黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷

这是一份黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了5D．86，已知sin  cs ，，706等内容，欢迎下载使用。
考生注意
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
考生作答时，请将答案答在答题卡上 。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题
卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效． ,．在．试．题．卷．、．草．稿．纸．上．作．答．无．效．。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 A  x 2x  x2  0, B  x x  m，若 AB  ，则（ ）
m  2
m  2
C． m≥ 2
D． m  2
抽样统计某位学生 10 次的数学成绩分别为 86，84，88，86，89，89，90，87，85，92，则该学生这 10 次成绩的40% 分位数为()
A．91B．89C．87.5D．86.5
已知sin      3 ， tan  2tan ，则sin    （ ）
5
1
5
 1
5
2
5
3
5
若cs  π   2 ，则cs 2  π   （ ）
3 33 

 5
9
5
9

 1
9
1
9
2
已知函数 f x  Asinx   （ A  0 ，  0 ，   π ）的部分图象如图所示，给出下
列结论：① f  π   3 ； ②当 x   π ,0 时， f  x2, 3 ；
 2 
 2
 
③函数 f x 的单调递减区间为kπ  π , kπ  7π  ， k  Z ；
④将 f x
1212 
πy  2 sin 2x 的图象；其中正确的结论个数是（ ）
的图象向右平移
3
个单位，得到
A．1B．2C．3D．4
 7 
9 
已知 f x 在1,   上单调递增，若 f x 1 为偶函数， a  f e2 ， b  f  ln ，
2 
c  f   3  ，则（ ）
 2 

c  a  b
a  b  c
c  b  a
a  c  b
已知函数 f  x  3sinπx  csπx   0 在0,1内恰有 3 个最值点和 3 个零点，则实数
 的取值范围是（ ）
 3 6 
A．  7 , 19 

B． 8 ,19 
3 6 

 ln x , x  0,
 10 , 23
 36 

10 , 23 
 36 

已知函数 f  x   x若a  b  c ，且 f a  f b  f c ，则cf c 的取值范围为
2 , x  0,
（ ）
A．   1 , 
B． 0,  
C． 0, e
D． 0, e
e

二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.已知函数 f  x  Asinx     B  A  0，  0，  π  的部分图象如图，则（）
2 

A  2
  π
6
函数 f x 在区间 3π , 2π 上单调递增D．函数 f x 的图象关于点 4π , 1 对称
 2 3

要得到函数 f  x  sin 2x  π  的图象，可以将函数 g  x  cs π  2x  的图象（ ）
6  6
向左平移 π
4

个单位长度
向右平移 π
4

个单位长度
向右平移 3π 个单位长度D．向左平移 3π 个单位长度
44
．已知函数 f x  x2  3x  lnx ，则（ ）
f x 有两个零点B． f x 的极小值为2
C．存在a 使得关于 x 的方程 f x  a 有三个不同的实根 D．f x2   f  x 的解集为1, 
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
．有 4 辆车停放在 5 个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有种不同的停放方法.
已知
ax2 1 x 


2 5

x3
 的展开式中各项系数的和为4 ，则该展开式中 x 的系数为.
 1
f  x  x ln x  x  x  a2 a Rx   2 , 2f  x  xf x
已知函数
则实数 a 的取值范围是.
，当 时，
恒成立，
四、解答题：本大题共 6 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
3 5 π
π3π π
15.（13 分）已知sin  cs ，
5
求sin 2 和tan 2 的值；
求cs(  2) 的值．
(0, ) ， sin(  )  ，  (, )
4454 2
数学成绩总评优秀人数
数学成绩总评非优秀人数
合计
每天都整理数学错题人数
14
不是每天都整理数学错题人数
15
20
合计
40
16.（15 分）为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了 40 名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下：
完成补全上述样本数据的22 列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率；
是否有99% 的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？
 2 
n(ad  bc)2
附：a  bc  d a  cb  d  ；
从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取 3 名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为 X ，求 X 的分布和期望.
17.（15 分）已知函数 f  x  sin 2x  π   sin 2x  π   2cs2x  2 .
3 3 

当 x  0, π  时，求函数 f x 的值域；
2 
求函数 f x 在区间0, 2π上的所有零点之和.
18.（17 分）已知a,b, c 分别为锐角三角形 ABC 三个内角 A, B, C 的对边，且

0.10
0.01
0.001
P x2   
2.706
6.635
10.828
cs B 
3 sin B  b  c .
a
求A ;
若a  3 ， D 为 BC 的中点，求中线 AD 的取值范围.
19.（17 分）已知函数 f  x  aln  x 1  1 1.
ex
若 f  x 在其定义域内恒单调递增，求a 的取值范围；
若a  0 ，证明： x 0,  ， f  x 
x2
x2 1
 0 ；
若 f  x 在1, 2  上有两个极值点，求a 的取值范围.
a 

