北京市海淀区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份北京市海淀区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由得又，
故，
故选：A
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】命题“”为特称量词命题，
其否定为：.
故选：A
3. 函数的一个零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为与均在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，，所以，所以在上存在一个零点.故选：B
4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】对A,的值域为的值域为，不是同一函数，故错误；
对B,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误；
对C,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误；
对D,，二者的定义域、对应法则均相同，为同一函数，故正确.
故选：D
5. 下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A：的定义域为，为偶函数，但是函数在上单调递减，故A错误；
对于B：定义域为，且，
所以为偶函数，当时，所以函数在上单调递减，故B错误；
对于C：为奇函数，故C错误；
对于D：定义域，且，
所以为偶函数，且函数在上单调递增，故D正确.
故选：D
6. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，则，即可以推导出，故充分性成立；
由推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
7. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为函数的定义域为，函数的定义域为，
函数与的定义域均为.
由图知的定义域为，排除选项A、D，
对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C.
故选：B.
8. 若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A. (－∞，－2)B. (－2，＋∞)
C. (－6，＋∞)D. (－∞，－6)
【答案】A
【解析】不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，
令f（x）＝x2－4x－2，x∈(1，4)，对称轴为
所以f（x）＜f（4）＝－2，
所以a＜－2．
故选：A
9. 已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】当且，时，恒成立，
可得在上单调递减，且关于对称，
所以在上单调递增，，
，，
即.
故选：B
10. 对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ）
A. 函数为奇函数
B. 函数的值域为
C. 对于任意的，不等式恒成立
D. 不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，，当，，
所以不是奇函数，所以A错误，
对于B，因为表示不超过的最大整数，所以当时，，
所以函数的值域为，所以B正确，
对于C，因为时，，
所以，所以C正确，
对于D，由，得，
因为表示不超过的最大整数，所以，所以D正确.
故选：BCD
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 函数的定义域是_______．
【答案】
【解析】对于函数，令，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：
12. 不等式的解集为_______．
【答案】
【解析】移项得：，通分化简得到分式不等式：；
两边同时乘以分母得平方，结合分母不为零，得到不等式组：
解得.原不等式解集为.
故答案为：
13. 已知，若，则的值为_______．
【答案】或
【解析】因为，所以，又，
所以或，
解得或或，
当时，集合、均不满足集合元素的互异性，故舍去；
当或时，经检验均符合题意；
综上可得或
故答案为：或
14. 若函数是上的减函数，则a的取值范围是_______
【答案】
【解析】由题意得，且，解得；
当时，，解得；
综上得实数的取值范围为.
故答案为：.
15. 已知函数，其中，下列结论正确的是_______．
①存在实数a，使得函数为奇函数
②存在实数a，使得函数为偶函数
③当时，的单调增区间为
④当时，若方程有三个不等实根，则
【答案】
【解析】由，显然当a＝0时有f-x=-fx，
但不存在实数a使f-x=fx成立，所以存在实数a，使得函数为奇函数，
不存在实数，使得函数为偶函数.所以①正确，②错误；
且在处连续，当时，
易知：在上递增，递减，上递增，③正确；
由解析式，当时在上递增，递减，上递增，
又，，要使有三个不等实根，即与有三个交点，
所以，又，可得，④正确.
故答案为：.
三、解答题：本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 已知全集，求．
解：由题意知，或，
所以，，
或，所以
17. 已知函数．
（1）若，且，求的最小值；
（2）若，解关于的不等式．
解：（1）因为且，所以，即，
又，所以，
当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为；
（2）当时，不等式，即为，
即；
当时，解得，所以不等式的解集为；
当时，不等式等价于，解得或，
所以不等式的解集为；
当时，不等式即为，解得，所以不等式的解集为；
当时，，解得，所以不等式的解集为；
当时，，解得，所以不等式的解集为；
综上可得：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
18. 已知函数．
（1）证明：为奇函数．
（2）判断在上的单调性，并证明你的结论．
（3）解关于t的不等式．
（1）证明：由已知函数的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的，
都有：，为奇函数.
（2）解：在是增函数，证明如下：
选择任意的，满足，则，
通分化简：，
由可得：，，，；
即，有.
证得在是增函数.
（3）解：，则，
由是奇函数，则，
又由是增函数，则；
结合定义域，得到不等式组：，解得.故解集为：
19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”．
（1）请证明：函数不存在“黄金区间”．
（2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”．
（3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值．
（1）证明：由为(0,+∞)上的增函数，则有，
∴，无解，∴不存在“黄金区间”；
（2）解：记是函数的一个“黄金区间”，
由及此时函数值域为，可知
而其对称轴为，∴在上必为增函数，
令，∴，∴，
故该函数有唯一一个“黄金区间”；
（3）解：由在和(0,+∞)上均为增函数，
已知在“黄金区间”上单调，所以或，
且在上为单调递增，则同理可得，，即是方程的两个同号的实数根，等价于方程有两个同号的实数根，又，则只要，∴或，
而由韦达定理知，，
所以，
其中或，所以当时，取得最大值．