北京市第四中学2024-2025学年七年级上学期11月期中考试 数学试题（含解析）

这是一份北京市第四中学2024-2025学年七年级上学期11月期中考试 数学试题（含解析），共5页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的相反数是（ ）
A．5B．C．D．
2．中国船舶自主品牌在国际上发挥引领作用，年初已高质量完成多艘船舶的交船任务，其中包括满足最新环保排放标准的原油船“凯盟”轮，该船总重11.5万吨．将数据115000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列各式中计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C．D．
6．下列等式变形错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若输入的数，则输出的结果为（ ）
A．11B．3C．D．
8．我国古代数学著《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意是：现有一根竿和一条绳索，若用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对折去量竿，绳索就比竿子短5尺，若设竿长为x尺，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．王涵同学在某月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为45，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（ ）
A．B．C．D．
10．正正和阳阳一起玩猜数游戏．正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤进行计算：第一步把第一个数乘以4，再减去15；第二步把第一步的结果乘以2，再加上第二个数；第三步把第二步的结果乘以8，再加上第三个数．只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个正整数．”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了．请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是102时，阳阳最初选定的三个正整数按顺序分别是（ ）
A．1，4，6B．6，4，1C．6，2，5D．5，2，6
二、填空题（本大题共8小题）
11．中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．如果盈利90元记作元，那么亏本70元记作 元．
12．比较大小： ．（填“”、“”或“”）
13．用四舍五入法将取近似数并精确到，得到的值是 ．
14．单项式 的系数是 ，次数是 ．
15．用代数式表示y的倒数与1的和： ．
16．若关于x的方程mx+2=2（m﹣x）的解是，则m= ．
17．将二进制数转化为十进制数是 ，十进制数35转化成二进制数是( )．
18．在一个的正方形网格中，在每个小方格中各填一个正数，要求同时满足以下条件：
（1）每一行的数字乘积为1；
（2）每一列的数字乘积为1；
（3）任何一个的正方形中的数字乘积为2．
则正方形网格中间的数字a是 ．
三、解答题（本大题共8小题）
19．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
20．化简：
(1)；
(2)．
21．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
22．已知3a﹣7b＝﹣3，求代数式2（2a+b﹣1）+5（a﹣4b）﹣3b的值．
23．一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了4千米到达小袁家，继续走了1.5千米到达小平家，又向西走了10千米到达小爽家，最后回到百货大楼．
(1)以百货大楼为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请你在数轴上表示出小袁、小平、小爽家的位置并在数轴上面写出这些点所对应的数；
(2)小袁家与小爽家相距多远？
(3)若货车每千米耗油升，那么这辆货车共耗油多少升？
24．如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长米，宽米的小路，剩余部分种草．
(1)小路的面积为 平方米；种花的面积为 平方米；（结果保留π）
(2)请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留π）
(3)当，时，请计算该长方形场地上种草的面积．取3.14，结果精确到
25．对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定．
(1)直接写出的值为________；
(2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简；
(3)在条件（2）下，直接写出______．
26．阅读与思考
将新学的知识和已有的知识相互联系是数学学习的好方法．小赵同学在学习了《多项式》一章之后，发现了多项式和进位制的相似之处．
在n进制下，数可以表示为，如果将n看成变量，那么后面的代数式便是一个关于n的多项式．如在十进制下，；在n进制下．他在学习小组中分享了这个想法之后，小赵和他的同学们有了如下对话：
悦悦：如果多项式，那它是不是可以看成是“x进制”下的“多项式”？
正正：好像是这样．另外，多项式A还可以写成，那么它就可以看成是“进制”下的“多项式”了！
小赵：这么看来，多项式是不是也能进行“进制转化”呢？
为了解决小赵的问题，学习小组进行了更深入的探究．
项目主题：多项式的“进制转化”．
请阅读他们小组的项目实施过程，帮助他们解决实施过程中遇到的问题．
项目实施：
四、填空题（本大题共2小题）
27．为庆祝“十一”国庆节，广场上要设计一排灯花增强气氛．其设计由如图所示图案逐步演变而成，其中圆圈代表灯花中的灯泡，n代表第n次演变过程，代表第n次演变后的灯泡总个数．仔细观察下列演变过程．
（1）当时， ；
（2）用含n的代数式表示第n次演变后的灯泡总个数为 ．
28．已知有理数a满足的最小值是8，那么a的值是 ．
五、解答题（本大题共1小题）
29．如图是一个400米长的圆形跑道，从O点出发，沿跑道顺时针跑出52米的距离记作米，逆时针跑出60米记作米．已知跑道上的两点A，B对应的有理数分别为a，b，且满足：，
