内蒙古呼和浩特市第二中学2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试卷（含解析）

这是一份内蒙古呼和浩特市第二中学2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．将210°化成弧度为（ ）
A．B．C．D．
2．已知是角的终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，，则角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的最小正周期为（ ）
A．2πB．4πC．6πD．8π
5．若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．将函数的图象先左移，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的，所得图象的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数则的最大值为（ ）
A．1B．3C．D．
8．函数的最大值和最小值分别为（ ）
A． B．C．，0D．
9．已知函数（其中，，）的图象关于点成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为，则对于下列判断：
①直线不是函数图象的一条对称轴；
②点是函数的一个对称中心；
③函数与（）的图象的所有交点的横坐标之和为.
其中正确的判断是（ ）
A．①②③B．①③C．②③D．①②
10．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为( )
A．B．
C．D．
二、多选题
11．下列各函数中，最小正周期为的是（ ）
A．B．
C．D．
12．下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
13．关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．在区间单调递增
C．的最小正周期为D．的最大值为2
三、填空题
14．一个扇形半径为4，圆心角为，则扇形的面积是 ．
15．若，则 .
16．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中“同形”函数有 ．（选填序号）
四、解答题
17．对下列各式子化简并求值.
（1）；
（2）.
18．已知函数
（1）试用“五点法”画出在时函数的简图；
（2）求时的取值范围.
19．已知函数．
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）设，且，求的值．
20．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离．为圆周上一点，且．点从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动（这里的角均指逆时针旋转角）．
（1）求秒钟后，点到直线的距离用的解析式；
（2）当时，求的值
21．已知.
（1）求的单调递增区间；
（2）若对任意的恒成立，求a的取值范围.
22．如果一个实数是有理数，或是对有理数进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，或是对这些结果继续进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，则称这个实数为可解数.如果一个角的正弦值和余弦值都是可解数，则称这个角为可解角.如：30°，45°，120°角都是可解角.
（1）判断，，是否为可解数（无需说明理由）；
（2）证明：角是可解角；
参考答案
1．【答案】D
【详解】，
故选D.
2．【答案】B
【详解】因为是角的终边上一点，
所以，
则，
故选B.
3．【答案】C
【详解】因为，则，
又因为，故角的终边所在的象限是第三象限.
故选C.
4．【答案】B
【详解】由题意可知时，取得最大值，则，解得，由于，则，故，最小正周期.
故选B.
5．【答案】D
【详解】因为，，，，
所以，，
所以
，
则．
故选D.
6．【答案】D
【详解】根据三角函数的平移伸缩变换法则得到答案.
【详解】向左平移个单位，故变为，
纵坐标不变，横坐标缩为原来的，变为.
故选.
7．【答案】D
【详解】化简，利用正弦函数的性质求出，利用换元法以及二次函数的单调性即可求解.
【详解】因为，所以
令，
则,二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
，
所以的最大值为
故选D
8．【答案】D
【详解】设，则，则
，
由，得，所以，
所以当，即时，；当，即时，.
故选D.
9．【答案】A
【详解】因为的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，，且，，，.
故.
又图象最低点为，
即.又，. .
对①，当时，不是正弦函数的对称轴.故①正确.
对②，当时，，所以点是函数的一个对称中心，故②正确.
对③，，，所以函数与有6个交点.
设交的横坐标分别为，根据图象以及五点作图法的方法可知，当时，解得为6个横坐标的对称轴，
.故③正确.
综上，①②③正确.
故选A
10．【答案】B
【详解】对于A，，故为偶函数，图象应该关于y轴对称，与已知图象不符；
对于C，也为偶函数，故排除AC；
对于D，，与已知图象不符，故排除D．
对于B，，故f(x)关于x=1对称，f（0）=0，均与已知图象符合，故B正确．
故选B．
11．【答案】BC
【详解】对于A选项，函数的最小正周期为；
对于B选项，函数的最小正周期为；
对于C选项，函数的最小正周期为；
对于D选项，函数的最小正周期为.
故选BC.
12．【答案】ABD
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选ABD
13．【答案】AD
【详解】对于选项A：，所以是偶函数，故选项A正确；
对于选项B：当时，，因为，所以，
所以在区间单调递减，故选项B不正确；
对于选项C：当时，，
当时，，
因为是偶函数，图象关于轴对称，可得的图象如图所示：
由图知：不是周期函数，故选项C不正确；
对于选项D：由的图象可知：的最大值为2，故选项D正确，
故选AD.
14．【答案】
【详解】由题扇形半径为，圆心角为，
所以扇形的面积是.
15．【答案】
【详解】由，得，
所以
.
16．【答案】①②
【详解】由题意，，，
四个函数的最小正周期均相同，但振幅相同的只有①，②，
所以“同形”函数有①②.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）原式.
（2）原式
.
18．【答案】（1）见解析
（2），
【详解】（1）
（2）由，则，解得，，
即，.
19．【答案】（I）（II），或
【详解】（Ⅰ）由，得，．
所以 函数的定义域是．
（Ⅱ）依题意，得，所以，
整理得，所以，或．
因为 ，所以，由，得，；由，得，，所以，或．
20．【答案】（1）
（2）或.
【详解】（1）由题意可得周期为，则秒钟后，旋转角为，
此时点的横坐标为，
所以点到直线的距离为；
（2）当时，，
可得旋转了或，
解得或.
21．【答案】（1）（）
（2）
【详解】（1）化简得
，
令，，解得，
所以单调递增区间为，.
（2）由（1）可得，
即，对任意的恒成立，
只需要即可，
，
令，，为减函数，
所以当时，，
所以.
22．【答案】（1），是可解数；不是可解数.
（2）证明见解析
【详解】（1），是可解数；不是可解数.
（2）设，则，所以，
又
因为，所以， ，
得，所以是可解数，
又也是可解数，
所以角是可解角，证毕.