2024-2025学年广东省部分高中高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省部分高中高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z=2i(1+i)(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.在x−3x8的展开式中，含x2项的系数为( )
A. 1512B. 504C. −504D. −1512
3.“a>b”是“3a−2>3b−2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的60％,40％，甲、乙两台车床的正品率分别为95％,96％.现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为( )
A. 0.955B. 0.954C. 0.94D. 0.945
5.已知向量a,b满足|a|=2,cs〈a,b〉=13，且|a+2b|=4 3，则|b|=( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
6.将函数f(x)=sin2x+π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于原点对称，则φ的最小值为( )
A. 5π12B. π12C. π6D. π3
7.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(−1)=2，且f(x)+xf′(x)>0，则不等式(2x2−3x)f(2x2−3x)< −2的解集为( )
A. (0,12)B. (12,1)
C. (−∞,0)∪(12,+∞)D. (−∞,−1)∪(12,+∞)
8.高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数共有( )
A. 1152种B. 384种C. 288种D. 144种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数．事件M：取出的数是偶数；事件N：取出的数是奇数；事件Q：取出的数小于7.则( )
A. 事件M，N是互斥事件B. 事件N，Q是对立事件
C. P(N∣Q)=12D. P(M)+P(N)0)的离心率为 32，点P(2,1)在椭圆C上，斜率为−12的直线l与椭圆C相交于M,N两点(异于点P).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若▵OMN的面积为 3，求直线l的方程；
(3)记直线PM与PN的斜率分别为k1,k2，直线OM,ON的斜率分别为k3,k4，证明：k1k2=k3k4．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2lnx−x+ax(a>0)．
(1)当a=4时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求证：1+12+13+⋯+1n>ln(n+1)+n2(n+1)n∈N∗．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.B
5.D
6.A
7.B
8.A
9.AC
10.ABD
11.ABC
12.13
13. 32/12 3
14.16
；219
15.【详解】记该同学会做的题目数为X，由题意，X的可能取值为0,1,2,3,4，
P(X=0)=C44C104=1210,P(X=1)=C61C43C104=435，
P(X=2)=C62C42C104=37,P(X=3)=C63C41C104=821,P(X=4)=C64C104=114，
所以该同学会做的题目数X的分布列为：

16.【详解】(1)设正项等比数列的公比为q(q>0)，
因为a5+a4=8a2+a1，所以a2+a1q3=8a2+a1，所以q3=8,q=2．
又S6=a11−q61−q=a11−261−2=63，
解得a1=1．
所以an=a1qn−1=2n−1．
(2)由题知bn=2n⋅an=n⋅2n，
所以Tn=1×21+2×22+3×23+⋯+n×2n，
2Tn=1×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1，
两式相减得−Tn=2+22+23+⋯+2n−n×2n+1=21−2n1−2−n×2n+1．
所以Tn=(n−1)2n+1+2．

17.解：(1)取AB中点N，连接PN，MN，则MN/​/BC，而AB⊥BC，
故MN⊥BA．
因为PA= PB，
所以PN⊥AB，
又MN∩PN=N，MN，PN⊂平面PMN，
所以AB⊥平面PMN，
因为PM⊂平面PMN，
所以AB⊥PM．
(2)因为平面PAB⊥平面ABC，PAB∩平面ABC=AB，PN⊥AB，PN⊂平面PAB，
所以PN⊥平面ABC，
因为MN⊂平面PMN，
所以PN⊥MN，故PN，AB，MN两两垂直，
以N为原点，AB，MN，PN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则N(0,0,0)，A(−1,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0,2 2)，M(0,1,0)，C(1,2,0)，
BM=(−1,1,0)，BC=(0,2,0)，PB=(1,0,−2 2)，PC=(1,2,−2 2).
设平面PBM的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅BM=0m⋅PB=0，即−x+y=0x−2 2z=0,
取z=1，则m=(2 2,2 2,1)．
设平面PBC的法向量为n=(a,b,c)，
则n⋅BC=0n⋅PB=0，即2b=0a−2 2c=0,
取c=1，则n=(2 2,0,1)，
所以|cs|=|m⋅n||m||n|=93× 17=3 1717，
即平面PBM与平面PBC夹角的余弦值为3 1717．

18.【详解】(1)由题知ca= 32,a2=b2+c2,4a2+1b2=1，解得a=2 2,b= 2，
故椭圆C的方程为x28+y22=1．
(2)设直线l的方程为y=−12x+m(m≠2)，点M,N的坐标分别为x1,y1,x2,y2，
联立方程x28+y22=1y=−12x+m，得x2−2mx+2m2−4=0，
由Δ=4m2−42m2−4=16−4m2>0，得−20，即00，
所以当x>x1或0