天津大学附属中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份天津大学附属中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题（原卷版+解析版），共20页。
数学学科试卷
注意事项：
一、本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．
二、答卷前请务必将个人信息填写在答题卡和答题纸密封线内的相应位置．
三、选择题答案请用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂：非选择题请用蓝、黑色墨水的钢笔或签字笔将答案填写在答题卡的相应位置．在试卷或其它位置作答无效！
第Ⅰ卷
一、选择题：(每道题均为单选题，每题5分，共50分)
1. 已知函数在处可导，且，则（ ）
A. B. 9C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由导数的计算公式可得.
【详解】.
故选：B
2. 下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是r1，r2，r3，r4，其中最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据散点图变化趋势判断样本相关系数的正负，再由散点图的集中程度大小，即可判断.
【详解】由散点图变化趋势可知：且D的散点图更集中，接近于一条直线，所以相对于更趋近于，所以.
故选：D.
3. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则（ ）

A. 是的一个零点B. 和都是的极大值点
C. 的单调递增区间是D. 的单调递减区间是
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数分析函数的单调性，逐项判断即可得出结论.
【详解】当时，，函数在上单调递减，
当时，恒成立，当且仅当时，等号成立，
所以，函数在上单调递增，则是函数的极小值点，
函数无极大值点，无法判断是函数的一个零点，A错B错C对D错.
故选：C.
4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
【答案】B
【解析】
【分析】利用正态分布的对称性即可得到结果.
【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态分布的对称轴为，
所以,
故选：B
5. 的展开式中，常数项等于 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二项式定理得到展开式通项公式，即可求解.
【详解】的展开式通项公式为，
令，解得，
故常数项等于.
故选：B.
6. 君子六艺包括礼、乐、射、御、书、数，这些技能不仅是周朝贵族教育的重要组成部分，也对后世的教育体系产生了深远影响.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有（ ）
A. 432种B. 486种C. 504种D. 540种
【答案】A
【解析】
【分析】分“礼”与“乐”相邻和“礼”与“乐”中间插一艺，利用相邻和插空法求解.
【详解】当“礼”与“乐”相邻时，有种；
当“礼”与“乐”中间插一艺时，有种；
所以“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有种，
故选：A
7. 已知随机变量， 且 ，则下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二项分布均值公式求得可判断A，由方差公式可判断B，由二项分布的概率公式可判断C，由均值性质可判断D.
【详解】对于A，，解得，故A不符合题意；
对于B，，故B不符合题意；
对于C，，故C符合题意；
对于D，由均值的性质可知，，故D不符合题意.
故选：C.
8. 已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题干条件可构造函数，对求导得在上单调递减，由已知条件可得，结合的单调性可解函数不等式.
【详解】由，联想到积的导数公式，故构造函数，
则，故在上单调递减，
又，所以不等式即的解集为.
故选：B.
9. 为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华进行了深入的调查，并绘制丁下侧所示的2×2列联表(个别数据暂用字母表示)：
临界值表如下：
经计算得：，参照右上表，有如下结论：①，②；③可以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关”；④没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关”，则以上结论中正确的为（ ）
A. ①②B. ①②④C. ①②③D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】利用列联表中数据计算出的值，结合和卡方的临界值表可判断③④.
【详解】由列联表可知，所以：，①正确.
又因为，，所以，②正确.
因为，所以没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关，故③错误，④正确.
故选：B
10. 已知函数，下列命题正确有（ ）
A. 可能有2个零点
B. 没有极小值
C. 时，
D. 若存在极大值点，其中，则
【答案】D
【解析】
【分析】讨论的范围，根据不同的取值讨论函数的单调性及极值和零点，即可判断A、B两项；再根据得到，根据时的单调性即可判断C；根据分析已知，，解关于的方程即可，得，即可判断D.
【详解】函数定义域为，.
当时，，根据二次函数性质可知最低点坐标为，此时函数与轴无交点，即函数无零点；
当时，令，或.
当时，在时，，在上，即在上单调递增，在和上单调递减.
故此时有极小值点，极小值为，存在极大值点，极大值为；，所以有一个零点.
当时，在时，，在上，即在和上单调递增，在上单调递减.
故此时有极小值点，极小值为，存在极大值点，极大值为；，所以有一个零点.