(1) ________；
(2)定义1：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距．
定义2：若点M为跑道上A，B两点之间较短圆弧上的一点，且到A，B两点的弧距满足：其中一个弧距是另一个弧距的3倍，则称M为A，B两点的“友谊点”．
①直接写出A，B两点的“友谊点”M在跑道上对应的有理数；
②点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动，同时点Q以每秒20个单位长度的速度从点B出发，沿跑道顺时针运动．当Q与O重合时，运动停止．当P为O，Q两点的“友谊点”时，此时运动的时间为t秒，请直接写出t的所有可能取值．
参考答案
1．【答案】A
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．
【详解】解：的相反数是5．
故此题答案为A．
2．【答案】C
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：将数据115000用科学记数法表示为，
故此题答案为C．
3．【答案】D
【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故此题答案为D．
4．【答案】D
【分析】根据数轴可直接判断A；根据数轴和有理数的乘法法则可判断B；根据数轴和有理数的减法法则可判断B；根据数轴和有理数的加法法则可判断B．
【详解】解：A．由数轴可知，，故不正确；
B．∵，∴，故不正确；
C．∵，，∴，故不正确；
D．∵，，∴，正确；
故此题答案为D．
5．【答案】B
【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．
【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故不正确；
B．，正确；
C．与不是同类项，不能合并，故不正确；
D．与不是同类项，不能合并，故不正确；
故此题答案为B．
6．【答案】C
【分析】根据等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，等式两边仍相等；同时乘以或除以同一个数（除数不为0），等式两边仍相等．作相应变形进而判断．
【详解】解：A、根据等式的性质1，等式两边都加1，可得，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、根据等式的性质1，等式两边都加上，可得，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、等式两边都乘以2可得，原变形错误，故此选项符合题意；
D、等式两边都加上，可得，原变形正确，故此选项不符合题意；
故此题答案为C．
7．【答案】A
【分析】根据流程图结合有理数的混合运算法则计算即可得解．
【详解】解：输入的数，则输出的结果为，
，
，
故输出的结果为：，
故此题答案为A．
8．【答案】B
【分析】根据索子和竿子之间的关系，可得出索长为尺，根据“将索子对折去量竿，索子就比竿子短5尺”，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：∵用索去量竿，索比竿长5尺，
∴索长为尺，
又∵将索子对折去量竿，索子就比竿子短5尺，
∴．
故此题答案为B．
9．【答案】D
【分析】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意可列方程求解．
【详解】A. 设最小的数是x，x+x+7+x+14=45，解得x=8，故本选项不合题意；
B. 设最小的数是x，.x+x+1+x+8=45,解得：x=12，故本选项不合题意；
C. 设最小的数是x，.x+x+6+x+12=45，解得：，故本选项不合题意；
D. 设最小的数是x.，x+x+6+x+14=，解得：x=9，故本选项不合题D.
故此题答案为D.
10．【答案】D
【分析】设这三个数为、、，由题意可得，整理得出，再将各个选项代入计算即可得解．
【详解】解：设这三个数为、、，
由题意得：，
整理得：，
、将1，4，6代入可得：，故不符合题意；
B、将6，4，1代入可得：，故不符合题意；
C、将6，2，5代入可得：，故不符合题意；
D、将5，2，6代入可得：，故符合题意；
故此题答案为D．
11．【答案】
【分析】明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：∵盈利90元记作元，
∴亏本70元记作元．
12．【答案】
【分析】根据两负数比较大小的法则进行比较即可．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴
13．【答案】
【分析】要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．
【详解】解：（精确到）．
14．【答案】
【详解】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，所以单项式−5x2y的系数是：−5，次数是3.
15．【答案】/
【分析】把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．y的倒数为，然后与1求和即可．
【详解】解：由题意，得
y的倒数与1的和为．
16．【答案】2
【详解】把x=代入方程，即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值．
解：把x=代入方程，得：m+2=2（m﹣），
解得：m=2．
17．【答案】 13 100011
【分析】二进制转十进制时，将二进制数从右向左的数字乘以2的n次方（其中n为0、1、2……，），然后求和即可．十进制转二进制时，将一个十进制数除以二，得到的商再除以二，依此类推直到商等于一或零时为止，倒序排列除得的余数，即换算为二进制数的结果．
【详解】解：转化为十进制数为：；
∵，，，，，
∴．
18．【答案】16
【分析】分别用字母表示9个网格的数，根据（1）（2）（3）分别列式可解答．
【详解】解：如图所示：
则，，，，，，
，
，
得：，
∴，
∴，
同理得：，
，得
，
将①代入⑥，得
．
19．【答案】(1)19；
(2)；
(3)40；
(4)；
(5)；
(6)0.4．
【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可得解；
（2）根据有理数的乘除运算法则计算即可得解；
