陕西省部分学校2024−2025学年高二下学期期中联考 数学试题（含解析）

这是一份陕西省部分学校2024−2025学年高二下学期期中联考 数学试题（含解析），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共9小题）
1．已知数列，则该数列的第36项为（ ）
A．B．36C．D．6
2．已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
5．已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且，，当取得最小值时，（ ）
A．3B．5C．6D．9
6．若数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．9
7．已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率
B．在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率
C．对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率
D．存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率
8．杭州的三潭印月是西湖十景之一､被誉为“西湖第一胜境”.所谓三潭，实际上是3个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每个高2米，分别矗立在水光潋滟的湖面上，形成一个等边三角形，记为，设的边长为，取每边的中点构成，设其边长为，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列，若的前项和为，则的边长（ ）
A．62B．61C．31D．30
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共2小题）
10．记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（ ）
A．6B．7C．9D．10
11．定义数列的 “差分数列”：.若数列的 “差分数列”是公差为的等差数列，且，，则（ ）
A．
B．
C．
D．数列的前项和
三、填空题（本大题共3小题）
12．设是可导函数，且.则 .
13．的内角的对边分别为，若，则的面积为 .
14．若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知等比数列的前项和.
（1）求实数的值；
（2）若，求.
16．设为等差数列的前n项和，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求；
（3）若，，成等比数列，求m的值．
17．我省某高中落实国家“双减”政策，合理安排学生作息时间.为了调查学生从家到达学校所需时间，学校对高一学生上学交通方式进行问卷调查.经调查，乘坐机动车上学的学生有800人，骑自行车上学的学生有250人，步行上学的学生有200人.
（1）为保证调查结果相对准确，现用分层随机抽样的方法进行调查，已知在骑自行车上学的学生中抽取了5人，求从乘坐机动车上学的学生中应抽取多少人？
（2）抽取出的5名骑自行车的学生从家到达学校所需时间分别为（单位：），求这5个数的平均数和方差.
18．已知函数.
（1）求曲线的一条与直线平行的切线的方程；
（2）求过点且与曲线相切的切线方程.
19．设数列的前项和为，已知数列满足.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求；
（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为数列，即，
所以归纳可得该数列的通项公式为，
所以.
故选C
2．【答案】A
【详解】根据题意，，
所以，所以中元素的个数为.
故选A
3．【答案】B
【详解】由题意可得“高原版”复兴号动车的加速度，
将代入上式，可得（）.
故选B.
4．【答案】C
【详解】当时，，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
故选C
5．【答案】B
【详解】设等差数列的公差为，则，
令，因为，所以，
所以二次函数的图象关于直线对称．
又因为，可得，所以当取得最小值时，．
故选B
6．【答案】D
【详解】数列中，由，得，
则，因此数列是周期数列，周期为4，
所以.
故选D
7．【答案】D
【详解】由平均变化率和瞬时变化率的概念即可判断.
【详解】解：∵在a到b之间的平均变化率是，
在a到b之间的平均变化率是，
又，，
∴，
∴A、B错误；
易知函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数，
即函数在该点处的切线的斜率，
同理可得：函数在处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，
即函数在该点处的切线的斜率，
由题中图象可知：
时，函数在处切线的斜率有可能大于在处切线的斜率，也有可能小于在处切线的斜率，故C错误，D正确．
故选D．
8．【答案】A
【详解】根据题意，取每边的中点构成，
则的各边均为对应的中位线，长度减半，由此，
依次类推可得，
所以是首项为，公比的等比数列，
故其前项和，解得，即的边长.
故选A.
9．【答案】ACD
【详解】直接计算得，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D正确.
故选ACD
10．【答案】AD
【详解】由，结合等比数列下标和的性质可得：，所以，
又，所以，所以可以是或或，
所以的可能值为或，
故选AD
11．【答案】ABC
【详解】A.由题意得，，即，故，选项A正确.
B. ∵数列是公差为的等差数列，，
∴，故，选项B正确.
C.由得，，
∴当时，，
∴
，
当时，满足上式，故，选项C正确.
D.当时，，选项D错误.
故选ABC.
12．【答案】2
【详解】因为且是可导函数，
所以.
13．【答案】2
【详解】由，结合正弦定理边化角可得：，
又为三角形的内角，，
所以，
所以的面积为：.
14．【答案】50
【详解】由等差数列片段和性质知：为等差数列，
所以，则，
所以.
15．【答案】（1）.
（2）.
【详解】（1）当时，，
数列是等比数列，满足，
，解得.
（2）由（1）可知，，
，
，解得.
16．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）∵为等差数列的前n项和，，．
∴，
解得，
∴数列的通项公式为．
（2）由（1）知，．
（3）∵，，成等比数列，∴，
即，即，又因为， 解得.
17．【答案】（1）16
（2）平均数为14，方差为7.6
【详解】（1）从乘坐机动车上学的学生中应抽取人；
（2）这5个数的平均数为，
方差为
.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为切线与直线平行，所以切线的斜率，
由，得导数，
由，得，则，
又，所以切点坐标为，
所求切线方程为，即.
（2）设切点，则，即切线的斜率为，
切线方程为：，
将点代入可得，得，
此时切线方程为，即，
所求切线方程为：
19．【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）.
【详解】（1）由，得，又，
所以数列是首项，公差均为的等差数列.
（2）由（1）得，，则，
，
于是，
两式相减得，
所以.
（3）不等式，
令，依题意，对任意恒成立，
而，
当时，，当时，，当时，，
即，因此的最小值为，则，
所以实数的取值范围是.