湖南省岳阳市2025届高三下学期考情信息卷（一）数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）．
2. 设，为复数，且，则下列结论不正确的是（ ）
3. 设向量，，则下列说法错误的是（ ）
4. 已知函数，其中.若函数的最小正周期为，且当时，取最大值，是
5. 数列中，，若是数列的前项积，则的最大值（ ）
6. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
7. 已知函数，函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
8. 如图所示，在正方体中，过对角线的一个平面交于E，交于F，给出下面几个命题：
①四边形一定是平行四边形；
②四边形有可能是正方形；
③平面有可能垂直于平面；
④设与DC的延长线交于M，与DA的延长线交于N，则M､N､B三点共线；
⑤四棱锥的体积为定值.
以上命题中真命题的个数为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 某校高二年级有男生600人，女生400人，张华按男生、女生进行分层，通过分层抽样的方法，得到一个总样本量为100的样本，计算得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm，方差分别为15和30，则下列说法正确的有（ ）
10. 三次函数叙述正确的是（ ）
11. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，，，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知的展开式中含项的系数为8，则实数___________.
13. 已知双曲线，双曲线的离心率为__________.
14. 已知，，且，则________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)如图，若为 外一点，且，，，，求的面积．
16. 一个不透明的袋子中装有10个质地、大小均相同的小球，其中2个白球，8个黑球，每次从袋子中随机抽取一个小球，若抽到的是黑球，则放回袋子中，不做任何改变；若抽到的是白球，则用一个质地、大小均与袋中的黑球相同的黑球替换该白球放回袋子中（例：若第一次抽到的是白球，则第二次抽取时袋中就有1个白球，9个黑球）.
(1)若从袋子中随机抽取小球3次，记为抽到白球的次数，求的分布列和数学期望；
(2)记第（且）次恰好抽到第二个白球的概率为，求.
17. 如图，在正方体中，，，，分别是所在棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18. 已知函数，函数的图像在处的切线方程为：
（1）求的值；
（2）若，成立，求的取值范围.
19. 已知椭圆（）的离心率为，且经过点.定义第n（）次操作为：经过C上点作斜率为k的直线与C交于另一点，记关于x轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去.
(1)求C的方程；
(2)若为C的左顶点，经过3次操作后停止，求k的值；
(3)若，是C在第一象限与A不重合的一点，证明：的面积为定值.
湖南省岳阳市2025届高三下学期考情信息卷（一）数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、不等式选讲、复数、平面向量、三角函数与解三角形、数列、函数与导数、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、平面解析几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．若，则
D．
A．若，则与的夹角为钝角
B．若，则
C．与共线的单位向量有且只有
D．若，则或
A．在区间上是减函数
B．在区间上是增函数
C．在区间上是减函数
D．在区间上是增函数
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．2
B．3
C．4
D．5
A．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则男生、女生分别应抽取60人和40人；
B．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的方差为37.8；
C．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的平均数为166，此时可用样本平均数估计总体的平均数；
D．若张华采用等额抽取，即男生、女生分别抽取50人，则某男生甲被抽到的概率为.
A．当时，函数无极值点
B．函数的图象关于点中心对称
C．过点的切线有两条
D．当时，函数有3个零点
A．的值为4
B．
C．
D．的面积与的面积之比为4
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
3
适中
13
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
并集的概念及运算；分式不等式；公式法解绝对值不等式
2
0.65
求复数的模；复数代数形式的乘法运算；共轭复数的概念及计算
3
0.65
由向量共线（平行）求参数；数量积的运算律；坐标计算向量的模；向量垂直的坐标表示
4
0.65
求sinx的函数的单调性；由正弦（型）函数的值域（最值）求参数；由正弦（型）函数的周期性求值
5
0.65
由递推关系式求通项公式；二次函数法求等差数列前n项和的最值；求等差数列前n项和
6
0.65
作差法比较代数式的大小
7
0.65
根据函数零点的个数求参数范围；函数与方程的综合应用；利用导数求函数的单调区间（不含参）
8
0.4
空间中的点共线问题；面面平行证明线线平行；锥体体积的有关计算；证明面面垂直
二、多选题
9
0.65
抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算；计算几个数的平均数；估计总体的方差、标准差；计算古典概型问题的概率
10
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数求函数的单调区间（不含参）；利用导数研究函数的零点；含参分类讨论求函数的单调区间
11
0.65
抛物线定义的理解；抛物线中的三角形或四边形面积问题；求直线与抛物线的交点坐标；直线与抛物线交点相关问题
三、填空题
12
0.85
由项的系数确定参数
13
0.85
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
14
0.65
用和、差角的正切公式化简、求值；二倍角的正切公式；垂直关系的向量表示
四、解答题
15
0.65
三角形面积公式及其应用；用和、差角的正弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式；正弦定理边角互化的应用
16
0.65
独立重复试验的概率问题；求离散型随机变量的均值；互斥事件的概率加法公式；写出简单离散型随机变量分布列
17
0.65
证明线面垂直；求线面角
18
0.15
已知切线（斜率）求参数；利用导数研究不等式恒成立问题
19
0.4
根据离心率求椭圆的标准方程；椭圆中的定值问题；根据椭圆过的点求标准方程；求直线与椭圆的交点坐标
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
等式与不等式
1,6
3
不等式选讲
1
4
复数
2
5
平面向量
3,14
6
三角函数与解三角形
4,14,15
7
数列
5
8
函数与导数
7,10,18
9
空间向量与立体几何
8,17
10
计数原理与概率统计
9,12,16
11
平面解析几何
11,13,19