（3）根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可得解；
（4）先计算绝对值和除法，再计算减法即可得解；
（5）根据有理数的乘法运算律计算即可得解；
（6）根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可得解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：
（6）解：
．
20．【答案】(1)；
(2)
【分析】整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并同类项．
（1）直接合并同类项即可；
（2）先去括号，再合并同类项．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
21．【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）先移项，再合并同类项，再化系数为1即可得解；
（2）先去括号，再移项，合并同类项，再化系数为1即可得解；
（3）先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，再化系数为1即可得解．
【详解】（1）解：移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：
（2）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：
（3）解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
22．【答案】11
【分析】去括号，合并同类项，整体代入求值．
【详解】解：
=
=．
，
∴原式=
=
=
=
=．
23．【答案】(1)图见解析
(2)千米；
(3)1升．
【分析】（1）根据已知，以百货大楼为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米一辆货车从百货大楼出发，向东走了4千米，到达小袁家，继续向东走了1.5千米到达小平家，然后西走了10千米，到达小爽家，最后返回百货大楼，则小袁家、小平家和小爽家在数轴上的位置可知；
（2）用袁家的坐标减去与小爽家的坐标即可；
（3）这辆货车一共行走的路程，实际上就是（千米），货车从出发到结束行程共耗油量=货车行驶每千米耗油量×货车行驶所走的总路程．
【详解】（1）解：如图所示：A、B、C分别表示小袁、小平、小爽家，
（2）解：小袁家与小爽家相距：（千米）．
答：小袁家与小爽家相距千米；
（3）解：这辆货车此次送货共耗油：（升）．
答：这辆货车此次送货共耗油1升．
24．【答案】(1)，
(2)长方形场地上种草的面积为平方米
(3)该长方形场地上种草的面积为27平方米
【分析】（1）利用长方形和扇形面积公式求解；
（2）根据种草的面积是整个长方形的面积减去小路面积和扇形花圃面积即可；
（3）由此利用已知数据求出种草的面积即可．
【详解】（1）解：依题意得小路的面积为平方米，种花的面积为平方米
（2）该长方形场地上种草的面积为：
平方米，
故长方形场地上种草的面积为平方米；
（3）当，时，平方米．
答：该长方形场地上种草的面积为27平方米．
25．【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据题干的新定义列式计算即可得解；
（2）由数轴可得，，得出，，根据题干的新定义结合绝对值的性质计算即可得解；
（3）由（2）可得：，，根据题干的新定义结合绝对值的性质计算即可得解．
【详解】（1）解：；
（2）解：由数轴可得：，，
∴，，
∴；
（3）解：由（2）可得：，，
∴．
26．【答案】（1）；（2），2；（3）．
【分析】（1）将各项的指数从高到低排列即可；
（2）参照阅读材料，列出竖式即可求解；
（3）首先第一步除法得：，再对重复第一步，以此类推，直到余式为或余式的次数低于除式的次数即可得到答案．
【详解】解：（1）把按x的降幂排列为：；
（2）由题意可列出如下竖式：
，
故的商是，余式是；
（3）∵，
∴对部分再除以得：，
同理得：，
∴，
综上可得：．
27．【答案】 46
【分析】根据图形的变化规律，结合数字规律列出式子求解即可．
【详解】解：（1）∵，
，
，
，
∴．
（2）由（1）可知，．
28．【答案】或
【分析】根据得出式子表示一点到，，，四点的距离的和，结合数轴可得只有当时，式子有最小值，则，再分情况讨论求解即可得解．
【详解】解：，表示一点到，，，四点的距离的和，
由数轴可得只有当时，式子有最小值，则，
当时，，解得：，
当时，，无解，
当时，，解得：，
综上所述，a的值是或
29．【答案】(1)；
(2)①，（n为整数）；②或或或
【分析】（1）根据非负数的性质即可求解；
（2）①设M在跑道上对应的有理数为x，则，，根据定义可列方程或，即可求解；
②根据“友谊点”的定义，当P为O，Q两点的“友谊点”时，必须为O、Q两点间的较短圆弧，由于Q点运动到O点后停止，所以考虑两个主要情形：Ⅰ：Q点过O'点前；Ⅱ：Q点过点后．再根据每种情形列方程或，再分别求解即可．
【详解】（1）解：由，可知，
∴，
∴．
（2）①设M在跑道上对应的有理数为x，则，，
根据定义，可得或，
可列方程为或，
解得：或，
由于M点可绕圆周顺时针或逆时针运动，
∴x可加上任意n圈，
故M在跑道上对应的有理数为：或（k为任意整数）．
②∵点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动，
同时点Q以每秒20个单位长度的速度从点B出发，沿跑道顺时针运动．
根据“友谊点”的定义，当P为O，Q两点的“友谊点”时，
必须为O、Q两点间的较短圆弧，如图所示，点与O点对称．
由于Q点运动到O点后停止，所以本题考虑两个主要情形：
Ⅰ：Q点过点前；
Ⅱ：Q点过点后．
先讨论Ⅰ情形：
由题意可得，
此时，
所以，
则．
∴当时，即，
解得：；
当时，即，
解得：．
再讨论Ⅱ情形：
此时P点已第一次过O点，
∴，
∴，
当时，即，
解得：；
当时，即，
解得：．
综上所述：t的所有可能取值为或或或．任务一搜集资料：
我们可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．
任务二竖式计算：
例如我们计算，可以列出如下竖式：
因此多项式除以，商式为，余式为12．
我们可以写成：，
即：．
任务三学以致用：
（1）请把按x的降幂排列：________________；
（2）请计算的商是________，余式是________；
（3）直接写出展开成“进制”的“多项式”结果．