湖南省汨罗市第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省汨罗市第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题（Word版附解析），文件包含湖南省汨罗市第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题原卷版docx、湖南省汨罗市第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
1. 已知 的倾斜角为 45°， 经过点 ．若 ，则实数 m 为（ ）
A. 6 B. －6 C. 5 D. －5
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂直关系得到 ，由此计算出 的值.
【详解】因为 ， ，且 ，
所以 ，解得 ，
故选：B.
2. 若直线 与圆 相切，则实数 的值为（ ）
A. 或 B. 1 或
C. 或 3 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得.
【详解】由 圆心为 ，半径为 ，
即 ，
则 ，
解得 或 .
故选：C.
3. “ ”是“方程 为双曲线方程”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
第 1页/共 20页
【答案】C
【解析】
【分析】先求出方程 表示双曲线时 满足的条件，
然后根据“小推大”的原则进行判断即可.
【详解】因为方程 为双曲线方程，所以 ，
所以“ ”是“方程 为双曲线方程”的充要条件.
故选：C.
4. 已知数列 是无穷项等比数列，公比为 ，则“ ”是“数列 单调递增”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列的首项、公比的不同情形，分析数列的单调性，结合充分条件、必要条件得解.
【详解】若 ， ，则数列 单调递减，故 不能推出数列 单调递增；
若 单调递增，则 ， ，或 ， ，不能推出 ，
所以“ ”是“数列 单调递增”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
5. 若数列 满足： ，且 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据递推公式求出数列的前 项可得数列的周期，根据周期可求出结果.
【详解】因为 ， ，
第 2页/共 20页
所以 ， ， ， ，
所以数列 是以 为周期的数列，
又因为 ，所以 ，
故选：A．
6. 如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 ， ， ，
则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出 即可.
【详解】
=
故选：A.
7. 已知 为坐标原点， 为抛物线 的焦点，直线 与 交于点 （点 在第一象限），若
，则 与 面积之和的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知直线 的斜率不为 0，设直线 的方程为 ，设 ， ，将直线
第 3页/共 20页
方程和抛物线方程联立，利用 可求得 的值，可知直线过定点，再利用三角形的面积公式以及
导数或者基本不等式可求得 与 面积之和的最小值.
【详解】由题意可知直线 斜率不为 0，所以可设直线 的方程为 ，
联立方程 得 ，则 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，解得 或 ，
当 时，直线 过坐标原点 ，则 与 重合，不存在 ，不符合题意，所以 ，
所以 ，
解法一：
由抛物线方程可知 ，设直线 与 轴的交点为 ，则 ，
所以 ，
，
联立 解得 ，（注意点 在第一象限）
则 与 的面积之和 ，
则 ，由 可得 ，
当 时 ， ， 函 数 单 调 递 减 ， 当 时 ， ， 函 数
第 4页/共 20页
单调递增，
所以当 时 取得最小值，且 .
解法二：
由抛物线方程可知 ，设直线 与 轴的交点为 ，则 ，
，
所以 ，
由于 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
故选：C
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中 最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法：特别是用圆锥曲线 定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法：将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数
的单调性或三角函数的有界性等求最值.
8. 点 为椭圆 上任意一点， 为圆 的任意一条直径，则 的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用 化简可知 ，再利用 ，即可得到结论.
【详解】由题意，
第 5页/共 20页
又 为圆 的任意一条直径，则 ，
在椭圆 中，有 ，即 ，
所以， ，故 的取值范围为 .
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题.
二、多选题（共 20 分）
9. 已知 ， 是椭圆 ： 的左右顶点，过点 且斜率不为零的直线与 交于 ， 两
点， ， ， ， 分别表示直线 ， ， ， 的斜率，则下列结论中正确的是（
）
A. B.
C. D. 直线 与 的交点的轨迹方程是
【答案】ABD
【解析】
【分析】A 选项，设 ，得到 ，利用斜率公式表达出 ；B 选项，设出直
线 ： ，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，利用斜率公式表达出 ；
C 选项，由 AB 选项可得 C 错误；D 选项，表达出直线 和直线 方程，联立后得到
，结合 求出答案.
【详解】对于 A：设交点 ，因为 在椭圆上，故 ，
第 6页/共 20页
所以 选项 正确；
对于 B：设 ， ，直线 ： ，联立 ，
消去 ，得 ，则 ①， ②，
所以
，故选项 B 正确；
对于 C：联立 和 ，相除得 ，故选项 C 错误；
对于 D：设直线 方程： ③，
直线 方程： ④，联立③④，消 得，
，
结合选项 B 中①②得 ，
第 7页/共 20页
所以 .D 正确；
故选：ABD.
【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，本题的难点是表达出直线 和
直线 方程，联立后得到 ，下一步的处理方法，本题中用到了求轨迹方程的交轨
法，属于较难一些的方法，要结合交点坐标得到 ，再代入式子中，即可求解.
