北京市延庆区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（原卷版+解析版）

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本试卷共4页，150分.考试时长120 分钟.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10 小题，每小题4分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由并集定义计算．
【详解】由题意，
故选：C．
2. 当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据时指数函数与对数函数均为定义域内的增函数即可得答案.
【详解】解：因为，函数为指数函数，为对数函数，
故指数函数与对数函数均为定义域内的增函数，
故选：B.
3. 下列函数中是奇函数且在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】AB选项，根据幂函数的性质得到AB正确；C选项，不满足奇偶性；D选项，不满足单调性.
【详解】A选项，为奇函数且在R上单调递增，满足要求，A正确；
B选项，的定义域为R，且，故为奇函数，
又，故在单调递增，B正确；
C选项，为指数函数，结合图象可知其不是奇函数，C错误；
D选项，，故当时，单调递减，D错误.
故选：AB
4. 向量，，若⊥，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂直关系得到方程，求出答案.
【详解】由题意得，解得.
故选：D
5. 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较大小.
【详解】，即，，
所以.
故选：D
6. 已知函数，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】直接代入计算即可得解.
【详解】因为，故.
故选：C.直
7. 甲，乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（ ）
A. 在这5天中，甲加工零件数的极差小于乙加工零件数的极差
B. 在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同
C. 在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数
D. 在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差
【答案】C
【解析】
【分析】根据茎叶图计算极差、中位数、平均数、方差即可.
【详解】甲在5天中每天加工零件的个数为：，
乙在5天中每天加工零件的个数为：，
对于A，甲加工零件数的极差为，乙加工零件数的极差为，
故A错误；
对于B，甲加工零件数的中位数为，乙加工零件数的中位数为，故B错误；
对于C，甲加工零件数的平均数为，
乙加工零件数平均数为，故C正确；
对于D，甲加工零件数的方差为
，
乙加工零件数的方差为，
故D错误；
故选：C
8. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"， "第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（ ）
A. B. R与G互斥但不对立
C. D. S与T相互独立
【答案】D
【解析】
【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义求解，
【详解】对于A，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”是对立事件，
所以，故A正确；
对于B，"两次都摸到红球"和"两次都摸到绿球”，不能同时发生，但能同时不发生，
所以R与G互斥但不对立，故B正确；
对于C，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，
所以，故C正确；
对于D，从袋中不放回地依次随机揽出2个球，不同的结果有：
，共12种结果，
事件S包含这6种结果，，
事件T包含这6种结果，，
事件ST包含这2种结果，，
，所以S与T不是相互独立事件，故D错误.
故选：D.
9. 已知等边的边长为6，D在上且，E为线段上的动点，求的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，，用表示出，然后平方转化为数量积的运算得出关于的函数，再由二次函数知识得最大值和最小值，从而得其范围．
【详解】设，则，，
设，又，
则，，
，
，
所以时，取得最小值12，时，取得最大值28，
所以的取值范围是，
故选：B．
10. 假设有机体生存吋碳14的含量为，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量满足的关系为（其中m₀，a都是非零实数）.若测得死亡5730年后的古生物样品，体内碳14的含量为0.5，又测得死亡11460年后这类古生物样品.体内碳14的含量为0.25.如果测得某古生物样品碳14的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为（取）（ ）
A. 10550年B. 7550年
C. 8550年D. 9550年
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知指数函数模型列方程组求得，推测此古生物的死亡时间为年，再列方程求得（利用对数的运算）．
【详解】由已知，解得，即，
推测此古生物的死亡时间为年，则，，
所以，．
故选：D．
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数 的定义域为_________.
【答案】
【解析】
【分析】由函数有意义的条件，求函数定义域.
【详解】函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
12 _______
【答案】15
【解析】
【分析】根据指数运算和对数运算法则计算.
【详解】
.
故答案为：15
13. 已知，则=________
【答案】10
【解析】
【分析】求出的坐标，再由模的坐标表示计算．
【详解】由题意，
所以，
故答案为：10.
14. 甲同学进行投篮练习，每次投中的概率都是，连续投3次.每次投篮互不影响.则该同学恰好只有第3次投中的概率为________：该同学至少两次投中的概率为_________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用独立事件的概率公式即可得解.
【详解】因为甲同学每次投中的概率都是，连续投3次，则投不中的概率为，
所以甲同学恰好只有第3次投中概率为，
至少两次投中的概率为.
故答案为：；.
15. 设，函数 给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当存在最大值时，；
③存在,，使得；
④若存在两个不同的x，使得，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是__________
【答案】②④
【解析】
【分析】作出函数的图象，由图象可得单调性，判断①，根据图象可分析出最大值存在的条件，判断②，利用极限点间距离判断③，由直线与函数的图象有两个交点求解后判断④．
【详解】作出函数的图象，如图，可见函数在上是减函数，若，则，①错误；
在时，没有最大值，在时，有最大值，
因此有最大值，则，，②正确；
由题意知点在图象中间一段抛物线上，点在右下曲线上，取，，则，③错；
若存在两个不同的x，使得，则直线与的图象有两个交点，因此，解得，④正确．
故答案为：②④．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 如图，在中，，D为中点，E为上一点，且，延长线与的交点为F.
