2024-2025学年广东省广州二中教育集团高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州二中教育集团高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是( )
A. 37B. 73C. 21D. 210
2.{an}是等比数列，a3，a7是方程x2+4x+3=0的两根，则a5=( )
A. ± 3B. 3C. − 3D. − 2
3.函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的有( )
A. x=−2为函数f(x)的一个零点B. 函数f(x)在区间(−1,12)上单调递减
C. x=12为函数f(x)的一个极大值点D. f(−1)是函数f(x)的最大值
4.已知函数f(x)=xcsx−sinx，若存在实数x∈[0,2π]，使得f(x)0，a90成立的最大自然数n是15
6.设底部为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A. 3VB. 32VC. 34VD. 23V
7.设a为实数，若函数f(x)=x−ex+2,x≤013x3−4x+a,x>0有且仅有一个零点，则a的取值范围是( )
A. (−∞,163)B. (−∞,163]C. (163,+∞)D. [163,+∞)
8.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为ai,j，例如a3,2=9，a4,2=15，a5,4=23，若ai,j=2025，则i+j=( )
A. 64B. 65C. 68D. 72
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1，n∈N∗，则( )
A. 121是数列中的项
B. an+1−an=3n
C. {an+12}是等比数列
D. 存在k∈N∗，1a1+1a2+⋯+1ak=32
10.若3男3女排成一排，则下列说法正确的是( )
A. 共计有360种不同的排法
B. 男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种
C. 男生甲、乙相邻的排法总数为240种
D. 男女生相间排法总数为36种
11.已知函数f(x)=x2ex，则下列正确的是( )
A. f(x)的极小值为0
B. f(x)过(0,0)点的切线方程为y=xe
C. f(x)=3e2有三个实根
D. g(x)=f(x)−ax，当00，∴f(x)在(0,+∞)，
当a>0时，令f′(x)=0，得x=a，
x∈(0,a)时，f(x)单调递减，
x∈(a,+∞)时，f(x)单调递增；
综上：a≤0时，f(x)在(0,+∞)上递增，无减区间，
当a>0时，f(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞)；
(2)由(1)得：f(x)极小值=f(a)=a−1−alna．
∵对任意x∈(0,+∞)，都有f(x)≥0恒成立，
∴f(x)极小值=f(a)=a−1−alna≥0．
∴a≥≥11−lna，解得a=1，
∴实数a的取值集合为{1}．
(Ⅱ)证明：设数列an=(1+1n)n，数列bn=(1+1n)n+1，
由x→∞lim(1+1x)x=e，得：n→∞liman=e，n→∞limbn=e，
因此只需证数列{an}单调递增且数列{bn}单调递减，
①证明数列{an}单调递增：
an=(1+1n)n