2022-2023学年内蒙古自治区呼和浩特市第二中学高一下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年内蒙古自治区呼和浩特市第二中学高一下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．已知是第三象限角，那么是（    ）

A．第二象限角 B．第三象限角

C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角

【答案】D

【分析】先写出的范围，再计算出的范围，分是奇数和偶数讨论即可求解.

【详解】因为是第三象限角，所以，

则，

当时，，此时是第二象限角，

当时，，

即，此时是第四象限角，

综上所述：是第三象限角，是第二或第四象限角，

故选：D.

2．已知向量且，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：首先由向量平行确定向量的坐标，再求向量的模长.

详解：因为，所以，即；

所以；

所以.

点睛：1、本题考查向量共线、向量的坐标运算等知识，意在考查学生的分析、计算能力.

解决本题的关键在于熟练掌握向量平行的坐标表示；

熟记向量坐标的加减运算与向量模长的坐标运算.

3．若点在角的终边上，则的值为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：因为，所以，故选D．

【解析】任意角的三角函数值．

4．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为2，圆心角为，则此弧田的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】过点作，垂足为，求得，，分别求得扇形的面积和的面积，结合，即可求解.

【详解】解：由弧田所在圆的半径为2，圆心角为，

如图所示，过点作，垂足为，

可得，

可得扇形的面积为，的面积为 ，

所以此弧田的面积为.

故选：A.

5．若,则等于（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由，可得，

.

故选：D.

6．定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知可函数既是奇函数又是周期函数，且的最小正周期为可得，进而得到答案.

【详解】因为函数既是奇函数又是周期函数,且的最小正周期为，

，

又当时，，

，

.

故选：D.

7．函数（其中，，）的图象如图所示，为得到的图象，只需将图象上所有的点（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【分析】由函数图象可求出，由周期求出，根据最值点求出的值，可得函数的解析式，再利用三角函数的图象变换规律，即可得到结果．

【详解】由图象可知，，函数周期为，所以；

将点代入，得，

所以，又，

所以，所以，

所以要得到只需将向右平移个长度单位.

故选：D.

8．在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（    ）

A．. B． C． D．

【答案】A

【分析】利用正六边形的几何性质和向量数量积的几何意义即可求得的取值范围.

【详解】由，

可得为与在方向上的投影之积.

正六边形ABCDEF中，以D为圆心的圆与DE交于M，

过M作于，设以C为圆心的圆与垂直的

切线与圆切于点N与延长线交点为，

则在方向上的投影最小值为，最大值为,

又，，

则，

则的取值范围是.

故选：A

二、多选题

9．下列说法中，错误的有（    ）

A．若，则

B．若，则A，B，C，D四点一定是平行四边形的四个顶点

C．零向量与单位向量平行

D．若，则与垂直的单位向量的坐标为

【答案】ABD

【分析】根据零向量的性质，可判定A不正确；根据四点可能共线，可判定B不正确；根据零向量的定义，可判定C正确；根据向量的垂直坐标表示和单位向量的定义，列出方程组，可判定D错误.

【详解】对于A中，由，只有当时，才能得到，所以A不正确；

对于B中，由，只有当四点不共线时，才能得到四点一定是平行四边形的四个顶点，所以B不正确；

对于C中，根据零向量的定义，可得零向量与单位向量平行，所以C正确；

对于D中，设与向量垂直的单位向量为，可得，

解得或，

所以与垂直的单位向量的坐标为或，所以D错误.

故选：ABD.

10．在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则为锐角三角形

B．若为锐角三角形，则

C．若，则为等腰三角形

D．若，则是等腰三角形

【答案】BD

【分析】对于A，用余弦定理可以判定；对于B，利用正弦函数单调性及诱导公式即可判定；对于C，由正弦函数的性质结合三角形内角即可判定；对于D，利用正弦定理及两角和的正弦公式即可判定.

【详解】对于A，由余弦定理可得，即，但无法判定A、C的范围，故A错误；

对于B，若为锐角三角形，则有，由正弦函数的单调性可得，故B正确；

对于C，若，由正弦函数的性质可得或，又，故或，所以C错误；

对于D，若，由正弦定理可得，结合两角和的正弦公式得

又，所以，故，所以D正确.

故选：BD

11．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则点是边BC的中点

B．若，则点是边BC的三等分点

C．若，则点是边的重心

D．若，且，则的面积是面积的

【答案】ACD

【分析】根据向量的平行四边形法则，可判定A正确；由，得到，可判定B错误；取的中点，化简得到，可判定C正确；由，且，得到，设，得到三点共线，且，进而可判定D正确.

【详解】对于A中，根据向量的平行四边形法则，若，

则点M是边BC的中点，所以A正确；

对于B中，由，则，即，

则为的中点，所以B错误；

对于C中，如图所示，由，可得，

取的中点，可得，则点为的重心，所以C正确；

对于D中，由，且，

所以且，

设，可得，且，所以三点共线，

因为，所以为的一个三等分点（靠近），如图所示，

所以，即则的面积是面积的，所以D正确.

故选：ACD.

12．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下记d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则（    ）

A．当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4m

B．盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点

C．盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒

D．盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面

【答案】ABC

【分析】建立平面直角坐标系，设，结合题目条件求出，再对四个选项一一作出判断.