10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过双曲线 C 上的一点 M 作两条渐近线的垂线，
垂足分别为 ,则（ ）
A. 双曲线 C 的离心率为 2 B. 焦点到渐近线的距离为 2
C. 四边形 可能为正方形 D. 四边形 的面积为定值 2
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A，由等轴双曲线定义可得答案；对于 B，因 C 为等轴双曲线，则双曲线两条渐近线互相垂
直，由点到直线的距离公式可求；对于 C，当点 M 在顶点时，可知四边形 OPMQ 为正方形，对于 D，表示
出面积大小可求.
【详解】
对于 A，等轴双曲线的离心率为 ，故 A 错误；
对于 B，双曲线 C 的一条渐近线方程为 ， ，则焦点到渐近线的距离为
，故 B 正确；
对于 C，当点 M 在顶点时，四边形 OPMQ 为正方形，故 C 正确；
对 于 D， 因 为 渐 近 线 互 相 垂 直 ， 四 边 形 OPMQ 为 矩 形 .又 设 ， 则
第 8页/共 20页
.故 D 正确.
故选：BCD
11. 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 ， 四 边 形 是 边 长 为 1 的 菱 形 ， 且
， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用数量积的定义和运算律，结合图形，即可求解.
【详解】如图所示：
因为 底面 ，所以 垂直于平面 内的任何一条直线，
因为四边形 是边长为 1 的菱形，且 ，所以 和 是等边三角形，
A. ，故 A 错误；
B. ，故 B 正确；
C.
第 9页/共 20页
，故 C 错误；
D.
，故 D 正确.
故选：BD.
12. 有五名志愿者参加社区服务，共服务周六､周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（ ）
A. 只有 1 人未参加服务的选择种数是 30 种
B. 恰有 1 人连续参加两天服务的选择种数是 40 种
C. 只有 1 人未参加服务的选择种数是 60 种
D. 恰有 1 人连续参加两天服务的选择种数是 60 种
【答案】AD
【解析】
【分析】有 1 人未参加服务或恰有 1 人连续参加两天服务都要先从 5 人中选出 1 人，再从余下的人中选取
服务于周六周日，根据分步乘法原理，即可求得答案.
【详解】由题意得只有 1 人未参加服务，先从 5 人中选 1 人，未参加服务，有 种选法，
再从余下 4 人中选 2 人参加周六服务，剩余 2 人参加周日服务，有 种选法，
故只有 1 人未参加服务的选择种数是 种，A 正确，C 错误；
恰有 1 人连续参加两天服务，先从 5 人中选 1 人，服务周六､周天两天，有 种选法，
再从余下 4 人中选 1 人参加周六服务，剩余 3 人选 1 人参加周日服务，有 种选法，
故恰有 1 人连续参加两天服务的选择种数是 种，B 错误，D 正确，
故选：AD
三、填空题（共 20 分）
13. 数列 满足 ， ，写出一个符合上述条件的数列 的通项公式______.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】将已知等式变形后，找到满足等式的通项公式即可.
第 10页/共 20页
【详解】由 得： ，
则当 时， ， ，故 满足递推关系，
又 ，满足 ，
满足条件的数列 的一个通项公式为： .
故答案为： （答案不唯一）.
14. 已知等差数列 满足 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】由等差数列的性质可得 ，代入条件式，可求得 ，再根据 ，可得解.
【详解】在等差数列 中， ，又 ，
，解得 ，又 ，而 ，解得 .
故答案为： .
15. 已知 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的一点，且 ，若
的面积为 9，则 的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可.
【详解】
，
，①
又
第 11页/共 20页
②
①-②得： ，
面积为 9，
，
故答案为：3.
16. 已知抛物线 C： 的焦点为 F，过动点 P 的两条直线 ， 均与 C 相切，设 ， 的斜率分别为
， ，若 ，则 的最小值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件设出过点 P 且与抛物线 C 的相切的方程 ，联立切线方程与抛物线方程，利用直线
与抛物线相切的关系及韦达定理，得出过点 的动直线，结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由 ，得 ，解得 ，
所以抛物线 C： 的焦点为 .
设 ，过点 P 作抛物线 C 的切线方程为 ，
由 ，消去 ，得 ，
因为 与抛物线 C 相切，
所以 ，即 ，
设 ， 是方程 的两根，则 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以
第 12页/共 20页
所以点 在直线 上运动，
设 到直线 的距离为 d，则 ，
当 时， 取得的最小值即为点 到直线 的距离，
所以 到直线 的距离的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是根据已知条件求出过点 的动直线，进而将所求问题转化为点到直
线的距离问题，结合点到直线的距离公式求解即可.
四、解答题（共 70 分）
17. 电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和
英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有 3 名男
生和 4 名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
（1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？
（2）女生互不相邻的坐法有多少种？
（3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【答案】（1）576 （2）144
（3）960
【解析】
【分析】（1）由捆绑法即可得到结果；
（2）由插空法即可得到结果；
（3）结合捆绑法与插空法代入计算，即可得到结果.
