湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了已知互相垂直的平面交于直线，已知全集，集合，，则，已知甲､乙两组数据分别为，设函数，则下列叙述正确的是，如果球､正方体与等边圆柱，设为复数，下列命题不正确的是等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知互相垂直的平面交于直线.若直线满足，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知全集，集合，，则（ ）
A.集合的真子集有8个 B.
C.U中的元素个数为7 D.
3.已知甲､乙两组数据分别为：和，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（ ）
A.甲组数据的第70百分位数为23
B.甲､乙两组数据的极差不相同
C.乙组数据的中位数为24.5
D.甲､乙两组数据的方差相同
4.在中，，则（ ）
A. B. C. D.
5.过点作圆的两条切线与圆分别切于两点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.设函数，则下列叙述正确的是（ ）
A.的最小正周期为
B.的图象关于直线对称
C.在上的最小值为
D.的图象关于点对称
7.如果球､正方体与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为那么的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8.如图所示，是双曲线的左､右焦点，的右支上存在一点满足与双曲线左支的交点满足，则双曲线的渐近线的斜率可以为（ ）
A. B.2 C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设为复数，下列命题不正确的是（ ）
A.
B.
C.若，则为纯虚数
D.若，且，则
10.已知数列的前项和为，且满足，则下面说法正确的是（ ）
A.数列为等差数列 B.数列为等比数列
C. D.
11.已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数恒有.则下列结论中正确的有（ ）
A.
B.过点的切线方程为
C.对，不等式恒成立
D.若为函数的极值点，则
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若，则等于__________.
13.甲､乙､丙等5名同学参加语数外三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为__________.
14.对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”.设函数为其定义域上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知函数在和处取得极值.
（1）求的值及的单调区间；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
16.（15分）
如图，多面体中，四边形为正方形，平面平面，与交于点.
（1）若是中点，求证：；
（2）求直线MD和平面所成角的正弦值.
17.（15分）
设的第项系数为
（1）求的最大值
（2）若表示的整数部分，，求的值.
18.（17分）
已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点在上，点与的上､下焦点连线所在直线的斜率之积为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）经过点的直线与双曲线交于两点（异于点），过点作平行于轴的直线，直线与交于点，且求直线的斜率.
19.（17分）
记，对数列和的子集，若定义；若，定义.例如：时，现设是公比为3的等比数列，且当时，
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意正整数，若，求证：；
（3）设.求证：.
长沙市明德中学高二下学期数学适应性训练卷
参考答案
第I卷（选择题）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.
5.【详解】由题意可得圆的标准方程为：
，①，圆心为，
过点作圆的两条切线与圆分别切于两点，则，故点在以为直径的圆上，
而以为直径的圆的方程为：，②，
①-②得即直线的方程为，故选：A.
6.D 【解析】对于的最小正周期为，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，当时，在上的最小值为，故C错误；对于D，的图象关于点对称，故D正确.故选D.
7.B 【解析】设球的半径为，正方体的棱长为，等边圆柱的底面半径为，且它们的体积都为，则，所以，故选：B.
8.C 【解析】在中，，在中，，
所以，
又，则，又，
所以，令，则，
而，由，则，
可得即.
所以，渐近线的斜率可以为.
9.AC 10.BD 11.ACD
11.【详解】恒有，
可设（其中为常数）.
又对任意的正数恒有，
对任意的正数恒有，
，即，
对于，由上式可得，故A正确；
对于B，，设切点为，则切线斜率为，
，化简得，解，
所以点就是切点，所以切线方程为，故B错误；
对于C，令，则，
令，可得，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，所以，对恒成立，故C正确；
对于，设，
在上单调递增，且，
所以使在上单调递减，在上单调递增，
为函数的极小值点且满足，
，故D正确.
故选：ACD.
12. 13. 14.
14.【解析】由函数为“倒戈函数”的定义可得：在上有解.
则在上有解，且在上恒成立，
即在上有解，且在上恒成立，
记，则在上单调递增，且，
所以，所以，即，解得：，
又在上恒成立，则，解得：.
综上所述：实数的取值范围是，故答案为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（1）.
函数在和处取得极值.
，
联立解得：
.
令，解得和，
时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增
故和是的极值点，（没有体现验证的扣1分）
故函数单调递增区间为；
函数单调递减区间为
（2）由（1）知在单调递减，在单调递增，--
要使得对任意，不等式恒成立，则需且，
故且，
解得，或，
的取值范围是
16.【解析】（1）因为四边形为正方形，所以，因为平面平面，
平面平面，所以平面
又因为平面，所以.
连接，则，在中，
，所以，
因为平面，且，
从而平面，
又平面，所以
因为平面，且，
所以平面
又平面，所以，又因为，所以，
又是中点，，所以，
因为，且，所以平面
又因为平面，所以.
（2）由（1）知，平面，且
以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
则
由得，，所以，
所以
设平面的法向量为，由
得取，则，
设直线和平面所成角为，
则
所以直线和平面所成角的正弦值为.
17.（1）由题可知，展开式中第项为：
，
则系数最大的项需满足，
解得或，
所以系数最大为第3项或第4项，即或，
所以最大项系数为
（2）因为，
且由展开式中第项为：，
所以
令，
令，
相加得，所以.
而
所以
.
由题可知，
18.（1）由题意设双曲线的方程为，（设出标准方程给1分）
由点在上，得①
设的上､下焦点分别为，则，
解得，所以②
由①②得，
故双曲线的标准方程为
（2）设直线的方程为，
联立，得方程组，整理得
所以，解得，
所以，
则
当直线的斜率不存在时，易得，
此时直线的斜率为
当直线的斜率存在时，直线的方程为，
所以点的坐标为.
由可得
由，得点为的中点，所以
则.
所以
.故直线的斜率为
19.（1）当时，，
因此，从而；
（2）因为，所以；
（3）设.
则.
所以，因此原题就等价于证明
由条件可知.
①若，则，所以
②若，由可知，
设中最大元素为中最大元素为，
若，则由第（2）小题，，矛盾，
因为，所以，所以，
.
即.
综上所述，，因此.
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
D
B
A
D
B
C
9
10
11
AC
BD
ACD