【数学】陕西省榆林市2024-2025学年高二上学期期中检测试卷（解析版）

这是一份【数学】陕西省榆林市2024-2025学年高二上学期期中检测试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点，，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设直线的倾斜角为，则，由于，所以.
故选：D.
2. 若直线是圆的一条对称轴，则该圆圆心坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对圆进行配方可得：，圆心为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以直线经过圆心，
所以，解得，故圆心为，
故选：C.
3. “直线与直线平行”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，由直线与直线化简为：
直线与直线平行，这显然是成立的，
再当时，由直线与直线平行转化为：
直线与直线平行，
则，解得，
所以直线与直线平行的充要条件是或，
根据“”能推出“或”，反之，“或”不能推出“”，
所以“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，知椭圆离心率，故双曲线的离心率为3，
所以，可得，故渐近线为.
故选：A
5. 过抛物线：焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】由题意可知直线的斜率一定存在，
设直线的倾斜角为，由图，根据是正三角形，
有，又F1,0，所以，
联立，得，
设，则，
由抛物线的定义，.
故选：B.

6. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点在上，则的最大值为（ ）
A. 2B. C. 4D. 8
【答案】C
【解析】根据椭圆的定义，有，
又，
当且仅当时取等号，所以的最大值为4.
故选：C.
7. 已知两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】圆的圆心为，半径为2，由解得，
则直线与的交点为，
依题意，，解得，
所以实数k的取值范围是.
故选：B
8. 若椭圆（）的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在中，令，则，令，则或3，
故圆与坐标轴的公共点为1,0，，，
又椭圆的焦点在轴上，
①若椭圆的上顶点为，右焦点为1,0或，则，或3，
则或，离心率或；
②若椭圆的右顶点为，右焦点为1,0，则，，离心率.
综上所述，该椭圆的离心率为或或.故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可能是（ ）
A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆
【答案】ABD
【解析】由椭圆标准方程可知当且时，
即且，也即时，曲线是椭圆，即A正确；
由双曲线标准方程可知当时，即时，曲线是双曲线，即B正确；
由抛物线标准方程可知，曲线不可能是抛物线，即C错误；
根据圆的标准方程可知，当，可得，此时曲线是圆，即D正确.
故选：ABD
10. 若圆：与圆：的交点为，，则（ ）
A. 公共弦所在直线方程为
B. 线段中垂线方程为
C. 过点0,2作圆：的切线方程为
D. 若实数，满足圆：，则的最大值为2
【答案】ACD
【解析】圆：的圆心，
圆：的圆心，
两圆方程相减可得：，即公共弦所在直线方程为，故A正确；
线段中垂线即为直线，所以方程为：，
化简可得：，故B错；
点在圆：上，所以切线与圆心和切点的连线垂直，
切线斜率为：，故切线方程为，即，C正确.
令，则，代入得
，整理得，
方程有解，故，解得，
则的最大值为，D正确；
故选：ACD
11. 已知双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别为双曲线：的左、右焦点，过右支上一点Ax0,y0（）作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，则（ ）
A. 双曲线的离心率为
B. 直线的方程为
C. 过点作，垂足为，为原点，则
D. 四边形面积的最小值为6
【答案】AC
【解析】对于A，,故A正确；
对于B，设直线的方程为,
联立方程组,消去y整理得：
，
,化简整理得，
又因为，代入上式并化简得：，因为
所以方程有两个相等的实根，解得，
所以直线的方程为,即，故B错误；
对于，由双曲线的光学性质可知,平分，延长与的延长线交于点E，
则垂直平分,即为的中点，又是中点,
所以，故C正确;
对于D，由直线的方程为，令x=0,得,则，
，
当且仅当,即时等号成立，
所以四边形面积的最小值为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线：与直线：间的距离是______.
【答案】
【解析】因为直线：，即，
直线：，则两直线间的距离为.
故答案为：
13. 设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若点，则的最小值为______.
【答案】6
【解析】抛物线，所以焦点为，准线方程为，
当时，所以，因为，所以点在抛物线内部，
如图，

过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，
由抛物线的定义，可知，
故．
即当、、三点共线时，距离之和最小值为．
故答案为：．
14. 如图，半径为1的圆与轴和轴都相切.当圆沿轴向右滚动，圆滚动到与出发位置时的圆相外切时，记此时圆心为；当圆沿轴向上滚动，圆滚动到与出发位置时的圆相外切时，记此时圆心为.若直线与圆和圆都相切，且与圆相离，则直线的方程为______.
【答案】
【解析】依题意，圆，圆，
圆，，
即圆和圆相离，它们有4条公切线，两条内公切线分别为和，
直线和都与圆相切，不符合题意；
由圆和圆是等圆，得圆和圆的两条外公切线都与直线平行，
由，得外公切线的斜率，设方程为，
于是，解得或，
当时，切线，点到此直线距离，直线与圆相离，
当时，切线，点到此直线距离，直线与圆相交，
所以直线的方程为.故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线过定点．
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴上截距相等，求直线的方程．
解：（1），所以直线的斜率为，
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为2．
又因为直线过点，
所以直线的方程为，即．
（2）直线过原点时，设直线的方程为，
因为直线过点，所以，所以直线的方程为，即；
当直线不过原点时，因为直线l在两坐标轴截距相等，
所以设直线的方程为，即，
因为直线过点，所以，
所以直线方程为．
综上，直线的方程为或．
16. 已知圆经过三点，，.
（1）求圆的方程；
（2）若过点D1,4的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.
解：（1）设圆的方程为，
将，，代入得，解得，
故圆的方程为；
（2），
故圆的圆心为，半径为2，
当直线的斜率不存在时，，此时圆心到的距离，
，满足要求；
当直线的斜率存在时，设，
圆心到的距离，
由得，故，解得，
故直线的方程为，即，
故直线的方程为或.
17. 已知双曲线：（，）的一个焦点到一条渐近线的距离为1，离心率为.设直线交双曲线的右支于、两点，交轴于点，且线段的中点为，为原点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求直线的方程；
（3）求的面积.
解：（1）不妨设双曲线的一个焦点为，双曲线的一条渐近线为，即，
依题意，结合，化简得，
又离心率，所以所以双曲线C的方程为.
（2）设，由题意得，
又，，两式相减得，
所以，
又直线l过点,所以直线l的方程为,即，经验证此时直线与双曲线有两个交点，满足题意.
（3）联立，消去y得，
所以，
所以，
又点到直线l的距离，
所以的面积.

18. 已知抛物线：，过点（）的直线与抛物线交于，两点，为原点，直线交抛物线的准线于点.
（1）若，求实数的值；
（2）是否存在正数，使得，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
解：（1）由题意可知直线斜率不为，所以设，
联立，可得，
所以，，且恒成立，
因为，所以，所以，
所以，解得.
（2）连接，因为，
所以，
所以，所以，所以，
又因为，抛物线准线方程，
所以，且，
所以，
所以，所以，所以，
显然，所以，
综上所述，存在满足条件.

19. 已知椭圆：（）过三个顶点，，，当直线垂直于轴时，直线过椭圆的一个焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若的平分线垂直于轴，求证：直线的斜率为定值.
（1）解：由题意，，则有，解得，，
所以，椭圆的方程为.
（2）证明：设直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为，
设Ax1,y1，Bx2,y2，直线的方程为，即，
联立方程组，消去得，
因为，为直线与椭圆的交点，
所以，把换成得：，
所以，，
所以直线的斜率，
故直线的斜率为定值.