【小问 1 详解】
先将 4 名女生排在一起，有 种排法，
将排好的女生视为一个整体，再与 3 名男生进行排列，共有 种排法，
由分步乘法计数原理，共有 种排法；
【小问 2 详解】
先将 3 名男生排好，共有 种排法，
第 13页/共 20页
在这 3 名男生中间以及两边的 4 个空位中插入 4 名女生，共有 种排法，
再由分步乘法计数原理，共有 种排法；
【小问 3 详解】
先将甲乙丙以外的其余 4 人排好，共有 种排法，
由于甲乙相邻，则有 种排法，
最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的 4 人的 5 个空隙中，
共有 种排法，
由分步计数原理，共有 种排法.
18. 已知函数
（1）求曲线 在点 处的切线方程．
（2）求函数的单调区间
【答案】（1）
（2）单调递增区间为 ， ，单调递减区间为
【解析】
【分析】（1）求出 ，求导，得到 ，从而得到切线方程；
（2）求定义域，求导，得到不等式，求出单调区间.
【小问 1 详解】
，
， ，
故 在点 处的切线方程为 ，
即 ；
【小问 2 详解】
的定义域为 R，
第 14页/共 20页
，
令 ，解得 或 ，
令 ，解得 ，
故单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
19. 在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点 D 是 BC 的中点；
（I）求异面直线 A1B，AC1 所成角的余弦值；
（II）求直线 AB1 与平面 C1AD 所成角的正弦值．
【答案】（I） （II）
【解析】
【详解】试题分析:（I）以 ， ， 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 A﹣xyz，可得 和 的坐
标，可得 cs＜ ， ＞，可得答案；
（II）由（I）知， =（2，0，﹣4）， =（1，1，0），设平面 C1AD 的法向量为 =（x，y，z），由
可得 =（1，﹣1， ），设直线 AB1 与平面 C1AD 所成的角为θ，则 sinθ=|cs＜ ， ＞|=
，进而可得答案．
解：（I）以 ， ， 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 A﹣xyz，
则可得 B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），
∴ =（2，0，﹣4）， =（0，2，4），
第 15页/共 20页
∴cs＜ ， ＞= =
∴异面直线 A1B，AC1 所成角的余弦值为： ；
（II）由（I）知， =（2，0，﹣4）， =（1，1，0），
设平面 C1AD 的法向量为 =（x，y，z），
则可得 ，即 ，取 x=1 可得 =（1，﹣1， ），
设直线 AB1 与平面 C1AD 所成的角为θ，则 sinθ=|cs＜ ， ＞|=
∴直线 AB1 与平面 C1AD 所成角的正弦值为：
考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．
20. 已知数列 为递增的等比数列， ，记 、 分别为数列 、 的前项
和， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明：当 时， .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设数列 的公比为 ，根据题意，列出方程组求得 ，进而求得数列 的通项公式；
第 16页/共 20页
（2）由（1）求得 ，分 为偶数和 为奇数，两种情况讨论，分别求得 的
表达式，结合指数幂的性质，即可得证.
【小问 1 详解】
解：设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，可得 ，
可两式相减，可得 ，所以 ，解得 或 ，
又因为数列 为递增的等比数列，所以 ，则 ，
所以数列 的通项公式为 .
【小问 2 详解】
解：由（1）知 ，可得 .
当 为偶数时，
.
此时， .
当 时， ，所以 成立.
当 为奇数时， .
检验知，当 时，上式也成立.
此时， ，
第 17页/共 20页
当 时， ，所以 成立.
综上所述，当 时， 成立.
21. 记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公比为 的等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的定义可得 ，进而根据 的关系可得 为等差数列，进
而可得通项，
（2）根据错位相减法即可求解.
【小问 1 详解】
由题设得等比数列 的通项公式为
． ①
则
． ②
②-①得 ，化简得到， ，所以数列 是公差为
的等差数列．
因此 ．
故数列 的通项公式为 ．
【小问 2 详解】
将 的通项公式代入①式可得， ，可用错位相减法求 的前 项和．
． ③
第 18页/共 20页
． ④
③-④可得， ．
22. 已知椭圆 的离心率为 ，且短轴长 2，O 为坐标原点．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设过点 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，当 的面积最大时，求直线 l 的方程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据椭圆短轴长和离心率，结合 ，求得 的值，由此求得椭圆方程；
（2）设出直线 的方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得 ，利用点到直
线的距离公式求得 ，由此求得三角形 的面积的表达式，利用换元法，结合基本不等式，求得面积
的最大值，以及此时直线 的斜率，进而求得直线 的方程.
【小问 1 详解】
由题意得: ，解得: ，
所以椭圆的方程为:
【小问 2 详解】
由题意得直线 l 的斜率存在且不为零，设直线 l 的方程: ， ，
联立与椭圆的方程整理得: ，
，得 ，
第 19页/共 20页
， ，
所以弦长 ，
原点到直线 l 的距离 ，
所以 ，
令 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，即 ，满足条件，解得
，
所以直线 l 的方程为: 或
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
第 20页/共 20页