湖南省岳阳市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）

2023年岳阳县一中高一数学期中考试试题

一.选择题（共12小题，60分）

1. 已知且，若集合，，且，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合B，再由给定条件，对a分类讨论，利用数形结合及构造函数的方法，利用导数探讨函数最小值求解作答.

【详解】依题意，，，且，

当时，作出函数与的大致图象，

则，即，

所以，即；

当时，设，

若，，则恒成立，，满足，

于是当时，，当且仅当，即不等式对成立，

，由得，当时，，当时，，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，

于是得，即，变形得，解得，

从而得当时，恒成立，，满足；

综上，实数a取值范围是或.

故选：B.

【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以利用导数探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.

2. 已知集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为（    ）

A. 11 B. 10 C. 9 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合满足的条件①②可知要使得集合中元素尽可能多，则相邻的两个自然数最少差为，故先考虑集合中元素是由公差为的等差数列构成，判断集合元素的个数的最多情况，再对部分元素进行调整即可得答案.

【详解】对于条件①，②，必有，

若集合中所有的元素是由公差为的等差数列构成，例如，集合中有个元素，

又则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合中元素个数最多不能超过10个，

故若要集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，最多有10个元素，

例如.

故选：B.

3. 用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（    ）

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可得或，进而讨论a的范围，确定出，最后得到答案.

【详解】因为，，所以或，

由，得，

关于x的方程，

当时，即时，易知，符合题意；

当时，即或时，易知0， -a不是方程的根，故，不符合题意；

当时，即时，方程 无实根，

若a=0，则B={0}，，符合题意，

若或，则，不符合题意.

所以，故.

故选：B.

【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当时，容易遗漏a=0时的情况，注意仔细分析题目.

4. 若1∈{x，x2}，则x=（　　）

A. 1 B.  C. 0或1 D. 0或1或

【答案】B

【解析】

【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果

【详解】根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x=1或x2=1，

进而分类讨论：

①、当x=1时，x2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去，

②、当x2=1，解可得x=-1或x=1（舍），

当x=-1时，x2=1，符合题意，

综合可得，x=-1，

故选B．

【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.

5. 已知集合.对于，，定义A与B之间的距离为

.若集合M满足：，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 8

【答案】A

【解析】

【分析】由题中条件可得：R3中含有8个元素，先阅读然后再理解定义得：可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，即或，得解.

【详解】由题中条件可得：R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，

已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，

所以

或,

故集合M中元素个数最大值为4，

故选：

6. 若X是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：

（1）；

（2）对于的任意子集，当且时，有；

（3）对于的任意子集.当且时，有，则称是集合的一个“——集合类”.

例如： {∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}是集合的一个“——集合类”.

已知，则所有含的“M——集合类”的个数为（    ）

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

【答案】D

【解析】

【分析】根据新定义以集合为元素组成集合，由条件可知M——集合类集合至少含有三个元素：，，，然后再研究其它几个元素的添加方式有多少个，可按照添加元素的个数分为共六类进行讨论.

【详解】依题意知，中至少含有这几个元素：，{b，c}，{a，b，c}，将它看成一个整体；

剩余的{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}；

①{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}5个中添加0个的集合为{，{b，c}，{a，b，c}}，1种，

②{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}5个中添加1个的集合为{，{a}，{b，c}，{a，b，c}}，

{、{b}，{b，c}，{a，b，c}}，{、{c}，{b，c}，{a，b，c}}，共3种，

③{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}5个中添加2个的集合共3种，

即{b}、{c}；{c}、{a，c}；{b}、{a，b}3种添加方式，

④{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}5个中添加3个的集合共4种，

即{a}、{b}、{a，b}；{a}、{c}、{a，c}；{b}、{c}、{a，b}；{b}、{c}、{a，c}，4种添加方式，

⑤{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}5个中添加4个的集合共0种，

⑥{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加5个的集合共1种，

综上含的“M——集合类”的个数为12种.

故选：D

7. 设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（    ）

A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①②③

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案

【详解】对于①：集合，则，

解得，即，是一一对于，所以与集合相同.

对于②：集合，则，也是一一对应，所以与集合相同.

对于③：集合，，一一对应，，所以与集合相同.

对于④：，但方程无解，则，与不相同．

故选：D

8. 设集合，，下列说法正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用因为与互为反函数，所以，互相关于对称，得到，进而得出集合的范围；对于集合，化简得，设，进而利用导数求出的最值，得出集合的范围，即可求解

【详解】对于集合，因为与互为反函数，所以，互相关于对称，而，所以，只需要即可，因为，所以，

，得，设，得，所以，

，，单调递增；，，单调递减，所以，

，得到，所以，；

对于集合，化简得，设，，因为，

可设，，

单调递减，又，所以，当时，，，，单调递减，利用洛必达法则，

时，，

所以，，所以，；

由于，，所以，D正确

故选：D

9. 已知集合，，则满足的集合的个数为（    ）

A. 4 B. 8 C. 7 D. 16

【答案】B

【解析】

【分析】根据题设列举法表示出集合，再由集合的包含关系，判断元素与集合的关系得只需讨论元素是否为集合的元素研究集合即可.

