湖南省汨罗市第二中学2024−2025学年高二下学期4月期中 数学试题（含解析）

这是一份湖南省汨罗市第二中学2024−2025学年高二下学期4月期中 数学试题（含解析），共35页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）．
A．B．C．D．2
2．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
3．等差数列中，为其前项的和，若，，则（ ）
A．50B．100C．400D．500
4．甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（ ）
A．3种B．6种C．9种D．12种
5．下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量服从正态分布，且，则；
B．若事件相互独立，，则；
C．对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是；
D．若决定系数越大，则两个变量的相关性越强.
6．在平面直角坐标系中，为曲线上位于第一象限内的一点，为在轴上的射影，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．1C．D．
8．已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知随机变量服从二项分布，，下列判断正确的是（ ）
A．若，则B．
C．若，则D．的最大值为
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．精确到0.01的近似值为0.85
D．除以15的余数为3
11．如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．关于直线对称
B．的弦长最大值大于
C．直线被截得弦长的最大值为
D．的面积小于
三、填空题（本大题共3小题）
12．命题.写出该命题的否定 ．
13．已知，则 .
14．已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为 .
四、解答题（本大题共6小题）
15．已知等差数列满足：，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前n项和为，求证：；
16．如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
17．甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表：
若三人各自比赛时互不影响．
（1）求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率；
（2）在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率．
18．在平面直角坐标系中，，，若点P是平面上一动点，且的周长为，设动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线与曲线C交于A，B两点，且，，求k的值.
19．已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点．
（1）求椭圆方程；
（2）设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标；
（3）点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程．
20．近年来，宠物逐渐成为人们的精神寄托，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为．
（1）把频率作为概率，从中国家庭中随机取4户，求这4户中至少有3户养宠物的概率；
（2）随机抽取200名成年人，得到如下列联表：
是否有的把握认为是否养宠物与性别有关？
（3）记2018-2023年的年份代码依次为1，2，3，4，5，6，中国宠物经济产业年规模为（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得关于的回归方程为，且．求相关系数，并判断该回归方程是否有价值．
参考公式：，其中，时有99%的把握认为变量有关联．
回归方程，其中，，相关系数，若，则认为与有较强的相关性．
参考答案
1．【答案】A
【详解】由，，得．
故选A．
2．【答案】B
【详解】对于A，，是反比例函数，是奇函数又在区间上单调递减，不符合题意；
对于B，，是幂函数，既是奇函数又在区间上单调递增，符合题意；
对于C，，是偶函数，不是奇函数，不符合题意；
对于D，，其定义域为，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意．
故选B．
3．【答案】D
【详解】，
故选D
4．【答案】C
【详解】由题意得，甲只选一门，有种选法，乙可以选一门或者选两门，有种选法，
故不同的报名学习方式有种，
故选C．
5．【答案】B
【详解】对于A选项，随机变量服从正态分布，均值，
正态曲线的对称轴为，
，，
由对称性知，，，故A正确；
对于B选项，若事件相互独立，
则，故B错误；
对于C选项，经验回归方程过样本中心点，将代入中得，
，解得，故C正确；
对于D选项，决定系数越大，回归模型的拟合效果越好，两个变量的相关性越强，故D正确.
故选B.
6．【答案】B
【分析】设，则，构造函数，利用导数求出函数取得最大值时，点的坐标，进而可得出答案.
【详解】设，
则，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
又，所以此时最大，
此时，
所以的最大值为.
故选B.
【思路导引】假设，则，构造函数，求导并计算出函数最大值，结合题目条件得到，从而计算出的最大值.
7．【答案】D
【详解】令，
则，
故选D.
8．【答案】A
【详解】的定义域为，
，所以，
所以的图象关于对称，
由，所以，
即，
由于，所以在上单调递增，
所以，解得，
故选A
9．【答案】ABD
【详解】因为，
由，解得，所以，故A正确．
，故B正确．
由，解得或，所以或，故C错误．
，
设函数，
则．
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以的最大值为，故D正确．
故选ABD
10．【答案】AC
【详解】在中，
令，则，故A正确；
因为，所以，
所以，故B错误；
，
取展开式前3项，则精确到0.01的近似值为．故C正确；
，其中，
所以能被15整除，
所以除以15的余数为1，故D错误．
故选AC．
11．【答案】ACD
【详解】对于A：由，
所以函数的反函数为，
所以关于直线对称，故A正确；
对于B：有.
