江苏省苏州市昆山市、常熟市、太仓市、张家港市2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试卷（含解析）

这是一份江苏省苏州市昆山市、常熟市、太仓市、张家港市2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．纹样是我国古代艺术中的瑰宝，下列纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．某衣原体病毒的直径大约米，数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知是方程的一个解，那么a的值是（ ）
A．B．C．1D．3
5．下列乘法运算可以用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，由与组成的图形为中心对称图形，下列说法正确的有（ ）
①；②；③线段的中点为对称中心；④．
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）．
A．B．C．D．
8．如图，为杨辉三角的一部分，下数表给出了（n＝1，2，3，…）的展开式的系数规律．
根据数表规律得的展开式中第二项是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．计算： ．
10．如图，沿CB方向平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长为 cm．
11．如图所示，梯形的面积为 ．
12．如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点P，射线交于点D，若，则 °．
13．把方程写成用含有x的代数式表示y的形式，得 ．
14．已知 ，则a，b，c的大小关系是 ．（用“”连接）
15．已知，则的值为 ．
16．已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为 ．
三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解方程组；
（1）；
（2）．
19．先化简，再求值：，其中，．
20．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图形（每个小正方形的顶点都叫做格点），的三个顶点都在格点上，利用网格画图．
（1）将向右平移8个单位长度，向下平移2个单位长度后得；
①画出；
②的面积为 ．
（2）画出线段绕点C顺时针旋转后的线段．
21．如图，已知中．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交边，于点D，E（不写作法、保留作图痕迹并标明字母）；
（2）连接，若，的周长是18，求的周长．
22．定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”．
（1）直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ；
（2）二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值．
23．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…．
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式 ．
（2）试写出第n个等式，并说明第n个等式成立．
24．请运用幂的运算性质解决下列问题：
（1）若，求的值；
（2）计算：．
25．【提出问题】如图1，已知在直线l同侧有两点A、B，请在直线l上找一点C，使得最小．
【分析问题】如图2，作B关于直线的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的点．
因为直线l是点B，的对称轴，点C在l上，由此可得．
所以 ．
以上问题的解决过程中运用的数学基本事实是 ．
【解决问题】如图3，在四边形中，，在边，上分别确定点P，点Q，使得周长最小．
（1）尺规作图：作出（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若，求的度数．
26．（1）用4个长和宽均为a，b的长方形拼成如图1的大正方形，可用两种方法来表示图中阴影部分的面积，方法一：，方法二： ，可得等式： ．
（2）若，求的值．
（3）将两个正方形卡片以图2方式摆放，使A，M，B在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为52，求阴影部分的面积．
27．如图1，将两个完全相同的透明直角三角板放置在一起，点C，F重合，点A在的延长线上，点D在的延长线上，与交于点G．，．
（1）的度数是 °；
（2）将图1中的绕点C以每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转后停止运动，设旋转时间为t秒．
①当时，判断边与边的位置关系，并说明理由；
②在旋转的过程中，恰有一边与边平行，求t的值．
参考答案
1．【答案】B
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选B．
2．【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：．
故选C．
3．【答案】C
【分析】利用同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．
【详解】解：A．，则A不符合题意，
B．，则B不符合题意，
C．，则C符合题意，
D．，则D不符合题意，
故选C．
4．【答案】C
【分析】将代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．
【详解】解：将代入原方程得：，
解得：，
∴a的值1．
故选C．
5．【答案】D
【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，据此进行判断即可．
【详解】解：A.不可以用平方差公式计算，故该选项不符合题意；
B.，不可以用平方差公式计算，故该选项不符合题意；
C. ，不可以用平方差公式计算，故该选项不符合题意；
D.，可以用平方差公式计算，故该选项符合题意；
故选D．
6．【答案】B
【分析】中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此可得结论．
【详解】解：由与组成的图形为中心对称图形，
可得：；；线段或的中点为对称中心；，
∴．
所以正确的有3个．
故选B．
7．【答案】A
【分析】根据“每3人乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：
；
故选A．
8．【答案】B
【分析】根据题意得出展开式，据此进行计算即可．
【详解】解：由题知，
展开式中各项的系数依次为1，5，10，10，5，1，
所以
所以的展开式中第二项是．
故选B．
9．【答案】
【分析】单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，据此进行计算即可．
【详解】解：.
10．【答案】24
【分析】先根据图形平移的性质得出，，据此可得出结论．
【详解】解：∵沿CB方向平移得到，
∴，，
∴，
∵的周长是，
∴四边形的周长
．
11．【答案】
【分析】根据梯形面积公式、单项式乘多项式的运算法则计算．
【详解】解：梯形的面积为：.
