内蒙古呼和浩特市第二中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份内蒙古呼和浩特市第二中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共7小题）
1．设数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗，并在500名志愿者身上进行了人体注射实验，发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答.若这些志愿者的某免疫反应蛋白的数值（单位：）近似服从正态分布，且在区间内的人数占总人数的，则这些志愿者中免疫反应蛋白的数值不低于20的人数大约为（ ）
A．30B．60C．70D．140
3．已知为平行四边形外的一点，且，则（ ）
A．B．与同向的单位向量为
C．D．平面的一个法向量为
4．已知在等差数列中，，则（ ）
A．8B．16C．20D．17
5．已知随机变量的分布列为，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列的通项公式为，则中的项最大为（ ）
A．B．0C．D．2
7．若数列满足，，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
8．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时10min，样本方差为9；骑自行车平均用时15min，样本方差为1.已知坐公交车所花时间与骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出和的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%以上的可能性会迟到
C．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车
D．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车
9．甲、乙、丙等人排成一列，下列说法正确的有（ ）
A．若甲和乙相邻，共有种排法B．若甲不排第一个共有种排法
C．若甲与丙不相邻，共有种排法D．若甲在乙的前面，共有种排法
10．某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知小李参加了3次课外实践活动，则（ ）
A．“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件
B．若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为
C．若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为
D．“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立
11．一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球4个，白球1个，黑球3个，则下列选项正确的有（ ）
A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望
B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则
C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有种，则数学期望
D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为，则数学期望
三、填空题（本大题共3小题）
12．在二项式的展开式中，的系数为 ．
13．已知抛物线：（其中为常数）过点，则抛物线的焦点到准线的距离等于 .
14．把半圆弧分成等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从中任取个不同的三角形，则这个不同的三角形中钝角三角形的个数不少于的概率为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
16．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点是的中点．

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.
18．某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；
(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：
19．定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集,，且，那么称子集族为集合的一个划分．已知集合．
（1）记表示集合的所有2划分的个数，求出
（2）若，从集合的所有划分中任取一个，求这个划分恰好为3划分的概率．
（3）设集合为集合的非空子集，随机变量表示子集中的最小元素．若，求随机变量的分布列和数学期望．
参考答案
1．【答案】C
【详解】当时，.
当时，.
故选C.
2．【答案】B
【详解】因为，且在区间内的人数占总人数的，
故，
所以，
所以这些志愿者中免疫反应蛋白的数值不低于20的人数大约为.
故选B.
3．【答案】C
【详解】对于A，由题，又，
因为，所以与不平行，A错误；
对于B，因，则，
得与同向的单位向量为，故B错误；
对于C，由图可得，故C正确；
对于D，由，设，
则，
则，与不垂直，这与法向量定义不符，故D错误.
故选C.
4．【答案】A
【详解】由等差数列的性质可得：，
解得，
故选A．
5．【答案】C
【详解】由题设，
所以.
故选C
6．【答案】D
【详解】.
当时，函数单调递减，
则当时，数列单调递减，
所以中的项最大为.
故选D.
7．【答案】A
【详解】因为，，
所以，
，
，
，…，
可得，
则．
故选A.
8．【答案】ACD
【详解】由题意知，坐公交车所花时间，骑自行车所花时间，A正确.
对于B，若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，有50%以上的可能性会超过10min，即8点之后到校会迟到，错误；
对于C、D，
由，
且，
应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具，
小明早上7：42出发，有18min可用，则应选择骑自行车，故C正确；
小明早上7：47出发，有13min可用，则应选择坐公交车，故D正确；
故选ACD.
9．【答案】ACD
【分析】利用捆绑法可判断A选项；利用特殊元素优先可判断B选项；利用插空法可判断C选项；利用组合法可判断D选项.
【详解】甲、乙、丙等人排成一列，
对于A选项，若甲和乙相邻，将甲和乙捆绑，形成一个大元素，与其余四个元素排序，
共有种排法，A对；
对于B选项，若甲不排第一个，则甲有种排法，其余个人全排，
共有种，B对；
对于C选项，若甲与丙不相邻，将除甲和丙以外的人全排，
然后将甲与丙插入人所形成的个空中的个空，
所以，共有种排法，C对；
对于D选项，若甲在乙的前面，只需在个位置中先选两个位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，
然后将其余个人全排，共有种排法，D对.
故选ACD.
10．【答案】AB
【详解】A项，事件“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”不可能同时发生，所以互斥，故A正确；
B项，若第一次评定为不合格，设事件“第次评定为合格”，.
则事件“小李获得0.4学分”即事件，
由概率乘法公式得，
，故B正确；
C项，若第一次评定为合格，设事件“第次评定为合格”，“第次评定为不合格”，.
则由全概率公式得，
，故C错误；
D项，由C项知；
若第一次评定为不合格，设事件“第次评定为合格”，“第次评定为不合格”，.
由全概率公式可得
；
即；
所以，即第一次评定是否合格对第三次评定合格的概率有影响，
故“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”不相互独立，故D错误.
故选AB.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，的可能值：0，1，2，3，
则，故A正确；
对于B，的可能值：0，1，2，3，取球一次取到黑球的概率为，
因取球一次有取到黑球和没取到黑球两个结果，
因此，，，故B错误；
对于C，的可能值：1，2，3，

