陕西省榆林市多校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份陕西省榆林市多校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试卷（解析版），共12页。
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,
故选：B
2. 某影城有一些电影新上映，其中有1部喜剧片、2部文艺片、2部科幻片，小明从中任选1部电影观看，则不同的选法种数为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】从5部电影种选择一部观看，共有5种方法，
故选：A
3. 若函数在处的导数为1，则（ ）
A. 4B. 2C. 1D.
【答案】C
【解析】，
故选：C.
4. 某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲、乙、丙、丁四区的居民收人情况进行抽样调査，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（ ）
A. 12种B. 36种C. 48种D. 72种
【答案】B
【解析】先将甲、乙、丙、丁四个区分成三组，即任意选两个成为一组，剩余两个各自一组，共种，
再将分好的三组不同的区分配给三组工作人员，共有种分配方法；
因此共种.
故选：B
5. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A. 在上是增函数
B. 在上是减函数
C. 当时，取得极小值
D. 当时，取得极小值
【答案】D
【解析】对于选项A，由图知，当时，的符号有正有负，
不是单调的函数，所以选项A错误，
对于选项B，由图知，当时，是增函数，所以选项B错误，
对于选项C，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，，
所以是极大值点，在处取到极大值，
所以选项C错误，
对于选项D，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，，
所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项D正确，
故选：D.
6. 设，随机变量的分布列如下所示，那么，当在内增大时，的变化是（ ）
A. 减小B. 增大
C. 先减小后增大D. 先增大后减小
【答案】B
【解析】依题意可得，
所以 ，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
即当在内增大时，也增大.
故选：B.
7. 现有红、黄、蓝三种颜色,对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）
A. 48种B. 64种C. 96种D. 144种
【答案】C
【解析】根据题意，假设正五角星的区域为，，，，，，如图所示，
先对区域涂色，有3种方法，再对，，，，这5个区域进行涂色，
因为，，，，这5个区域都与相邻，所以每个区域都有2种涂色方法，
所以共有种涂色方法．
故选：C.
8. 定义：若函数存在个极值点，则称为折函数．例如，函数为3折函数．已知函数，则为（ ）（参考数据：，）
A.2折函数B. 3折函数
C. 4折函数D. 5折函数
【答案】A
【解析】，
函数的极值点问题，等价于的零点问题，令，得，
所以将函数的零点个数问题，转化为函数与函数的图象在上的交点个数问题．
在同一坐标系中，画出函数和的图象，
由于g1=00,gπ>0,hπ1,g2π=1，故当时，和的图象无交点，
因此和在上有1个交点，所以函数为2折函数.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 展开式共有9项
B. 展开式中的常数项是
C. 展开式中各项系数之和为0
D. 展开式中的二项式系数之和为64
【答案】AC
【解析】对于A,由于，故展开式共有9项，A正确，
对于B，展开式中的常数项为，故B错误，
对于C,令，则，故展开式中各项系数和为0，C正确，
对于D , 展开式中的二项式系数之和为，故D错误，
故选：AC
10. 如图，某电子实验猫线路图上有，两个红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，．同学甲从第一次实验到第三次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，则（ ）
A.
B.
C.
D. 一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为
【答案】ACD
【解析】由题意可知，,故A正确，
所以，故B错误；
，C正确，
一次实验中，两处至少遇到一次红灯的概率为，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若在上单调递减，则的最大值为1
B. 当时，
C. 当时，
D. 存在直线，使得与的图象有4个交点
【答案】BCD
【解析】，由，解得，
的最大值为，故A不正确；
当时，，即.
设，则，
在处取得最小值，故B正确；
当时，，即.
由B选项的过程知，在时，，
在上单调递减，，故C正确；
画出的图象如图，
可知存在直线，使得与的图象有4个交点，故D正确，故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数的导函数为，且满足，则的值为_____．
【答案】
【解析】由题意得：，再代入得：，
解得：，
故答案为：.