对于A，当时，函数无零点；和时有一个零点；故A错误；
对于B，当时，函数有极小值，故B错误；
对于C，时，，此时在上单调递减，又，所以，故C错误；
对于D，由上述分析可知，则，，即.
已知方程已有一根为，故可因式分解得，解得与相异的根，则，故D正确.
故选：D
第Ⅱ卷
二、填空题(每题5分，共40分)
11. 已知某班级中有男生32人，女生28人，男生中参加运动会的有24人，女生中参加运动会的有 12人，现从这个班级中随机抽出一名学生，若抽到的是女生，则所抽到的学生参加运动会的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由条件概率的公式代入计算，即可得到结果.
【详解】设事件表示抽到女生，事件表示抽到参加运动会的学生，
则，，
则.
故答案为：
12. 学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是____________（请用数字作答）
【答案】30
【解析】
【分析】根据分类讨论，结合组合的知识求得正确答案.
【详解】选出的志愿者中，1个女生3个男生时，方法数有种，2个女生2个男生时，方法数有种，所以不同选法有种.
故答案为：30.
13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式先写出切点坐标，再对函数求导根据导数的几何意义写出切线的斜率，最后由点斜式写出直线方程.
【详解】因为函数，所以，
故切点坐标为，
，
切点处的导数值为切线的斜率，所以，
用点斜式写出切线方程：，
整理得：.
故答案为：
14. 已知两个变量y与x对应关系如下表：
若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则________．
【答案】7.5##
【解析】
【分析】先计算，再将点代入回归方程中即可.
【详解】，，
将点代入方程中得，，
得
故答案为：
15. 函数的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】求导，确定单调性，然后求最值.
【详解】∵函数，
∴，令，得，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
∴在处取极小值，也是最小值，
∴函数最小值为.
故答案为：.
16. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同)，某学生先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出2个球，记“从乙箱中取出的2个球都是黑球”为事件B，则_________．
【答案】##0.48
【解析】
【分析】根据题给条件分析具体情况列条件概率和全概率公式计算即可得解.
【详解】记学生先从甲箱中取出的1个球恰有个红球放入乙箱为事件，
.
学生先从甲箱中随机取出1个黑球放入乙箱，则此时乙箱中有红黑，此时.
学生先从甲箱中随机取出1个红球放入乙箱，则此时乙箱中有红黑，此时，
则.
故答案为：.
17. 设，若的展开式中项的系数为10，则____________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据二项式定理求项的系数即可.
【详解】项为，
由.
故答案为：2
18. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】对函数求导并根据单调性得出不等式在恒成立，再构造函数并利用单调性即可求得实数的取值范围.
【详解】对于，则，
因为在区间上单调递增，
所以在恒成立，
显然，所以在恒成立，
令，，
则，所以在上单调递增，
所以，则或（舍去），
所以实数的取值范围为.
故答案为：
三、解答题
19. 在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍．
（1）求n的值；
（2）求的展开式中的常数项．
【答案】（1）9 （2）
【解析】
【分析】（1）根据二项展开式的通项公式及二项式系数的概念求解；
（2）由二项展开式通项公式，令求解即可.
【小问1详解】
由二项展开式通项公式可知，，
所以由题意知，解得.
【小问2详解】
由（1）知二项展开式的通项公式为，
令，解得，
故展开式中的常数项为.
20. 已知函数在及处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，利用求出a，b的值，再进行检验；
（2）结合函数的单调性和极值情况，只需满足，解之即得.
【小问1详解】
由题意得，
由函数在及处取得极值，得
解得，此时，，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则和分别为的极大值点和极小值点.
故.
【小问2详解】
由（1）可知， 在处取得极大值，在处取得极小值．
又有三个不同的实根，所以
解得，所以实数c的取值范围是．
21. 某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答．
（1）若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率；
（2）若恰好抽选了 1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率；
（3）若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值．
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由古典概型即可求解；
（2）判断题干所求为条件概率，利用条件概率公式即可求解；
（3）列出所有符合组合情况，计算的分布列与均值即可.
小问1详解】
若逐个抽选，恰好第一个抽选的是男生的情况为男生所占人数总比例，即概率为.
【小问2详解】
记事件为恰好抽选了 1名男生与1名女生，事件为这2人都是高二学生.由题知男生总共人，女生总共人.
