解】解：根据题意可得：，解得：，
∴．
故答案为：105．
8. 比较大小：3_____（填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【详解】解：∵点O平移到点，
∴将沿x轴正方向向右平移4个单位长度，
∴点平移至点C的坐标为，即．
故答案为：．
10. 下列命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若的两边与的两边分别平行，则或；④若，则．其中假命题的是_________（填写序号）．
【答案】①②
【解析】
【分析】逐个判断各个命题的真假即可．
【详解】解：①两条平行，同位角相等，故①为假命题，符合题意；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故②为假命题，符合题意；
③若的两边与的两边分别平行，如图：则或；故③为真命题，不符合题意；
④若，则，故④为真命题，不符合题意；
综上：假命题有①②，
故答案为：①②．
【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
11. 已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查非负数的性质、解二元一次方程组、代数式求值，熟练掌握绝对值的非负性是解答的关键．先根据绝对值的非负性得到，然后解方程组求得x、y值，进而代值求解即可．
【详解】解：∵，
∴，解得，
∴，
故答案为：．
12 如图，直线，若，，则_____．
【答案】##76度
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，利用数形结合的思想解答．
过点作，利用平行线的性质解答即可．
【详解】解：过点作，
，，
，
，，
，
故答案为：．
13. 若点与点关于轴对称，则：的立方根___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查关于轴对称点的特征，代数式的值，立方根，掌握关于轴对称点的特征，代数式的值，立方根是解题关键．根据关于轴对称的两点坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出、的值，进而求出，最后根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：点与点关于轴对称，
，，
，
的立方根为，
故答案为：．
14. 仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好的锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点在直线上，，，则的度数为________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，根据平行线的性质得出，，再由角的和差计算即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
15. 如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标位置，根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在的位置变化特点，即可得到小球第2023次碰到球桌边时，小球的位置．解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：如图，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是
小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是
小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是
小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是
小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是
小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是
……
∵
∴小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是
故答案为：．
二．解答题（共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，涉及立方根和算术平方根的运算，化简绝对值等知识点，掌握运算法则是解题的关键．
（1）分别化简绝对值，计算算术平方根和立方根，再进行加减计算；
（2）分别计算有理数的乘方，去括号，化简绝对值，再进行加减计算．
【小问1详解】
解：
；
小问2详解】
解：
．
17. 解方程：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组，利用平方根的性质解方程．
（1）加减消元法解方程组即可；
（2）代入消元法解方程组即可；
（3）利用平方根的性质求解即可．
【小问1详解】
解：，
，得：，
解得：；
把代入①，得：，
解得：；
∴方程组的解为：；
小问2详解】
解：原方程组可化为：，
把代入②，得：，
解得：；
把代入，得：，
解得：；
∴方程组的解为：；
【小问3详解】
解：，
开方得，
∴或，
∴或．
18. 如图，已知：在平面直角坐标系中点，，．
（1）求的面积；
（2）点P是y轴上一动点，当面积为面积的一半时，求点P的坐标．
【答案】（1）10 （2）或
【解析】
【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，三角形的面积．
（1）先求出，再根据点C的坐标知点C到的距离为4，即可求的面积；
（2）设点P坐标为，根据三角形面积公式得，，再根据面积为面积的一半得，解方程，进而可得点P的坐标．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
点C到的距离为4，
∴；
小问2详解】
解：设点P坐标为，
，，
∵面积为面积的一半，
∴，
∴，
∴，
∴点P坐标为或．
19. 已知二元一次方程．
（1）把方程写成用含x的代数式表示y的形式，即______；
（2）填表，使x，y的值是方程的解；
（3）求方程的非负整数解．
【答案】（1） （2）填表见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，以及方程的非负整数解，学会用含一个未知数的代数式表示另一个未知数是解题的关键．
（1）要用含的代数式表示，就要把方程中含有的项和常数项移到方程的右边，再把的系数化为1即可．
（2）将分别代入，求出的值即可；
（3）根据表格，直接写出方程的非负整数解即可；
【小问1详解】
解：，
得，
所以，
故答案为：；
【小问2详解】
解：将的值分别代入中得到y的值分别为：；
∴填表如下：
【小问3详解】
解：当时，不符合题意，
当时，不符合题意，
结合上表可知：方程的非负整数解为：．
20. 如图，，．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握摸平行线的判定与性质是解答本题的关键．
（1）由可证，等量代换得，从而可证；
（2）由角平分线的定义得，然后根据两直线平行同旁内角互补即可求解．
【小问1详解】
证明：，
．
．
．
．
【小问2详解】
平分，


．
21. 在平面直角坐标系中，点的坐标为．
（1）若点在轴上时，求点的坐标；
（2）若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标；
（3）若点的横坐标比纵坐标大，则点在第几象限?
