湖南省岳阳市2025届高三下学期考情信息卷（一）数学试题（解析版）

这是一份湖南省岳阳市2025届高三下学期考情信息卷（一）数学试题（解析版），共4页。试卷主要包含了 已知集合，，则．， 设向量，，则下列说法错误的是， 已知函数，其中， 三次函数叙述正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
，
所以．
故选：B．
2. 设，为复数，且，则下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D.
【答案】C
【解析】设，，
对于A，因为，
所以，
且，所以，故A正确；
对于B，因为，，，
则，，
所以，故B正确；
对于C，若，例如，，满足，
但，，即，故C错误；
对于D，因为，
所以，，
所以，故D正确.
故选：C.
3. 设向量，，则下列说法错误的是（ ）
A. 若，则与的夹角为钝角B. 若，则
C. 与共线的单位向量有且只有D. 若，则或
【答案】C
【解析】对于A，若与的夹角为钝角，则且与不共线，
又，，则，解得且，
所以当时，与的夹角为钝角，故A正确；
对于B，因为，所以，得，故B正确；
对于C，易得，与共线的单位向量为，
即与共线的单位向量为或，故C错误；
对于D，由，即，解得，故D正确．
故选：C.
4. 已知函数，其中.若函数的最小正周期为，且当时，取最大值，是
A. 在区间上是减函数B. 在区间上是增函数
C. 在区间上是减函数D. 在区间上是增函数
【答案】B
【解析】由于函数的最小正周期为，故，即，.所以.由，解得，故函数的递增区间是，令，则递增区间为，故B选项正确.所以本小题选B.
5. 数列中，，若是数列的前项积，则的最大值（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意得，，所以，
所以
，
因为，所以当或8时，取得最大值为，
故选：A.
6. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为
，
所以，，因为，则，A对B错；
若，则成立，但，C错；
若，则成立，则不成立，D错.
故选：A.
7. 已知函数，函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，设，则，
易知当时，，即是减函数，∴时，，
又时，且，而时，是增函数，．
有两个零点，即的图象与直线有两个交点，函数的图象如下所示：
所以．
故选:C．
8. 如图所示，在正方体中，过对角线的一个平面交于E，交于F，给出下面几个命题：
①四边形一定是平行四边形；
②四边形有可能是正方形；
③平面有可能垂直于平面；
④设与DC的延长线交于M，与DA的延长线交于N，则M､N､B三点共线；
⑤四棱锥的体积为定值.
以上命题中真命题的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】因为平面与平面平行，截面与它们交于，BF，可得，
同样可得，所以四边形是一个平行四边形，故①正确；
如果四边形是正方形，则，
因为，所以平面，
又平面，E与A重合，此时不是正方形，故②错误；
当两条棱上的交点是中点时，四边形为菱形，平面，
此时四边形垂直于平面，故③正确；
由与DC的延长线交于M，可得，且，
又因为平面，平面ABCD，
所以平面，平面ABCD，
又因为平面，平面ABCD，
所以平面平面，
同理平面平面，
所以BM，BN都是平面与平面ABCD交线，
所以B，M，N三点共线，故④正确；
由于，平面，
则E，F到平面的距离相等，且为正方体的棱长，三角形的面积为定值，
所以四棱锥的体积为定值，故⑤正确.
故选:C.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某校高二年级有男生600人，女生400人，张华按男生、女生进行分层，通过分层抽样的方法，得到一个总样本量为100的样本，计算得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm，方差分别为15和30，则下列说法正确的有（ ）
A. 若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则男生、女生分别应抽取60人和40人；
B. 若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的方差为37.8；
C. 若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的平均数为166，此时可用样本平均数估计总体的平均数；
D. 若张华采用等额抽取，即男生、女生分别抽取50人，则某男生甲被抽到的概率为.
【答案】AC
【解析】A选项，男生抽取，女生抽取人，A选项正确.
C选项，样本平均数为，可以用样本平均数估计总体的平均数，C选项正确.
B选项，样本方差为
，所以B选项错误.
D选项，男生甲被抽到的概率为，D选项错误.
故选：AC
10. 三次函数叙述正确的是（ ）
A. 当时，函数无极值点B. 函数的图象关于点中心对称
C. 过点的切线有两条D. 当时，函数有3个零点
【答案】ABD
【解析】对于A，，，，单调递增，无极值点，故A正确；
对于B，因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；
对于C：设切点，则切线方程为，
因为过点，所以，，解得，
即只有一个切点，即只有一条切线，故C错误；
对于D：，当时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又有极大值为，所以若函数有3个零点，
则有极小值为，得到，故D正确．
故选：ABD．
11. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，，，则（ ）
A. 的值为4
B.
C.
D. 的面积与的面积之比为4
【答案】ABD
【解析】如图：
设，，
联立可得，
所以，，
故．
对A：因为，，
所以，则，解得或．
因为，所以，故A正确；
对B：因为，．
又，所以，，则，故B成立；
对C：因为，故C错误；
对D：因为，故D正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知展开式中含项的系数为8，则实数___________.
【答案】3
【解析】因为的展开式的通项公式为，
则展开式中含项的系数为
解得
故答案为:
13. 已知双曲线，双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】由曲线，整理可得，
离心率.
故答案为：.
14. 已知，，且，则________.
【答案】
【解析】因为，，且，则，即，
于是，
所以.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角大小；
（2）如图，若为 外一点，且，，，，求的面积．
解：（1）由，得，
即，
由正弦定理，得，整理，得，
∴，又，∴，∴；
又，∴；
（2）连接BD，
因为，，，
所以，，
所以，所以．
又，所以，
在中，由正弦定理可得，即，
所以 ，
所以 ；
综上， .
16. 一个不透明的袋子中装有10个质地、大小均相同的小球，其中2个白球，8个黑球，每次从袋子中随机抽取一个小球，若抽到的是黑球，则放回袋子中，不做任何改变；若抽到的是白球，则用一个质地、大小均与袋中的黑球相同的黑球替换该白球放回袋子中（例：若第一次抽到的是白球，则第二次抽取时袋中就有1个白球，9个黑球）.
（1）若从袋子中随机抽取小球3次，记为抽到白球次数，求的分布列和数学期望；
（2）记第（且）次恰好抽到第二个白球的概率为，求.
解：（1）依题意，的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
，
所以的分布列为
数学期望.
（2）设第次抽到第一个白球，则第次抽到第二个白球的概率为：
.
所以.
17. 如图，在正方体中，，，，分别是所在棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：正方形中，分别是、中点，则，均为锐角，
所以，所以，所以，
平面，平面，所以，
又，平面，所以平面．
（2）解：也是中点，，且，作出完整的截面，设，，如图，连接，
由，平面，平面，所以平面，又
截面平面，截面，所以，
由（1）平面，所以在平面内的射影是，
所以与平面所成的角，即为与的夹角，也即为与的夹角，
设，易得，，
．
所以直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知函数，函数的图像在处的切线方程为：
（1）求的值；
（2）若，成立，求的取值范围.
解：（1）,由题意可得，解得.
（2）(方法1)由得，∵x>0∴lnx+(1k)xk+30)
当k≤1时，g´(x)≥0，y=g(x)在x(0,+∞)上单调递增，不符合题意，舍去
当k>1时，y=g(x)在x(0, )上单调递增，在x(,+∞)上单调递减，
∴g(x)≤g()=ln+2k0),h(x)=--0时恒成立
所以，h(x)单调递减，又h(1)=0，
所以，x∈(0,1)，h(x)>0,即g(x) >0, g(x)单调递增
x∈(1,+∞)，h(x)