12．【答案】59
【分析】先利用三角形内角和定理计算出，再根据基本作图和角平分线的定义得到，然后利用互余计算出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
由作法得平分∠BAC，
∴，
∴．
13．【答案】
【分析】根据等式的性质，把方程变形，得出用含有x的代数式表示y即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
方程两边同时除以，得．
14．【答案】
【分析】利用有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂计算后比较大小．
【详解】解：∵，
且，
∴．
15．【答案】8
【分析】根据幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法进行解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．【答案】
【分析】先利用等式的基本性质把方程组变形为：，然后根据已知条件，列出关于，的方程组，解方程组即可．
【详解】解：方程组变形为：，
∵关于，的二元一次方程组的解为，
∴方程组的解为，
由①得：，
由②得：，
∴关于，的二元一次方程组的解为.
17．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）先算单项式乘单项式，积的乘方，再合并即可解答；
（2）利用单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则进行计算，再合并即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）先变形，再根据加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：（1），
把①代入②，得，
解得，
把代入①，得，
所以方程组的解是；
（2），
方程组可化为，
①+②，得，
解得，
把代入②，得，
所以原方程组的解是．
19．【答案】，2
【分析】先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则计算，再合并同类项，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
将，代入，可得：
原式．
20．【答案】（1）①见详解；②
（2）见详解
【分析】（1）①根据平移的性质作图即可．
②利用割补法求三角形的面积即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
【详解】（1）①解：将向右平移8个单位长度，向下平移2个单位长度，画图如下：
则即为所求．
②的面积为．
故答案为：．
（2）解：根据题意线段绕点C顺时针旋转后的线段，
画图如上，
则即为所求．
21．【答案】（1）见详解
（2）10
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可；
（2）由题意得，由线段垂直平分线的性质可得，则可得的周长为．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求．
（2）解：连接，
∵的周长是18，
∴，
∴，
∵直线为线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长为．
22．【答案】（1）
（2）m的值为405，n的值为405
【分析】（1）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是；
（2）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是，结合二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值．
【详解】（1）解：根据题意得：二元一次方程的“对称二元一次方程”是．
故答案为：；
（2）解：二元一次方程的“对称二元一次方程”是，
∵二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，
∴，
解得：．
答：m的值为405，n的值为405．
23．【答案】（1）
（2），见详解
【分析】（1）根据数字的变化规律，直接写出第5个等式；
（2）根据数字的变化规律，直接写出第n个等式，再证明即可．
【详解】（1）解：根据数字的变化规律可知，第5个等式为：
；
（2）解：第n个等式为：，
证明如下：
左边
，
∴左边右边，
∴．
24．【答案】（1）
（2）8
【分析】（1）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，把所求幂写成含有xa，xb的形式，再代入进行计算即可；
（2）先把写成，然后利用乘法的运算律和积的乘方法则进行简便计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：

．
25．【答案】，，两点之间线段最短；（1）见详解；（2）80°
【分析】[分析问题]利用轴对称的性质，两点之间线段最短解决问题；
[解决问题]①作点D关于的对称点，关于的对称点，连接分别交于点P，交于点Q，连接，即可；
②求出可得结论．
【详解】解：[分析问题]：如图2中，作B关于直线的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的点．
因为直线l是点B，的对称轴，点C在l上，由此可得．
所以．
上问题的解决过程中运用的数学基本事实是：两点之间线段最短；
[解决问题]：①如图3中，即为所求；
根据轴对称可知：，，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小；
②∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
26．【答案】（1），；（2）52；（3）24
【分析】（1）根据阴影部分的面积可以看作大正方形与4个长方形的面积差进行解答即可；
（2）利用（1）的结论代入计算即可；
（3）设，由题意可得，根据代入计算即可．
【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作大正方形与4个长方形的面积差，即，
所以有，
故答案为：，；
（2）∵，
∴
；
（3）设，
由题意可得，
∴，
27．【答案】（1）30
（2）①，理由见详解；②t的值是3或12或15
【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余和三角形外角的性质即可解答；
（2）①如图2，根据三角形的内角和定理可得，即可得结论；
②分三种情况：i）如图2，，ii）如图3，，iii）如图4，，延长交于点G，根据平行线的性质即可解答．
【详解】（1）解：如图1，∵，．
∴，
∵，
∴，
故答案为：30；
（2）①当时，边与边的位置关系是：，理由如下：
如图2，当时，，
∵，
∴，
∴；
②分三种情况：
i）如图2，由①可得，
∴，
此时；
ii）如图3，，
∴，
∴，
∴；
iii）如图4，，延长交于点G，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上，t的值是3或12或15．