湖南省娄底市部分普通高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题 含解析

这是一份湖南省娄底市部分普通高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题 含解析，共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高一数学
命题人：梁克鸿 审题人：刘兵
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，故.
故选：A.
2. 已知，，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的乘法化简复数，结合复数的几何意义可得结论.
【详解】因为，，则复数，
故复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.
故选：A.
3. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ）
A. 8B. 7C. 5D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】设圆台上、下底面半径分别为，且，利用圆台的侧面积公式，即可求解.
【详解】设圆台上、下底面半径分别为，且，
由题知，又圆台的母线长为7，侧面积为，
则，解得，
故答案为：D.
4. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】将代入，求得函数值.
【详解】.
故选：C.
5. 在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值.
【详解】因为，由正弦定理可得，
因为、，故，所以，可得，故.
故选：B.
6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定与0和1的大小，即可；
【详解】因为，，，所以.
故选：C.
7. 有一组数据按从小到大排序如下：、、、、，则这组数据的分位数，分位数分别是（ ）
A. 、B. 、C. 、D. 、
【答案】C
【解析】
【分析】利用百分位数的定义可求得结果.
【详解】因为，，
所以，这组数据的分位数、分位数分别是、，
故选：C.
8. 在平行四边形中，是线段的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用表示，根据计算求解即可．
【详解】因为
，
是线段的中点，
所以.
故选：D.
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用作差法可判断AD选项，利用基本不等式可判断BC选项.
【详解】对于A选项，对任意的、，，即，
当且仅当时，等号成立，A对；
对于B选项，当，时，由A选项可知，
则，故，
当且仅当时，等号成立，
故，B对；
对于C选项，当时，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，C错；
对于D选项，因为，，则，
故，D对.
故选：ABD.
10. PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在，空气质量为二级：PM2.5日均值超过为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（ ）
A. 这10天的日均值的80%分位数为60
B. 前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差
C. 这10天的日均值的中位数为41
D. 前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差
【答案】BD
【解析】
【分析】根据百分位数、极差、中位数、方差等知识确定正确答案.
【详解】个数据为：，
，故80%分位数为，A选项错误.
5天的日均值的极差为，后5天的日均值的极差为，B选项正确.
中位数是，C选项错误.
根据折线图可知，前天数据波动性小于后天数据波动性，所以D选项正确.
故选：BD
11. 将一枚质地均匀骰子先后抛掷2次，记事件“第一次向上的点数为”，“第二次向上的点数为”，“两次向上的点数之和为7”，则（ ）
A. B.
C. 与是互斥事件D. 与相互独立
【答案】ACD
【解析】
【分析】由古典概型计算，，判断A,B;运用互斥事件概念判断C；利用独立事件的定义，结合古典概型判断D.
【详解】抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种：
，，，，，，
表示第一次向上出现点，第二次向上任一点, ，则A正确.
表示第二次向上出现3点且两次向上点数之和不是7，则第一次向上出现不是4,
则等价于说第一次出现，第二次向上是3点.
满足题意的有，共5种，则概率为.故B错误．
表示点数组合，表示出现，不能同时发生，故与是互斥事件，故C正确．
由A知道，,表示两次点数之和是7，则包含结果数为，共6种 ,则概率．
表示第一次出现点，且两次和为7．满足题意的有.则.
故.则与相互独立.故D正确．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则的值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为向量，，且，故，解得.
故答案为：.
13. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为_______.
【答案】
【解析】
【分析】求出基本事件的个数和事件“”包含的基本事件的个数，再由古典概率公式，即可求解.
【详解】连续抛掷骰子次，基本事件的个数为，
由知，当时，；当时，；
当时，；当时，；当时，；当时，；
则事件“”包含的基本事件的个数为，
所以事件“”概率为，
故答案为：.
14. 在四面体中，两两互相垂直，且是的中点，异面直线与所成的角的余弦值为，则四面体的体积为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，利用几何法求出BD长，再利用锥体的体积公式计算作答.
【详解】取的中点，连接，如图，

因为是的中点，则，于是是异面直线与所成的角或其补角，
令，而两两互相垂直，则，，
在等腰中，，，解得，
显然平面，所以四面体的体积为.
故答案：
【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）；
（2）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率．
【答案】（1），平均数；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据直方图中频率和为1求出值；利用频率分布直方图求平均数的求法求解.
（2）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解.
【小问1详解】
由频率分布直方图，得，则；
平均数为.
【小问2详解】
评分在的频率分别为，
则在中抽取人，记为；在中抽取4人，记为，
从这6人中随机抽取2人，样本空间：
，共有15个结果，
设选取的2人评分分别在和内各1人为事件，
则，共有8个结果，
所以.
16. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简得到，从而得到；
（2）方法一：由为锐角三角形，得到的范围，三角形面积公式表示出的面积，整理成关于的函数，根据的范围得到面积的范围；
方法二：根据直角三角形的临界条件，得到为锐角三角形时，面积的取值范围.
【小问1详解】
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
因为，所以，，
因为，所以；
【小问2详解】
方法一：因为是锐角三角形，又，
所以，解得，
，
因为，∴，则，
从而.
方法二：
若为锐角三角形，
所以，
因为，，所以，
所以，
又因为，
所以.
17. 如图，正方体的棱长为1，
（1）求证：平面；
（2）求：与平面所成的角大小；
（3）求钝二面角的大小.
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由得到平面
（2）连接，，证明与平面垂直，得到与平面所成的角为的余角，通过为等边三角形得出的大小，再得到所求角.
（3）连接，证明平面，求出与所成角，进而得到钝二面角的大小
【小问1详解】
正方体中，，
又平面，且平面
平面
【小问2详解】
连接，，
正方体中，平面，
且平面，，
又，且，，
又，且平面，平面
平面
与平面所成的角为的余角
又为等边三角形，
与平面所成的角为
【小问3详解】
连接，平面，
又，且，,
，且平面， 平面，
平面
又由（2）知平面，且与所成角为，
∴钝二面角大小为
18. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在上的最值；
（3）若，求的值.
【答案】（1），单调减区间为；
（2），；
（3）
【解析】
【分析】（1）化简函数为，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）由(1)得出函数的单调递增区间，结合，和的值，即可求解；
（3）根据题意，求得，结合，即可求解.
【小问1详解】
由函数
，
所以的最小正周期为，
令，可得，
所以的单调减区间为.
【小问2详解】
由(1)知，函数的单调递增区间为，
因为，所以在上单调递增，在上单调递减，
且，，，
所以，.
【小问3详解】
由函数，可得，
因为，
所以.
19. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点.
（1）求证：平面MAC；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据线线平行证明线面平行；
（2）根据二面角的定义找出二面角的平面角，解三角形得解；
（3）假设存在，利用面面垂直的判定定理证明即可.
【小问1详解】
设，交于点，连接，则为中点.
在中，，分别为，中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又，，，平面.
所以平面.
因为平面，所以，
则即为平面与底面所成二面角的平面角.
设，则，，故，
所以，
即二面角的余弦值为.
【小问3详解】
存在点，当时，平面平面.
证明如下：
如图，取中点，连接交于点，连接，
因为是正三角形，所以.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
因为，所以，所以平面.
因为平面，所以.
因为底面是正方形，所以.
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
所以棱上点存在点，当时，平面平面.