则，故C正确；
对于D，的可能值：0，1，2，3，
因为对应的事件为：红或白红，所以，
因为对应的事件为：黑红或黑白红或白黑红，
所以，
因为对应的事件为：黑黑红或黑黑白红或白黑黑红或黑白黑红，
所以，
所以，
则，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】由二项式展开式的通项为，
令，解得，所以展开式中的系数为.
13．【答案】
【详解】把代入，解得，从而抛物线的方程为，
所以焦点到准线的距离为.
14．【答案】
【详解】如下图所示，设为半圆弧的直径，、、为半圆弧另外的三个四等分点，
从、、、、这个点任取个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为.
其中直角三角形有：、、，共个，钝角三角形的个数为，
由题意可知，，，
因此，所求概率为.
15．【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【详解】（1）因为，，所以，即，
所以，即数列是首项为1，公差为3的等差数列.
（2）由（1）可知，数列是首项为1，公差为3的等差数列，
所以，所以.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因，点是的中点，则,
因平面平面，且平面平面, 平面，故平面，又平面,故.
（2）

如图，取中点,连接，由（1）知平面，，可得,
因，故,则可分别以为轴正方向建立空间直角坐标系.
又，，，，则,
于是，,
设平面的一个法向量为，则，故可取，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
17．【答案】(1)；
(2)是定值，理由见解析.
【分析】（1）根据已知条件短轴一个端点到右焦点的距离为长半轴，再利用离心率公式即可求解.
（2）根据已知条件设出直线的方程，与椭圆方程联立方程组，消去得关于的一元二次方程，利用韦达定理得出交点横坐标的关系，结合向量的关系得出坐标的关系即可求解.
【详解】（1）由题可得,，又，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题可得直线斜率存在，由（1）知设直线的方程为，则,消去，整理得：，
设，则，，
又，则，由可得，所以.
同理可得，
所以
所以，为定值.
18．【答案】(1)填表见解析；性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系
(2)，
(3)分布列见解析；期望为
【详解】（1）根据统计表格数据可得列联表如下：
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1.
（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率
即可得，
故，．
（3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以的所有可能取值为；
且服从超几何分布：
,
,
故所求分布列为
可得.
19．【答案】（1）；
（2）；
（3）分布列见解析；期望为.
【详解】（1）2划分是将集合分成两个非空、互不相交的子集和，且，
每个元素可以属于或，但两个子集都不能为空，总共有种方式（排除全在或全在的情况）．
但每个划分和被重复计算了2次，
因此实际数目为：
（2）当时，2划分的个数为：；
3划分的个数为：；
4划分的个数为：；
5划分的个数为：1．
记"从集合M的所有划分中任取一个，这个划分恰好为3划分"，则.
（3）集合的非空子集的个数为，所以集合共有种可能．
当时，子集必须包含这样的子集数目为，，解得．
当，最小元素为的子集为集合的子集与集合的并集，则，且也满足，
随机变量的所有可能取值为，则，，，，
.
一周参加体育锻炼次数
0
1
2
3
4
5
6
7
合计
男生人数
1
2
4
5
6
5
4
3
30
女生人数
4
5
5
6
4
3
2
1
30
合计
5
7
9
11
10
8
6
4
60
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合计
21
39
60
0
1
2
3