【详解】以为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建立平面直角坐标系，

如图，则m，则，故，

筒车按逆时针方向每分钟转2圈，故筒车转1圈的时间为30秒，即，

解得，

因为，故当秒时，筒车第一次到达最高点，此时，故B正确；

同理可得，当秒时，筒车第一次到达最低点，此时，

设，

则，解得，

故，又当时，，

故，解得，取，

故，

A选项，当时，，

即当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4m，A正确；

C选项，令，

当时，盛水桶第二次距离水面4m，解得，

故盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒，C正确；

D选项，令，解得，，

故盛水桶入水后至少需要10秒才可浮出水面，D错误.

故选：ABC

三、填空题

13．已知向量．若，则              ．

【答案】/

【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】由题意知：，解得.

故答案为：.

14．在中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则         .

【答案】

【分析】在中，根据正弦定理可求出，从而可得，即得．

【详解】如图，在中，，，

由正弦定理可得，

，又，

，，

又为的平分线，且，

，又，，

．

故答案为：2．

15．已知，，则的取值范围是      ．

【答案】

【分析】根据给定条件，利用向量的三角形不等式求解作答.

【详解】由，得，而，

于是，解得，

所以的取值范围是.

故答案为：

16．已知向量与的夹角为，且，则与夹角的余弦值为      ．

【答案】或.

【分析】设向量与的夹角为，根据向量的运算法则和向量的夹角公式，列出关于的方程，即可求解.

【详解】设向量与的夹角为，由，，

可得，

且，

又因为向量与的夹角为，可得，

即，可得，

解得或.

即与夹角的余弦值为或.

故答案为：或.

四、解答题

17．已知函数．

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数的最小值、最小值点及对称中心．

【答案】(1)

(2)最小值为，最小值点为；对称中心为.

【分析】（1）根据三角恒等变换的公式，化简得到，结合最小正周期的计算公式，即可求解；

（2）根据正弦型函数的图象与性质，即可求解.

【详解】（1）解：由函数

，

所以函数的最小正周期为.

（2）解：由函数，

当时，即，此时，

即函数的最小值为，最小值点为；

令，解得，

则函数的对称中心为.

18．某同学用“五点法”画函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

  (1)请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）；

(2)根据表格中的数据作出在一个周期内的图象；

(3)求函数在区间上的值域．

【答案】(1)完善表格见解析，；

(2)作图见解析；

(3).

【分析】（1）利用表格中的数据依次求、，进而求出，即得解析式，再由解析式补全表格作答.

（2）由表格中的数据，描点连线作图即可.

（3）由自变量所在区间，求出相位所在区间，再利用正弦函数的性质求解作答.

【详解】（1）由表格知，，函数的周期，则，

显然，解得，

所以，

数据补全如下表：

（2）由（1），得在一个周期内的图象，如图，

（3）当时，则，

因此，有，

所以函数在区间上的值域为.

19．已知角，为锐角，，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用倍角公式及同角三角函数的基本关系求解即可；

（2）先由同角三角函数的基本关系得出，再根据两角和与差的正切公式即可求解．

【详解】（1）因为，

所以．

（2）因为，均为锐角，所以，

所以，

所以，

因为为锐角，所以，

又β为锐角，所以，  

则，

所以．

20．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求角A；

(2)若的面积为，求a的最小值.

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）根据正弦定理边化角可得.然后根据两角和的正弦公式化简整理可得，根据的范围，即可得出答案；

（2）根据已知可求得.进而根据余弦定理，结合基本不等式，即可得出的范围.

【详解】（1）由，得.

又，所以，

所以，

整理得，

因为，所以，故，

又，所以.

（2）因为的面积，所以.

由余弦定理可得，

当且仅当时等号成立.

即，.

故的最小值为3.

21．某地帆赛举行之前，为确保赛事安全，海事部门举行安保海上安全演习.为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为2千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该航船在A处，此时测得，6分钟后该船行驶至B处，此时测得，，，求船的速度是多少千米/分钟.

【答案】千米/分钟.

【分析】先根据条件求出BD，BC再在△ACD中用正弦定理解出AC，最后在△ACB中，用余弦定理即可解出AB，进而求出速度.

【详解】由已知条件可得中，，，

∴，.

在中，，，，

由正弦定理，

∴.

在中，根据余弦定理可得，

则，，，

∴，

∴，即船的速度是千米/分钟

22．已知函数，其中.若对恒成立，且，

（1）求的值；

（2）求函数在上的单调递增区间；

（3）若函数在上有两个不相等的实数根，，试求实数的取值范围，并求的值.

【答案】（1）；（2）单调递增区间为：，；（3），或.

【分析】（1）直接利用和，进一步求出的值；

（2）根据正弦函数的单调性得出不等式，解出增区间，然后再与求交集即可；

（3）令，然后结合的图像即可得到答案.

【详解】（1）∵对任意恒成立，∴，

若，即，，，

∵，∴.当时，不符合题意舍去.

若，即，，，

∵，∴.当时，，故.

（2）∵，∴当，

即时为增函数.

设，，则，

∴的单调递增区间为：，.

（3）令，∵，∴，如图，

由的图像可知：，

设方程的两根分别为：，，则或，

即或，所以或.