，，
由条件概率可得.
【小问3详解】
因为恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，可能的情况包含“1名高一男学生与1名高二男学生” 、“1名高一男学生与1名高二女学生”、 “1名高一女学生与1名高二男学生”、“1名高一女学生与1名高二女学生”.
抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，则的可能取值为.
；
.
则的分布列为
则均值.
22. 已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程；
（2）若，求证：当时，；
（3）若有且只有两个零点，求a的值.
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）求出，根据求出，再求出，从而可求切线方程.
（2）利用导数求出，根据可得不等式成立.
（3）就和分类讨论，后者可根据极小值的符号来讨论.
【小问1详解】
因为，所以，故．
所以．
所求切线方程为，即．
【小问2详解】
当时，，．
当时，；当时，．
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以的最小值为．
故时，．
【小问3详解】
对于函数，．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，，所以在区间上单调递增；
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增．
所以是的极大值，是的极小值．
因为，
所以在上有且只有一个零点．
由于，
①若，即，在区间上没有零点；
②若，即，在区间上只有一个零点；
③若，即，由于，所以在区间上有一个零点．
由（2）知，当时，，所以．
故在区间上有一个零点．
因此时，在区间上有三个零点．
综上，当有两个零点时，．
天津大学附属中学2024-2025学年第二学期高二年级期中考试
数学学科试卷
注意事项：
一、本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．
二、答卷前请务必将个人信息填写在答题卡和答题纸密封线内的相应位置．
三、选择题答案请用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂：非选择题请用蓝、黑色墨水的钢笔或签字笔将答案填写在答题卡的相应位置．在试卷或其它位置作答无效！
第Ⅰ卷
一、选择题：(每道题均为单选题，每题5分，共50分)
1. 已知函数在处可导，且，则（ ）
A. B. 9C. D. 1
2. 下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是r1，r2，r3，r4，其中最小的是（ ）
A. B. C. D.
3. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则（ ）

A. 是的一个零点B. 和都是的极大值点
C. 单调递增区间是D. 的单调递减区间是
4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
5. 的展开式中，常数项等于 （ ）
A. B. C. D.
6. 君子六艺包括礼、乐、射、御、书、数，这些技能不仅是周朝贵族教育的重要组成部分，也对后世的教育体系产生了深远影响.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有（ ）
A. 432种B. 486种C. 504种D. 540种
7. 已知随机变量， 且 ，则下列说法错误是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
9. 为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华进行了深入的调查，并绘制丁下侧所示的2×2列联表(个别数据暂用字母表示)：
临界值表如下：
经计算得：，参照右上表，有如下结论：①，②；③可以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关”；④没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关”，则以上结论中正确的为（ ）
A. ①②B. ①②④C. ①②③D. ①②③④
10. 已知函数，下列命题正确有（ ）
A. 可能有2个零点
B. 没有极小值
C. 时，
D. 若存在极大值点，其中，则
第Ⅱ卷
二、填空题(每题5分，共40分)
11. 已知某班级中有男生32人，女生28人，男生中参加运动会有24人，女生中参加运动会的有 12人，现从这个班级中随机抽出一名学生，若抽到的是女生，则所抽到的学生参加运动会的概率为_________．
12. 学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是____________（请用数字作答）
13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为_________．
14. 已知两个变量y与x对应关系如下表：
若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则________．
15. 函数的最小值为__________．
16. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同)，某学生先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出2个球，记“从乙箱中取出的2个球都是黑球”为事件B，则_________．
17. 设，若的展开式中项的系数为10，则____________.
18. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________.
三、解答题
19. 在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍．
（1）求n的值；
（2）求的展开式中的常数项．
20. 已知函数在及处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
21. 某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答．
（1）若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率；
（2）若恰好抽选了 1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率；
（3）若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值．
22. 已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程；
（2）若，求证：当时，；
（3）若有且只有两个零点，求a的值.数学成绩
性别
合计
男
女
优秀
27
70
非优秀
58
110
合计
180
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
x
1
2
3
4
5
y
5
m
8
9
10.5
数学成绩
性别
合计
男
女
优秀
27
70
非优秀
58
110
合计
180
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3841
5.024
6.635
7.879
10.828
x
1
2
3
4
5
y
5
m
8
9
10.5