【详解】由题设，，又，

所以，只需讨论元素是否为集合的元素研究集合的个数，即可得结果，

所以集合的个数为.

故选：B

10. 集合，则实数的取值范围是

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】，所以当恒成立, 即恒成立，即.

【详解】已知，则.

因为，所以当恒成立，即恒成立，即.这 一 函 数 是 单 调 递 增 的，所以.

故选B.

【点睛】本题以集合为背景，综合考查了函数的性质及参数范围的求解，综合性较强，解决该题的关键是解出集合M，将转化为在时成立，分离参数法即可求得a，其主要应用的数学思想是转化的思想.

11. 设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则 ，②对任意，若，则，下列说法正确的是（    ）

A. 若有2个元素，则有3个元素

B. 若有2个元素，则有4个元素

C. 存在3个元素的集合，满足有5个元素

D. 存在3个元素的集合，满足有4个元素

【答案】A

【解析】

【分析】

不妨设，由②知集合中的两个元素必为相反数，设，由①得，由于集合中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素，分集合有个元素和多于个元素分类讨论，即可求解.

【详解】若有2个元素，不妨设，

以为中至少有两个元素，不妨设，

由②知，因此集合中的两个元素必为相反数，故可设，

由①得，由于集合中至少两个元素，故至少还有另外一个元素，

当集合有个元素时，由②得：，则或.

当集合有多于个元素时，不妨设，

其中，

由于，所以，

若，则，但此时，

即集合中至少有这三个元素，

若，则集合中至少有这三个元素，

这都与集合中只有2个运算矛盾，

综上，，故A正确；

当集合有个元素，不妨设，

其中，则，所以，

集合中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合中至少个元素，与矛盾，排除C，D.

故选：A.

【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.

12. 如果集合，则（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先将两集合元素表示形式统一，再比较确定包含关系.

【详解】由，

令，则，所以，

由于，故

故选：A.

二.填空题（共3小题，20分）

13. 设集合，满足下列性质的集合称为“翔集合”：集合至少含有两个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于2.则A的子集中有___________个“翔集合”.

【答案】49

【解析】

【分析】设出集合中满足题设性质的子集个数为，写出，在时，要分情况把的递推公式写出来，进而得到，即答案.

【详解】设集合中满足题设性质的子集个数为，则.当时，可将满足题设性质的子集分为如下两类：一类是含有n的子集，去掉n后剩下小于的单元子集或者是满足题设性质的子集，前者有个，后者有个；另一类是不含有n的子集，此时恰好是满足题设性质的子集，有个.于是，.又，所以.

故答案为：49

【点睛】本题的难点是用数列的思想来考虑，设集合中满足题设性质的子集个数为，写出的递推公式，再代入求值即可.

14. 已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是____________

【答案】1或

【解析】

【分析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值.

【详解】，则只需考虑下列三种情况：

①当时，

又   

    且

可得：

②当即时，与①构造方程相同，即，不合题意，舍去

③当即时

可得：且

综上所述：或

【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.

15. 设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是________．

【答案】k≠±1

【解析】

【详解】∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的互异性可知k2≠1，解得k≠±1.

点睛: 利用元素的性质求参数的方法(1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．(2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．

三.解答题（共6小题，70分）

16. 集合A中的元素个数记为，若且，则称M为集合A的二元子集．已知集合．若对集合A的任意m个不同的二元子集，均存在集合B同时满足：①；②；③，则称集合A具有性质．

（1）当时，若集合A具有性质，请直接写出集合A的所有二元子集以及m的一个取值；

（2）当时，判断集合A是否具有性质？并说明理由；

（3）若集合A具有性质，求n的最小值．

【答案】（1）答案见解析   

（2）不具有，理由见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据集合A具有性质的定义即可得出答案；

（2）当时，利用反证法即可得出结论；

（3）首先利用反证法证明，然后证明，当时，，再结合抽屉原理分析即可得出结论.

【小问1详解】

当时，，

则集合A的所有二元子集为，

满足题意得集合可以是：，此时，

或者也可以是，此时；

【小问2详解】

集合A不具有性质，理由如下：

假设存在集合，即对任意的，，，

则取，

此时由于，由抽屉原理可知，必有，

与题设矛盾，假设不成立，所以集合A不具有性质；

【小问3详解】

首先证明，

反证法：假设，由集合具有性质，

则存在集合，对于任意，，，

则任取，

，

此时由于，由抽屉原理可知，必有，

与题设矛盾，假设不成立，因此，

然后证明：，

当时，，

由抽屉原理可知，存在，

不妨设为，取，

设，此时，

且，

故符合题意，

综上所述，.