牡二中2025—2026学年度第一学期高三第一次阶段性测试试题
数学答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，又，
所以当时，可得.故选：B.
2．抽样统计某位学生10次的数学成绩分别为86，84，88，86，89，89，90，87，85，92，则该学生这10次成绩的分位数为
A．91B．89C．87.5D．86.5
【答案】D
【解析】数学成绩从小到大分别为84，85，86，86，87，88，89，89，90，92，共10个，
又，
故分位数为．
故选：D．
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由.
由.
由.
所以.
故选：A
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
.故选：D
5．已知函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列结论：
①； ②当时，；
③函数的单调递减区间为，；
④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】由图象可知：，.
由，又，所以.
所以.
因为，故①正确；
当时，，所以，所以，故②正确；
由，，，
所以函数的单调递减区间为，.故③正确；
将的图象向右平移个单位，得到的图象，故④错误.
故选：C
6．已知在上单调递增，若为偶函数，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为为偶函数，则，
所以关于对称，所以，
令，则，
当时，，所以在1,+∞上单调递增，
所以，即，所以，
当x>1时，由得，，则，
由上可得，又在1,+∞上单调递增，
所以，即，
所以.故选：D．
7．已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，
且当时，，
因为函数在内恰有3个最值点和3个零点，
所以，解得，
故选：B．
8．已知函数若，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且；
当时，所以在上单调递增，且，
所以的图象如下所示：
又，且，不妨令，
结合图象可知且，即，
所以，即的取值范围为.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数的部分图象如图，则（ ）
A．
B．
C．函数在区间上单调递增函数
D．的图象关于点对称
【答案】AD
【解析】由函数的图象可知解得
设函数的最小正周期为，由函数的图象可知，，
所以，所以.
由，得，又，所以，
所以.故选项A正确，选项B错误.
令，解得，当时，，
所以函数的图象关于点对称.故D正确.
令 ，得，
所以的单调递增区间为.
因为，所以函数在区间上不单调.故选项C错误.
故选：AD.
10．要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】BD
【详解】由，
可知将函数的图象向右平移个单位长度，
可得，即可得函数的图象，
又由函数的最小正周期为，可知向右平移个单位长度与向左平移个单位长度效果相同；所以选项BD正确.
若向左平移个单位长度，可得，故A错误；
若向右平移个单位长度，可得，故C错误；
故选：BD.
11．已知函数，则（ ）
A．有两个零点
B．的极小值为
C．存在使得关于的方程有三个不同的实根
D．的解集为
【答案】BC
【解析】函数的定义域为，，
由得或；由得，有极大值，极小值，B正确；
由极大值和极小值均小于0知最多一个零点，A不正确；
当时，，当时，，当时，有三个不同的实根，C正确；
当时，，此时，D不正确．
故选：BC．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有 种不同的停放方法.
【答案】12
【解析】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放.
所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法，
所以共有种不同的停放方法.
故答案为：12.
13．已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为 .
【答案】
【分析】令，求得a，再利用二项展开通项公式即可求得含项的系数.
【解析】因为的展开式中各项系数的和为，
所以令，得，解得，
所以，
因为的二项展开通项公式为，，
则展开式中含的项为，
故该展开式中的系数为，
故答案为：.
14. 已知函数，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【详解】，
即为，
整理得到，
即，使得恒成立，
（当且仅当，即时取等号），
，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15、（13分）已知，，，
(1)求和的值；
(2)求的值．
【详解】（1）由，可得，即，
所以，又，所以，所以，
所以.
（2）因为，所以，又，
所以，所以，
又，所以，，
所以，
又，又，所以，所以，
所以.
16、（15分）为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下：
(1)完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率；
(2)是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？
附：；
(3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布和期望.
【解析】（1）完善列联表，如下：
每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为.
（2）由（1）得，
所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”.
（3）不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5，
的所有可能值为0，1，2，3，
，
，
所以的分布为：
0 1 2 3 91228 3576 538 1114
期望.
17、（15分）已知函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)求函数在区间上的所有零点之和.
【详解】（1）易知
因为，所以，
由正弦函数单调性可得，
则的值域为
（2）因为，所以，
由得
所以，解得，
所以函数在区间上的所有零点之和为.
18、（17分）已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且.
(1)求;
(2)若，为的中点，求中线的取值范围.
【详解】（1）因为是锐角三角形的三个内角，所以，，
根据正弦定理可得，即，
所以，则，
整理得，即，
又，所以，即.
（2）因为为的中点，所以，
两边平方得，
在中，由余弦定理得，即，所以，
在中，由正弦定理得，所以，
所以，
因为为锐角三角形，所以且，解得，
所以，所以，所以，
所以中线的取值范围是.
19、（17分）已知函数.
(1)若在其定义域内单调递增，求的取值范围；
(2)若，证明：，；
(3)若在上有两个极值点，求的取值范围.
【解析】（1）因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.
设，则，则在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，即的取值范围为. （5分）
（2）证明：若，则.
设，则，，则在上单调递减，在上单调递增，则，则在上单调递增，
所以，即当时，，
所以，不等式得证. （10分）
（3）.
当时，，则在上单调递减，无极值点.
当时，由（1）知在上单调递增，无极值点.
当时，令，
令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，（13分）
，，
由（2）知，则，
所以恰有两个零点，，
令，得，令，得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，从而有两个极值点，综上，的取值范围是数学成绩总评优秀人数
数学成绩总评非优秀人数
合计
每天都整理数学错题人数
14
不是每天都整理数学错题人数
15
20
合计
40
0.10
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
数学成绩总评优秀人数
数学成绩总评非优秀人数
合计
每天都整理数学错题人数
14
6
20
不是每天都整理数学错题人数
5
15
20
合计
19
21
40