（1）用向量与表示 和
（2）用向量与表示
（3）求出 的值
【答案】（1），；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）（2）由向量的线性运算法则求解；
（3）设，求得，再利用向量共线可得结论．
【小问1详解】
是中点，
，
；
【小问2详解】
，则，
；
【小问3详解】
设，则，，
又向量共线，而不共线，
所以，解得．
17. 为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”.
（1）从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率；
（2）从样本成绩优秀，两组学生中任意选取2人，记为， 中的学生为， 中的学生为，求这2人来自同一组的概率；
（3）从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下：
A组:； B组:.
写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）.
【答案】（1）0.3 （2）
（3）81或84
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图中的频率，估计事件发生的概率；
（2）由两组学生的人数，列举样本空间和事件所包含的样本点，可求出2人来自同一组的概率；
（3）利用方差的定义求解.
【小问1详解】
频率分布直方图中，成绩优秀的两组学生，频率为，
所以估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率为0.3.
【小问2详解】
样本中，组中有人，组中有人，
从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，其样本空间可记为：
共包含15 个样本点,
记事件A：两人来自同一组，
则，共包含7个样本点，
所以这2人来自同一组的概率 .
【小问3详解】
这两组学生的得分记录：A组:； B组:.
方差反映的是数据的离散程度，要使A、B两组学生得分的方差相等，
对比两组数据，可知：或.
18. 已知函数① ②. 从这两个函数中选择一个、并完成以下问题.
（1）求的解：
（2）在x轴上取两点和，设线段的中点为C，过点A，B，C分别作x轴的垂线，与函数的图象交于，线段 中点为M.
（i）求
（ii）判断 与的大小.并说明理由.
【答案】18. 选择函数；选择函数；
19. （i）选择函数；选择函数；（ii），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据解析式代入运算求解；
（2）根据题意，求出的坐标，根据向量模的坐标公式运算判断.
【小问1详解】
选择①，.
选择②，.
【小问2详解】
选择①，线段的中点为C为，分别为，，，线段中点M 为 ，
；

所以，
所以 即.
选择②，线段的中点为C为，分别为，，,
线段中点M 为，
；
，又 ，
所以 即.
19. 函数的图像如图所示，定义域为，其中，，当时.图像是二次函数的一部分，其中顶点，当时，图像是指数函数的一部分.
（1）求函数的解析式:
（2）求不等式的解集：
（3）若对于，恒有恒成立.求出的取值范围（不要求计算过程）.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分类讨论分别用待定系数法求得解析式；
（2）分类讨论解不等式可得；
（3）作出函数的图象，由图象得出的解集，从而得，然后可得结论．
【小问1详解】
当时，图像是二次函数的一部分，设解析式为，
根据题意可知：，解得：，
当时，图像是指数函数的一部分，设解析式为，
根据题意可知：，所以，
所以.
【小问2详解】
由（1）可化为：，解得，
或，解得，
综上，不等式的解集为；
【小问3详解】
在坐标系中再作出的图象，如图，由图象可知不等式的解集为，
所以由题意，，所以，即的范围是．
.
20. 已知函数
（1）当时，若，求x的值:
（2）若是偶函数，求出m的值:
（3）时，讨论方程根的个数.并说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用指数与对数的运算法则计算即可；
（2）利用偶函数的定义待定系数计算即可；
（3）先利用单调性定义判定函数单调性，再分类讨论结合零点存在性定理、函数奇偶性、单调性判定根的情况即可.
【小问1详解】
当时, 若;
【小问2详解】
若是偶函数, 所以，
即: ，
所以；
【小问3详解】
当时，由（2）可知，
令，设，
则，
因为，则，
所以，
即 在上单调递增，
由复合函数的单调性可知在上单调递减，
又是偶函数，所以在上单调递增，
易知，所以为偶函数，，
则，
当时，方程没有实数根，
当时，方程，有且仅有1个实数根，
当 时，取，则，
所以在上，且在上单调递减，
由零点存在性定理可知在上，有1个实数根，
所以时，方程，有2个实数根.
综上所述：当时，方程没有实数根；
当时，方程有且仅有1个实数根；
当 时，方程有2个实数根.
21. 已知集合A为非空数集.定义：
（1）若集合，直接写出集合S，T；
（2）若集合且．求证：；
（3）若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值.
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）1350.
【解析】
【分析】（1）根据新定义直接求出；
（2）首先根据定义得出，然后由，得出结论，再验证也是中元素即得；
（3）设满足题意，其中利用最大的和最小的构造也中至少含有的元素，以及中至多含有的元素，得，然后由利用，得，再由中最小的元素0与最大的元素得到，然后构造一个集合，由得出的范围，求得中元素个数可以为1350，从而得出结论．
【小问1详解】
由已知，则，；
【小问2详解】
由于集合且，
所以T中也只包含四个元素，因为
即且，即，
又，
所以，从而，
此时满足题意，所以；
【小问3详解】
设满足题意，其中，
2，
，
∵，∴，
又中最小的元素为0，最大的元素为，
则
设，，
则，
因为，可得，即，
故m的最小值为675，于是当时，A中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350.
【点睛】方法点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是对新定义的理解，第（3）小题较难，解题方法首先是对集合中元素进行排序，即设满足题意，其中，利用集合中的最大元素和最小元素确定的最小值，的最小值，确定的范围，然后构造出一个集合，使得能取得范围内的最大值．