2024-2025学年广东省广州二中教育集团高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州二中教育集团高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.b≠0是复数a+bi(a,b∈R)为虚数的( )
A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件
C. 充要条件D. 既非充分条件也非必要条件
2.下列命题中正确的是( )
A. 底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱
B. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C. 沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥
D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
3.已知向量a=(−1,1)，b=(4,6)，则b在a上的投影向量的坐标为( )
A. − 2, 2B. (1,−1)C. 2,− 2D. (−1,1)
4.已知三个不共线的向量OA，OB，OC满足OA⋅(ABAB+CACA)=OB⋅(BABA+CBCB)=OC⋅(CACA+BCBC)=0，则O为▵ABC的( )
A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心
5.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA//平面EBF时，CFCP=( )
A. 23B. 32C. 2D. 12
6.在▵ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2−6x+6=0的两个根，C=60°，则c=( )
A. 12B. 2 3C. 18D. 3 2
7.某圆锥的高是底面半径的 3倍，此圆锥的内切球(球与圆锥的底面和侧面均相切)半径为1，则该圆锥外接球的表面积为( )
A. 32πB. 16πC. 323πD. 163π
8.若不共线的两个向量a，b满足|a−b|=|b|，则下列结论一定正确的是( )
A. |2a| > |2a−b|B. |2a| < |2a−b|
C. |2b| > |a−2b|D. |2b| < |a−2b|
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=13+4i是方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则下列说法正确的是( )
A. p=−625
B. 复数z的模为5
C. 复数z的虚部为−425i
D. 方程x2+px+q=0的另一个根为325+425i
10.如图，在等边▵ABC中，AB=3，点O在边BC上，且OC=2BO.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，AB=mAM，AC=nAN.则以下选项正确的是( )
A. AO=23AB+13ACB. cs〈OA,OC〉= 714
C. m+n=3D. 1m+2n的最小值是83
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，点M，P，N分别是线段C1D1，CC1，AD的中点．则以下选项正确的是( )
A. 直线MP//平面A1BC1
B. 平面MPN//平面A1BC1
C. 直线A1M、BP、B1C1三线共点
D. 过M，N，P三点作正方体的截面，截面的周长为 2+2 10．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，已知OA=a，OB=b，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量MN= (用a，b表示向量MN)
13.在▵ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若∠A=45°，a= 2，b= 3，则∠B= ．
14.设z1是虚数，z2=z1+1z1是实数．则z1−1的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
e1，e2是夹角为60°的单位向量，设OP=3e1+4e2．
(1)计算OP的大小；
(2)设向量a=me1−e2，若a与OP共线，求实数m的值；
(3)是否存在实数n，使得OP与向量b=e1+ne2垂直，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．
16.(本小题15分)
已知B地在A地的东北方向，且A，B两地之间的距离是(4 3−4)km，C地在A地的北偏西75°方向，A，C两地之间的距离是8km，现要在B地的北偏东30°方向建一个高铁站D，高铁站D到C地的距离恰好是到B地的距离的 3倍．
(1)求B、C两地之间的距离；
(2)求高铁站D到C地的距离．
17.(本小题15分)
如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为棱AC的中点．
(1)证明：AB1//平面DBC1；
(2)令三棱锥A−BC1D的体积为V1.多面体ABDA1B1C1的体积为V2，求V1V2．
18.(本小题17分)
已知锐角▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sinAsinBsinC= 3(sin2B+sin2C−sin2A)．
(1)求A；
(2)若a=2，当▵ABC的周长取最大值时，求▵ABC的面积；
(3)求a2−c2b2的取值范围．
19.(本小题17分)
法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．柯西不等式的一般形式为：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn∈R，则(a12+a22+⋯+an2)(b12+b22+⋯+bn2)≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2，当且仅当bi=0(i=1,2,⋯,n)或存在一个数k，使得ai=kbi(i=1,2,⋯,n)时，等号成立．
(1)请你写出柯西不等式的二元形式并用向量法或者其他方法证明；
(2)f(x)= x+ 1−2x，求f(x)的最大值；
(3)设P是棱长为 2的正四面体ABCD内的任意一点，点P到四个面的距离分别为d1，d2，d3，d4，求d12+d22+d32+d42的最小值．
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.A
5.A
6.D
7.B
8.C
9.AD
10.ABD
11.ACD
12.2b−2a
13.60°或120°
14.(0,2)
15.解：(1)由e1，e2是夹角为60°的单位向量，得e1⋅e2=12，而OP=3e1+4e2，
因此|OP|= 9e12+16e22+24e1⋅e2= 9+16+12= 37．
(2)向量a=me1−e2与OP=3e1+4e2共线，则m3=−14，所以m=−34．
(3)假定存在实数n，使得OP与向量b=e1+ne2垂直，则b⋅OP=0，
即(e1+ne2)⋅(3e1+4e2)=3e12+4ne22+(3n+4)e1⋅e2=3+4n+3n2+2=0，解得n=−1011，
所以存在实数n，使得OP与向量b=e1+ne2垂直，n=−1011．

16.解：(1)依题意，在▵ABC中，AB=4 3−4，AC=8，∠BAC=120°，
由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcs∠BAC，
则BC2=[4( 3−1)]2+82−2×8×4( 3−1)×(−12)=96，解得BC=4 6，
即村庄B，C之间的距离为4 6干米；
(2)在▵ABC中，由正弦定理得BCsin∠BAC=ACsin∠ABC，
则sin∠ABC=ACsin∠BACBC=8× 34 6= 22，从而∠ABC=45°，
则C地在B地的正西方向，由高铁站D在B地的北偏东30°的方向，得∠CBD=120°，
在▵BCD中，由余弦定理得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BDcs∠CBD，
而CD= 3BD，则3BD2=(4 6)2+BD2+4 6BD，解得BD=4 6，
所以高铁站D到C地的距离CD=12 2千米．

17.解：(1)在正三棱柱ABC−A1B1C1中，连接CB1∩C1B=E，连接DE，
则E为CB1中点，而D为棱AC的中点，于是DE//AB1，又AB1⊄平面DBC1，DE⊂平面DBC1，
所以AB1//平面DBC1．
(2)CC1⊥平面ABC，由D为棱AC的中点，得S▵ABD=12S▵ABC，VC1−BCD=VC1−ABD=V1，
于是V1=13S▵ABD⋅CC1=16S▵ABC⋅CC1=16VABC−A1B1C1=16(V1+V2)，
所以V1V2=15．

18.解：(1)在锐角▵ABC中，由2sinAsinBsinC= 3(sin2B+sin2C−sin2A)及正弦定理，
得2bcsinA= 3(b2+c2−a2)，由余弦定理得2bcsinA= 3⋅2bccsA，
于是tanA= 3，而0