13. 某校共有1000名学生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，请估计竞赛成绩在65分到75分之间的人数约为_____人．（结果四舍五入保留整数）
（参考数据：，，
）
【答案】341
【解析】由于竞赛成绩服从正态分布，故，
故竞赛成绩在65分到75分之间的人数约为，
故答案为：341
14. 用0、2、3、4、5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_____个．（用数字作答）
【答案】30
【解析】若个位数字为0，则百位和十位从剩余4个数字中任选2个排列，可得个符合条件的偶数，
若个位数字是2或4，则从除0外的其他3个数字中选择一个作百位数字，再从剩余数字中选择一个作为十位数字，此时共有个符合条件的偶数，
因此一共有个符合条件的偶数，
故答案为：30
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 从甲、乙等5人中选4人参加米接力比赛．
（1）求甲跑最后一棒的排法有多少种?
（2）求甲、乙均参加，且不相邻的排法有多少种?
解：（1）甲跑最后一棒，从剩下的4人里选出3人排序即可，即；
（2）先从剩下的3人里选出2人排好，共种情况，
排好的2个人会产生3个空，选2个空，将甲乙排进去即可，共情况，
所以总情况为：
16. 已知函数在时取得极值．
（1）求实数的值；
（2）求在区间上的最大值与最小值．
解：（1）由题得，所以.
当时，，
当或时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
此时函数在时取得极值，所以.
（2）由（1）得，
因为，，，
.
所以在区间上的最大值为，最小值为.
17. 2025年的农历新年里，某市传统民俗文化庙会在历史文化街区举办．庙会设有7个传统手工艺展示区、11个地方美食摊位区和3个民俗表演舞台区，街区总面积约2万平方米．游客可选择乘坐复古三轮车、骑共享单车或者步行来逛庙会．
（1）若游客甲准备在7个传统手工艺展示区和3个民俗表演舞台区中随机选取2个区域游览，设甲参观传统手工艺展示区的数量为，求的分布列及数学期望；
（2）为了解游客体验感受，主办方随机询问了350名首次逛庙会且只选择一种游览方式的游客，其游览方式的统计数据如下表：
经统计发现，若游客乘坐复古三轮车逛庙会，则能逛完所有区域的概率为；若游客骑共享单车逛庙会，则能逛完所有区域的概率为，若游客步行逛庙会，则能逛完所有区域的概率为．以频率估计概率，若游客乙首次逛庙会，选择上述三种游览方式中的一种，求游览结束时乙能逛完所有区域的概率．
解：（1）由题意知：所有可能取值为，则有：
，，，
可知的分布列为：
所以的数学期望为.
（2）记事件A为“游客乙乘坐复古三轮车游园”，事件为“游客乙骑共享单车游园”，事件为“游客乙步行游园”，事件为“游园结束时，乙能参观完所有区域”，
由题意可知：，，
由全概率公式可得
，
所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为.
18. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，证明：函数至多有一个零点．
解：（1）当时，，
则，故，
又，
故在点处的切线方程为，
即
（2）的定义域为，
，
由于，
故，
当时，在单调递减，
当时，在单调递增，
当时，在单调递减，
故在处取极小值，，
因此函数至多有一个零点
19. 某校为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落，高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）．以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率．
现以两人的总投篮（二分球+三分球）命中率较高者评为校MVP（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数）．
（1）小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次小必定能评为校MVP，试通过计算判断小的想法是否准确?
（2）小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏．游戏规则如下：
①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3．
②游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续投篮．
③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．
若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“”的值，请解答以下两个问题：
（ⅰ）若小第一次投篮，设其获胜的概率为，请证明：当时，小获胜的概率大；
（ⅱ）若小第一次投篮，，设小获胜概率为，请通过讨论说明：小和小谁获胜的概率大?
解：（1）由题意小总出手200次，命中120次，命中率为：，
小总出手200次，命中136次，命中率为，
故小获校，所以小的想法不正确；
（2）（ⅰ）若第一次投篮人物为小，，
小获胜的概率为，小获胜的概率为，
，
故当时，，小获胜概率大，
（ⅱ）若第一次投篮人物为小，，
小获胜的概率为，小获胜的概率为，
则
，
其中
由指数函数的单调性可知：随着的增大而增大，
计算可得：，
所以当也就是时，，
当也就是时，，
综上：若小第一次投篮，时，小获胜概率大，
时，小获胜概率大.
故当时，若小第一次投篮，时，小获胜概率大，
时，小获胜概率大.
0
1
2
游览方式
复古三轮车
共享单车
步行
游客人数
60
120
170
0
1
2
二分球出手
二分球命中率
三分球出手
三分球命中率
小
100次
80%
100次
40%
小
190次
70%
10次
30%