设，则，
由.
由，
所以在上单调递减，在上单调递增.
且，
所以存在，使得，另.
所以曲线与直线有两个交点，设右侧的交点为，左侧的交点为，
则，所以，
结合图象可得，的弦长最大值小于，故B错误；
对于C：因为直线与直线垂直，
设为曲线的切线，由，
所以切点为，所以切线方程为.
直线与的距离为.
所以直线被截得弦长的最大值为，即.故C正确；
对于D：由，所以B中.
过点做的切线，再做该切线关于对称的直线，
过，做切线的垂线，与两切线分别交于，
如图所示，构成矩形，
该矩形将图形包含在内，所以的面积小于矩形的面积.
又，
所以矩形的面积为.所以D正确.
故选ACD.
12．【答案】，使得
【详解】命题，则该命题的否定是：，使得.
13．【答案】
【详解】.
14．【答案】
【详解】因为，所以
令函数，则在上单调递减，
所以在上恒成立，所以，
即.令函数，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，，当时，，
且由题干可知，，即，
若，则恒成立，
当时，恒成立等价于当时，，
故时，恒成立，故.
令函数，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值，所以；
综上所述，正实数的取值范围为.
15．【答案】(1)或;
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据等比数列结合等差数列的通项公式计算求解即可；
（2）应用裂项相消法求和得出，再结合单调性证明即可.
【详解】（1）设数列的公差为d，依题意：成等比数列，
所以，解得：或
当时，，当时，
所以数列的通项公式为或
（2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知
则
所以，故
而随n的增大而增大，则，故成立.
【方法总结】裂项相消法
把数列和式中的各项分别裂开后，可以消去一部分，从而计算和的方法，适用于通项为1an·an+1的前n项和，其中{an}为等差数列，1an·an+1＝1d1an−1an+1.
常见的拆项方法：
①12n−12n+1＝1212n−1−12n+1；
②1nn+1n+2＝12[1nn+1－1n+1n+2]；
③1nn+k＝1k1n−1n+k；
④kanan−1an+1−1＝ka−1(1an−1－1an+1−1)(a>0，a≠1)．
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点，连接，，
则且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
（2）取的中点，连接，
因为四边形为等腰梯形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
过点作直线的垂线交于点，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为为直径，所以，
所以，，．
在等腰梯形中，，，
所以，
所以，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则
所以令，则，，
所以．
设平面的法向量为，则，
取．
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）记事件“甲通关”、 “乙通关”、 “丙通关”，
则，.
甲、乙两人至少有1人“通关”的对立事件为甲、乙两人都不“通关”，
所以,甲、乙两人至少有1人“通关”的概率等于.
故甲、乙两人至少有1人“通关”的概率为.
（2）由题意得.
事件“三人小组获得团体奖”，
则
.
甲乙丙同时通关的概率.
所以.
故该三人小组获得“团体奖”的条件下，甲乙丙同时通关的概率为.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知：，
.
由椭圆的定义知，动点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为4的椭圆.
可设方程为，
则，，解得，则，
故曲线的方程为.
（2）联立方程组，消去，整理可得.
则.
设，，的中点为，
则由韦达定理可知：，.
，.
∵，，则，如图所示.
又，
则，即，解得.
19．【答案】（1）
（2）或
（3）
【详解】（1）由题意，，则，
椭圆方程为：
（2）如图，
设，则，
对，令，
所以由相似三角形可得：，
所以，
又因为，所以，，
解得或，所以对应的分别为或，
所以或．
（3）设，
则，
则．
又因为，
所以，则，
设，直线倾斜角为，直线倾斜角为，
所以，
则，
因为，所以，此时，
所以直线方程为．
20．【答案】（1）
（2）有关联
（3），有价值
【详解】（1）由题意得4户中至少有3户养宠物的概率为．
（2）因为，
所以有的把握认为是否养宠物与性别有关联．
（3）由的取值依次为，得，
因为回归方程为，
所以，
所以，
所以．
因为，所以与有较强的相关性，该回归方程有价值．
甲
乙
丙
第一轮回答正确的概率
第二轮回答正确的概率
成年男性
成年女性
合计
养宠物
38
60
98
不养宠物
62
40
102
合计
100
100
200