四川省南充市南部县第二中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份四川省南充市南部县第二中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知等差数列中首项，公差，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
2．记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．7B．9C．81D．3
4．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ）
A．B．1C．2D．
5．设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．已知数列满足，则（ ）
A．2B．C．D．
8．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知等差数列{}的前n项和 ，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．当取得最大值时D．当取得最大值时
10．已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，…，均在x轴正半轴上，点，，，…，均在y轴正半轴上．已知，，，…，，，，四边形，，，…，均为长方形．当时，记为第个倒“L”形，则（ ）

A．第10个倒“L”形的面积为100
B．长方形的面积为
C．点，，，…，均在曲线上
D．能被110整除
三、填空题（本大题共3小题）
12．曲线在点处的切线方程是 ．
13．数列满足，（），则数列的通项公式是 .
14．1202年，意大利数学家斐波那契（Lenard Fibnacci，约1170-约1250）以兔子繁殖问题，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，即，．人们在自然界中发现了许多斐波那契数列的例子．斐波那契数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域也有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2025项的和为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知为等差数列的前项和，且，
(1)求的通项公式；
(2)若是等比数列，且，，求的前项和
16．已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列.
(1)求的通项公式.
(2)设，求数列的前项和.
17．（1）已知函数的导函数为，且，求；
（2）曲线与存在过原点的公切线，求b的值.
18．已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
19．已知数列的前n项和为．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设的前n项和为；
①求；
②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为等差数列的首项，公差，
所以.
故选D.
2．【答案】C
【详解】因为等差数列的前项和为，且，
则.
故选C.
3．【答案】D
【详解】依题意可得，
又，所以，
所以.
故选D
4．【答案】C
【详解】函数在区间上的平均变化率为，
在时的瞬时变化率为，
所以．
故选C.
5．【答案】B
【详解】若，，则，则为递减数列．
若为递增数列，则，，．
所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件．
故选B．
6．【答案】A
【详解】由可知，数列是等差数列，公差，
由，解得．
则
故当取得最小值时，的值是6．
故选A．
7．【答案】C
【详解】由题意可得 ①，
所以时， ②，
①-②得，所以，
所以.
故选C.
8．【答案】B
【详解】，，
故选B.
9．【答案】ABC
【详解】设公差为，则，
所以，解得，故A正确；
，故B正确；
，所以当时，最大，故C正确，D错.
故选ABC.
10．【答案】AB
【详解】由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；
记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知，
即.
故选AB.
11．【答案】BCD
【分析】先求得的坐标，然后求长方形的面积，由此对选项进行分析，从而确定答案.
【详解】易知，
所以，故C正确；
所以，故B正确；
第10个倒“L”形的面积为，故A错误；
因为，
所以，故D正确.
故选BCD.
【方法总结】解新定义题型的步骤：
(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
(2)重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
12．【答案】
【详解】解：由题意得：，，，
所以切线方程为，即．
13．【答案】
【详解】因为，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，即.
14．【答案】1350
【详解】由题意知数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，
被2除后的余数构成一个新数列：1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，⋯，
即数列是以3为周期的数列，一个周期内的三项和为2，
因为，故数列的前2025项的和为.
15．【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据等差数列的前项和公式，求公差，即可求解通项公式；
（2）首先求等比数列的基本量，再代入求和公式.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，得，
所以；
（2）设等比数列的首项为，公比为，
所以所以，，
所以，
所以.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列，
所以.
设数列的公比为，则，
解得，或（舍），
所以.
（2）由（1）知，
因为，所以，
设数列的前项和为，
则
，
即数列的前项和.
17．【答案】（1）（2）2
【详解】（1），两边求导得，
当时，，解得，
所以，
所以
（2）设上的切点为，，
故切线的斜率，切线方程为，
因为过原点，所以，解得，
切线斜率为；
，设切点为，
则，故，
切线方程又过原点，代入可得
解得.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知：当时，，
；
当时，满足；
综上所述：.
（2）由（1）知：，
.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，所以，
所以是公差为1的等差数列；
（2）①因为，所以，所以，
，
，
，
两式相减得，
，
．
②对任意的恒成立，
，则对任意的恒成立，
令，
为递减数列，则当时，．