【答案】（1）点的坐标为
（2）点的坐标为
（3）点在第四象限
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握相关知识并熟练使用，同时注意在解题过程中需注意的相关事项是解题的关键．
（1）因为点在轴上，所以纵坐标为，解得值并代入横坐标的代数式中即可得到答案；
（2）因为点在过点且与轴平行的直线上，所以、两点的横坐标相同，令点横坐标为，解得的值并代入纵坐标的代数式中即可；
（3）根据题意列出方程，即可得到答案．
【小问1详解】
解： 点在轴上，
，
解得，
，
点的坐标为；
【小问2详解】
点在过点且与轴平行的直线上，
点的横坐标为，
，
解得，
，
点的坐标为；
【小问3详解】
由题意得，
解得，
,，
点的坐标为，
点在第四象限．
22. 阅读材料，回答下列问题：
对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
（1）方程组的解与_______（填“有”或“没有”）“邻好关系”；
（2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值．
【答案】（1）有 （2）或
【解析】
【分析】本题主要考查新定义，解二元一次方程组，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法是关键．
（1）根据解二元一次方程组的方法得到，再根据“邻好关系”的计算方法判定即可；
（2）根据解二元一次方程组的方法得到，再根据“邻好关系”的计算方法得到，由此即可求解．
【小问1详解】
解：，
①②得，，
解得，，
∴，
解得，，
∴原方程组的解为，
∴，
∴方程的解与有“邻好关系”，
故答案为：有；
【小问2详解】
解：，
①②，得，
∴，
把代入①，得，
∴原方程组解为，
∴，
∵方程组的解具有“邻好关系”，
∴，即，
∴或．
23. （1）通过计算下列各式的值探究问题_______；______；______．综上，对于任意有理数_______．
（2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数在数轴上对应化简：化简：．
【答案】（1）4，0，1，（2）
【解析】
【分析】本题考查算术平方根的性质，实数与数轴，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键：
（1）根据算术平方根的定义，进行求解即可；
（2）根据点在数轴上的位置，判断数的符号，式子的符号，进行化简即可．
【详解】解：（1），
∴对于任意有理数；
（2）由图可知：，，
∴，
∴．
24. 先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组，在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．把代入①得，所以，这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．模仿题干，利用整体代入法解方程组，即可作答．
【详解】解：
先将看作一个整体，
则整理①得，
将整体代入，得，
解得．
把代入得，
解得，
∴
25. （1）若的整数部分为m，小数部分为n，则__________，__________；
（2）已知．
①若x是整数，且，求的值；
②若一张长方形信封的长和宽分别是，，如图所示，长、宽之比为，小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，你认为小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②小解不能将这张贺卡不折叠就放入此信封，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数估算大小、实数运算、代数式求值等知识，理解并掌握无理数估算大小的方法是解题关键．
（1）根据无理数估算大小的方法可得，即可获得答案；
（2）①根据题意确定出，然后代入求值即可；②结合题意解得，，根据无理数估算大小的方法得出的取值范围，即可获得答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，即，
∴；
故答案为：；
（2）①，
∵x是整数，且，
，
；
②，
∴，
，
即，
∴，解得，
，
，
，
，
∴小解不能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
26. 【问题提出】
如图，已知，直线分别交，于点，，平分交于点．
（1）如图1，若，则的度数是_____．
【问题探究】
（2）作平分，交于点．
①如图2，过点作，交直线于点，求证：；
②如图3，点是延长线上的一点，连接，若，，探究与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析（3）
【解析】
【分析】本题考查了平行线性质和判定，角平分线性质，结合图形进行分析是解题的关键．
（1）利用平行线性质得到，利用角平分线性质得到，再利用平行线性质即可得到，即可解题；
（2）①利用角平分线性质得到，根据平行线的性质可得，即可得证．
②利用角平分线性质得到，，进而可得，根据，设，设，，根据平行线的性质可得，得出，根据得出，两式消去，即可求解．
【详解】（1）解：，，
，
平分，
，
∵
，
故答案为：．
（2）①证明：平分，
，
∵
∴
∴
②平分，
，
平分，
，
，
，
，
∵
设，设，，
∴
∵
∴
即，
∴
又∵，即
代入得，
∴
即
x
1
2
3
4
5
y
x
1
2
3
4
5
y
4