2025届江苏省常州市高三下学期适应性考试数学模拟试题（二模）含解析

这是一份2025届江苏省常州市高三下学期适应性考试数学模拟试题（二模）含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h（t）＝10﹣4.9t2+8t（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.5秒时的瞬时速度为（ ）
A．9.1米/秒B．6.75米/秒C．3.1米/秒D．2.75米/秒
3．平行直线与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．若命题“,”是假命题，则不能等于（ ）
A．B．C．D．
5．有3个男生和2个女生站成一排合影，则女生甲不在两端且2个女生不相邻的不同排法总数为（ ）
A．18B．36C．72D．144
6．如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ）
A．B．1C．3D．2
7．如图，三棱锥P-ABC的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB 上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若，则（ ）
A．B．C．D．
10．在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C．常数项为
D．展开式中系数最大项为第3项和第4项
11．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数使得B．方程有唯一正实数解
C．方程有唯一负实数解D．有负实数解
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知点，则过点且与原点的距离为2的直线l的方程为 .
13．阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有 种（用数字作答）.
14．在三棱锥中，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，则三棱锥外接球的表面积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
16．如图，在三棱锥中，平面ABQ，，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
（1）求证：；
（2）求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；
（3）求点A到平面PCD的距离．
17．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）
18．已知双曲线经过点，一条渐近线方程为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设为原点，若点为双曲线上的动点，点在直线上，且．
（ⅰ）求面积的最小值；
（ⅱ）判断是否存在定圆与直线相切，若存在，求出定圆方程；若不存在，说明理由．
19．已知函数，.（注：是自然对数的底数）
(1)若无极值点，求实数的取值范围；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
答案
1．【正确答案】C
【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ，
可知A图象定义域不满足条件；
B图象不满足函数的值域；
C图象满足题目要求；
D图象，不是函数的图象；
故选C．
2．【正确答案】C
【详解】函数关系式是
，
在秒的瞬时速度为
故选．
3．【正确答案】D
【详解】因为直线与平行，
所以，即，
则，也就是，
所以两直线间的距离为.
故选D.
4．【正确答案】C
【详解】根据题意，知原命题的否定“,”为真命题.
令,,解得.
故选C.
5．【正确答案】B
【详解】设5个位置依次为1,2,3,4,5，特殊元素优先考虑，女生甲不在两端，则只能在中间3个位置，两女生不相邻，则
①甲在位置2，另一个女生只能4或5，2种选择；
②甲在位置3，另一个女生只能1或5，2种选择；
③甲在位置4，另一个女生只能1或2，2种选择，
根据分类加法计数原理，两个女生的排法共有种，
剩余3个男生为全排列种排法，
根据分步乘法计数原理，不同排法总数为.
故选B.
6．【正确答案】B
【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分，可得．
设圆柱底面半径为r，
则，所以，
设椭圆长轴长为，短轴长为，
因为离心率为，得，
则，
即，所以，
得，
又由勾股定理得，解得，故．
故选B.
7．【正确答案】B
【详解】连接，
∵
∴，
∵，
∴,
∴多面体体积为.
故选B.
8．【正确答案】A
【详解】因为偶函数，则①，
对两边求导得，②，
在③中，用代替得④，
由①②④可得，⑤，
联立③⑤得，，
则化简为，，
令，则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为，故，
则实数的取值范围是.
故选A.
9．【正确答案】ACD
【详解】由得，
当时，由得，即，可得，
当时，由得，即，所以，故 A D正确；.
由得，且与同号，即，
所以与异号，即与同号，由得，故B错误；故C正确；
故选ACD.
10．【正确答案】ABD
【详解】展开式的通项为，
则前3项的系数分别为，
对于A，由题意可得，
即，解得或（舍去），
所以，故A正确；
对于B，展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故B正确；
对于C，展开式的通项为，
令，则，
所以展开式中常数项为，故C错误；
对于D，设展开式中第项的系数最大项，
则有，解得或，
所以展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确.
故选ABD.
11．【正确答案】ABC
【详解】因为，.
由，
设，因为函数定义域为，且，，
可知方程一定有实数根，故A正确；
由或.
所以函数在，上单调递增，在上单调递减.
且为极大值，为极小值.
做出函数草图如下：