【点睛】关键点点睛：此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键.

17. 已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.

（1）判断集合是否为封闭集，并说明理由；

（2）判断以下两个命题的真假，并说明理由；

命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；

命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集；

（3）若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集.

【答案】（1）集合都是封闭集，理由见解析；   

（2）命题为假命题，命题q为真命题，理由见解析；   

（3）见解析.

【解析】

【分析】(1)根据封闭集的定义判断即可；

(2) 对命题举反例说明即可；

对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确；

(3)根据题意，令，只需证明不是封闭集即可，取中的即可证明.

【小问1详解】

解：对于集合 因为，

所以是封闭集；

对于集合，因为，，，

所以集合是封闭集；

【小问2详解】

解：对命题：令，

则集合是封闭集，如，但不是封闭集，故错误；

对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，

所以，

同理可得，

所以，

所以是封闭集，故正确；

【小问3详解】

证明：因为非空集合是封闭集合，且

所以，

假设是封闭集，

由(2)的命题可知：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集，

又因为，

所以不是封闭集.

得证.

18. 已知n为不小于3的正整数，记对于中的两个元素，，定义为，，…，中的最小值.

（Ⅰ）当时，，，，求的值；

（Ⅱ）若，为中的两个元素，且，求实数b的所有可能取值构成的集合.

（Ⅲ）若，且对于任意的，均有，求L的最小值.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）.

【解析】

【分析】（Ⅰ）利用定义计算即得;

（Ⅱ）根据定义和条件得到不等式组，求解即得;

（Ⅲ）先找一特例，使得,然后证明不可能更大即可.

【详解】（Ⅰ），，，

,

=；

（Ⅱ）若，，，

,或.,解得或,

即实数b的所有可能取值构成的集合;

（Ⅲ）若，且对于任意的，均有，

当时，，

所以.

若存在,使得,

则

矛盾.

所以L的最小值.

【点睛】本题考查集合的新定义问题，关键是构造与证明相结合的思想方法.

19. 对非空数集定义与的和集．对任意有限集A，记为集合A中元素的个数．

（1）若集合，，写出集合与；

（2）若集合满足，且，求．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用定义求解即可；

（2）由题意先说明，再结合，即可求解

【小问1详解】

因为，，

所以，

；

【小问2详解】

因为，

所以，

所以集合中至少包含个元素，

所以，

又由题意，

所以，

又为整数，

所以；

【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

20. 设集合，集合，若，求集合.

【答案】

【解析】

【分析】根据，先求得，再求得.

【详解】由于，所以，

所以，则，则，

所以.

21. 对正整数，记，.

（1）用列举法表示集合；

（2）求集合中元素的个数；

（3）若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”.证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14.

【答案】(1)；(2)46；(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据给定集合的意义计算列举写出即可；

(2)由每一个k值可得中的7个元素，再去掉计算过程中出现的重复元素即可得解；

(3)根据给定定义，证明时不能分成两个不相交的稀疏集的并，再证明能分成两个不相交的稀疏集的并即可得解.

【详解】(1)依题意，，则；

(2)显然每一个k值，m值可取1，2，3，4，5，6，7七个不同数，即可得7个的值，

当时，中m=1，m=2，m=3所对应的3个元素为1，2，3，另四个元素为4，5，6，7，

当时，中m=2，m=4，m=6所对应的3个元素1，2，3为重复元素，另四个元素为分数，

当时，均为无理数，没有相同数，

因此，由计算可得个数，其中计算得到的数1，2，3各重复1次，则中元素的个数为，

所以集合中元素的个数是46；

(3)假设当时，能分成两个不相交的稀疏集的并，设，为不相交的稀疏集，使，

不妨设，显然，则，即，同理，，又推得，但，与为稀疏集矛盾，

于是得当时，不能分成两个不相交的稀疏集的并，即，

若，则当时，可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取，，则，为稀疏集，且.

当时，集中除正整数外剩下数组成集，可分成下面个两稀疏集的并：，，

当时，集中除正整数外剩下的数组成集，可分成下面两个稀疏集的并：，.

最后，集合且中的数均为无理数，它与中的任何其他数之和都不是整数，

则把且中的元素任意分成两个不相交的集合的并均可，不妨令这两个稀疏集为与，

因此，令，，则和是不相交的稀疏集，且，

综上，所求的最大值为14.

【点睛】思路点睛：涉及求符合某个条件的集合元素个数问题，充分利用集合元素的性质，特别是互异性，可以通过列举法列出特例元素，以排除重复元素.