江西省上饶市余干县私立蓝天中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份江西省上饶市余干县私立蓝天中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．数列的第9项是（ ）
A．B．19C．D．17
2．已知数列的通项公式为，则146是该数列的（ ）
A．第10项B．第11项C．第12项D．第13项
3．已知等差数列中，，则（ ）
A．13B．16C．15D．14
4．已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前5项和为（ ）
A．11B．16C．D．
5．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．52B．104C．112D．120
6．已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．20B．21C．22D．23
7．在数列中，，点在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，数列满足，且为正整数）．则（ ）
A．－1B．1C．D．
二、多选题
9．已知数列的前项为、、、、，则的通项公式可能为（ ）
A．B．
C．D．
10．若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是数列中的项
C．数列单调递减
D．数列前7项和最大
11．设数列的前项和为的前项和为，满足，且且，则（ ）
A．是等差数列B．时，的最大值为26
C．若，则数列是递增数列D．若，则
三、填空题
12．数列是以2为首项，3为公差的等差数列，则 ．
13．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是 ．
14．小明用数列记录某地区2023年8月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记，当第k天没下过雨时，记，他用数列记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记，当预报第k天没有雨时，记记录完毕后，小明计算出，那么该月气象台预报准确的总天数为 .
四、解答题
15．已知等差数列的前项和为，满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求．
16．已知等比数列满足，，为数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的值．
17．已知数列中，，，．
（1）求，的值；
（2）求的前2021项和．
18．设数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．数列中，，.前项和满足.
（1）求（用表示）；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）若，现按如下方法构造项数为的有穷数列，当时，；当时，.记数列的前项和，试问：是否能取整数？若能，请求出的取值集合：若不能，请说明理由.
参考答案
1．【答案】D
【详解】观察数列，可得其通项公式可以为，
所以.
故选D.
2．【答案】C
【详解】依题意，，而，解得，
所以146是该数列的第12项.
故选C
3．【答案】D
【详解】由，得，故，
所以.
故选D.
4．【答案】A
【详解】根据题意，.
故选A
5．【答案】A
【详解】.
故选A.
6．【答案】B
【详解】因为为等比数列，其前n项和为，
故为等比数列，故为等比数列，
故，故，
故选B.
7．【答案】C
【详解】因为，点在直线上，
则，即，
可知数列是以首项为1，公差为2的等差数列，
所以.
故选C.
8．【答案】C
【详解】由，
，
故选C
9．【答案】ABC
【详解】观察数列的前项可知，的通项公式可能为，
因为，故，
若，则，不合乎题意.
故选ABC.
10．【答案】ACD
【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可.
【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确，
由，得，故B错误，
因为，所以数列单调递减，故C正确，
由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确.
故选ACD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，由题意，解得，
所以，，
当时，，
当时，有，故，故A正确；
对于B， 令，解得，故B正确；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，若，则，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】依题意，，
故得.
13．【答案】
【详解】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了
.
14．【答案】
【详解】由题意可知，气象台预报准确时，不准确时，，
设其中有天准确，即等式左边有个，个，则，解得，
所以准确天数为.
15．【答案】（1）
（2）20
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，解得，所以.
（2）由（1）可得，
所以.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设等比数列的公比为，则，
解得：，
．
（2），
，
解得：．
17．【答案】（1）；；（2）．
【详解】（1）当时，，所以；
当时，，所以；
（2）当时，，所以；
由知：，所以，故数列是以4为周期的周期数列，
即，，，，
所以．
18．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为，所以（，且），
则（，且）.
即（，且）.
因为，所以，即.
所以是以为首项，为公比的等比数列.
故.
（2），所以.
所以，
故 .
19．【答案】（1）
（2）证明见详解.
（3）能取整数,此时的取值集合为.
【详解】解：（1）令,则,
将,代入,有.
解得：.
（2）由
得,
化简得,又,
是等比数列.
（3）由,,
又是等比数列,
,
,
①当时,
依次为,
.
②当时,
,
,
,
要使取整数,需为整数,
令,,
,要么都为整数,要么都不是整数,
又
所以当且仅当为奇数时,为整数,
即的取值集合为时,取整数.