观察图象可知,方程有唯一正实数解，有唯一负实数解，
故BC正确；
又，结合函数的单调性，当 时，，所以无负实数解.故D错误.
故选ABC.
12．【正确答案】或
【详解】①当的斜率不存在时显然成立，此时的方程为．
②当的斜率存在时，
设，即，
由点到直线的距离公式得，，解得，
．
故所求的方程为或．
13．【正确答案】288
【详解】第一步：先将3名母亲作全排列，共有种排法；
第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有种排法；
第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法；
第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，
然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有种排法.
所以不同的排法种数有：（种）.
14．【正确答案】
【详解】设点在平面内的投影为，由直线与平面所成角分别为，且，

则，，，于是，
以为轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

令，由，，得，，，
则，化简得，
因此点在以为圆心，为半径的圆上，
当最小时，最小，即三棱锥的体积最小，
此时，，，，
因此点在底面上的射影在上，且，又，
显然的中点到点的距离相等，此时三棱锥的外接球的球心为的中点，
外接球的半径，表面积为.
15．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，显然成立；
当时，，，相减可得，
化简可得，由累乘法可得，
显然满足上式，故数列的通项.
（2）由，
则，
，
两式相减可得
，
所以.
16．【正确答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【分析】（1）由中位线定理得EFDC，然后由线面平行判定定理和性质定理得出线线平行，从而证得结论成立；
（2）以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．用空间向量法求二面角的余弦值．
（3）根据向量法求点到平面的距离.
【详解】（1）因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，
所以EFAB，DCAB，所以EFDC．
又因为EF平面PCD，DC⊂平面PCD，
所以EF平面PCD．
又因为EF⊂平面EFQ，平面EFQ平面PCD＝GH，
所以EFGH，又因为EFAB，所以ABGH.
（2）因为，PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直．
以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由，则，
所以，.
设平面PAB的一个法向量为，则可取
设平面PDC的一个法向量为＝(x，y，z)，
由，，
得，取z＝1，得＝(0，2，1)．
所以cs〈〉＝，
所以平面PAB与平面PCD所成角的余弦值为．
（3）由点到平面的距离公式可得，
即点A到平面PCD的距离为.
17．【正确答案】(1)
(2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值
【详解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
由题设中的统计数据可得.
（2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，
由题设中的统计数据可得，
，，
，
故
故（万元）.
（ⅱ）由题设保费的变化为，
故（万元），
从而.
18．【正确答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）存在定圆
【详解】（1）双曲线经过点，
且一条渐近线方程为，
所以，解得，
所以的标准方程为；
（2）设，，
（ⅰ）由点双曲线上的动点，则，
由于，则，显然，可得，
且，
所以
，
则当且仅当时，等号成立，；
（ⅱ）由对称性可知，若存在定圆，则定圆圆心在轴上，
当点趋于顶点时，点趋于无穷远处，此时切线的极限位置为，
由此猜想定圆为，
下面进行证明：
显然，直线，
即，
点到直线的距离为
，
所以存在定圆与直线相切.

19．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）（方法一）易知，由无极值点可知，
无变号零点，令（*），
显然时，（*）无零点，此时无极值点，满足题意；
故当（*）可变形得，
令，原问题等价于的图像与无相交交点，
又，则，，单调递增；
，，单调递减；
又趋于，趋于；趋于，趋于；.
可得的图象如图：
由图可知，解得，
综上，
（方法二）构建，则，
①当时，当时恒成立，在上单调递增，
因为，，
所以有一个零点，即为的一个极值点；
②当时，当时恒成立，即无极值点；
③当时，当，；当，，
所以在单调递减，在上单调递增，
故，
若，则即.
当时，，
当时，，
设，，故，
故在上为单调递增函数，
故，
故，
故当时，有两个零点，此时有两个极值点.
当时，当时恒成立，即无极值点；
综上所述：；
（2）（方法一）由可知，，
即，
令，即证，
易知，
则，
若，即时，
则，，单调递增，，不符合题意；
若，即时，
则，，单调递减，
，，单调递增，
，，单调递减，
又，故令，
解得，即，
若，即时，
则，，单调递减，
，，单调递增，
，，单调递减，
故令
，
记，则恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即，
即对于任意，恒成立，
综上所述，；
（方法二）①当时，不等式恒成立，可得；
②当时，可得恒成立，设，
则
.
可设，可得，
设，，
由，可得恒成立，可得在上单调递增，
在上单调递增，所以，
即恒成立，即在上单调递增，所以，
再令，可得，
当时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减，
所以，
所以，综上可得的取值范围是.赔偿次数
0
1
2
3
4
单数