黑龙江省名校协作体2025届高三下学期一模考试数学试卷（含答案）

这是一份黑龙江省名校协作体2025届高三下学期一模考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=x∣−x2−2x+8≤0，B={x∣x+4>0}，则A∩B=( )
A. 2,+∞B. −4∪2,+∞
C. 4,+∞D. −4,−2∪4,+∞
2.若复数z满足3−iz+2=2+6i，则z=( )
A. 1B. 2C. 2D. 2 2
3.如图是某高中学校2000名男生的身高样本的频率分布直方图，估计该样本数据的53%分位数为( )
A. 177B. 178C. 179D. 180
4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点为A，上顶点为B.若AB是C的焦距的 2倍，则C的离心率为( )
A. 29B. 23C. 23D. 63
5.如图，在正六边形ABCDEF中，点M满足EM=2MD，则AM=( )
A. 2AB+13BCB. −13AB+2BCC. 13AB+BCD. 43AB+23BC
6.已知M，N是圆C:x−22+y+32=5上的两个动点，且MN=2，P为直线3x−4y+12=0上的动点，则PM⋅PN的最小值为( )
A. 3B. 4C. 15D. 16
7.如图，O是圆台上底面的圆心，A，B是圆台下底面圆周上的两个动点，MN是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R.若MN=R=2r，MN//平面OAB，且AB的最小值为6，则该圆台的体积为( )
A. 7 33πB. 15πC. 21πD. 18 3π
8.若函数f(x)=x(ex−1)的图象恒在g(x)=lnx+a图象的上方，则a的最大整数值为( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线C:y=14x2的焦点为F，准线为l，点M(−4,m)在C上，O为坐标原点，则( )
A. 直线OM的倾斜角为135∘
B. l的方程为y=−116
C. MF=5
D. C在点M处的切线方程为2x+y+4=0
10.已知函数f(x)=sinx，g(x)=2sin2x，则( )
A. f(x)与g(x)的图象存在相同的对称中心
B. f(x)与g(x)的图象存在相同的对称轴
C. 当x∈[−π,π]时，f(x)与g(x)的图象有5个公共点
D. 将f(2x)的图象向右平移π2个单位长度后，再向上平移1个单位长度可得g(x)的图象
11.已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，记gx=f′x，若fx是奇函数，且fx+1=f1−x+x，则( )
A. fx+4=fxB. f10=5C. gx=g−xD. 100k=1 g(k)=50
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记Sn为公差不为0的等差数列an的前n项和．若S6=3a2，Sk=0，则k= ．
13.现将1个红球、1个黄球、1个绿球及3个白球(白球之间没有区别)放入3个不同的盒子中，每个盒子放入2个球，则不同的放法种数为 .(用数字作答)
14.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的所有顶点均在球O的球面上，若该四棱柱的体积为1，则球O的表面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+cb+c=sinBsinA−sinC．
(1)求A；
(2)▵ABC的外接圆半径为1，D是边BC的中点，求AD的最小值．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB=2CD，PC=BC，平面PAB⊥平面PBC．
(1)证明：PD=AD；
(2)若AB⊥AD，PA= 3AD= 3CD，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数fx=ax2−1a>0，gx=lnx+1x−e1−x．
(1)若曲线y=fx与y=gx在点1,0处有相同的切线，求a的值；
(2)若a≥12，证明：对任意的x∈1,+∞,fx≥gx．
18.(本小题17分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，且F1F2=8，渐近线方程为y=± 3x．
(1)求C的方程；
(2)设x轴上方的点A，B分别在C的左支与右支上，若F2B=3F1A，求四边形AF1F2B的面积．
19.(本小题17分)
已知一个袋子中装有分别标有数字1,2,3,⋯,n,n+1,⋯,2n的2n张卡片，n∈N∗．
(1)把这个袋子中的2n张卡片分别放入2个不同的盒子中，每个盒子不空，记分配方法总数为An，求A1+A2+A3+⋯+An的值；
(2)从这个袋子中依次随机抽取一张卡片．
(i)若取出的卡片不再放回袋子，记X为最后一张标号为偶数的卡片被取出时所需的抽取次数，求EX；
(ii)若取出的卡片再放回袋子，最多抽取n次，直到取到标号为偶数的卡片就停止抽取，记抽取的次数为Y，证明：EY