湖南省汨罗市第二中学2024~2025学年高二下册4月期中数学试题【附解析】

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1 已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D. 2
2. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 等差数列中，为其前项的和，若，，则（ ）
A. 50B. 100C. 400D. 500
4. 甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（ ）
A. 3种B. 6种C. 9种D. 12种
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 若随机变量服从正态分布，且，则；
B. 若事件相互独立，，则；
C. 对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是；
D. 若决定系数越大，则两个变量的相关性越强.
6. 在平面直角坐标系中，为曲线上位于第一象限内的一点，为在轴上的射影，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B. 1C. D.
8. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每题5分，共15分）
9. 已知随机变量服从二项分布，，下列判断正确是（ ）
A. 若，则B.
C. 若，则D. 的最大值为
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 精确到0.01的近似值为0.85
D. 除以15的余数为3
11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 关于直线对称
B. 的弦长最大值大于
C. 直线被截得弦长的最大值为
D. 的面积小于
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 命题.写出该命题的否定______．
13 已知，则______.
14. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为___________.
四、解答题（共80分）
15. 已知等差数列满足：，且成等比数列．
（1）求数列通项公式；
（2）若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前n项和为，求证：；
16. 如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，.
（1）求证平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17. 甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表：
若三人各自比赛时互不影响．
（1）求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率；
（2）在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率．
18. 在平面直角坐标系中，，，若点P是平面上一动点，且的周长为，设动点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线与曲线C交于A，B两点，且，，求k的值.
19. 已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点．
（1）求椭圆方程；
（2）设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标；
（3）点关于原点对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程．
20. 近年来，宠物逐渐成为人们的精神寄托，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为．
（1）把频率作为概率，从中国家庭中随机取4户，求这4户中至少有3户养宠物的概率；
（2）随机抽取200名成年人，得到如下列联表：
是否有的把握认为是否养宠物与性别有关？
（3）记2018-2023年的年份代码依次为1，2，3，4，5，6，中国宠物经济产业年规模为（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得关于的回归方程为，且．求相关系数，并判断该回归方程是否有价值．
参考公式：，其中，时有99%的把握认为变量有关联．
回归方程，其中，，相关系数，若，则认为与有较强的相关性．
甲
乙
丙
第一轮回答正确的概率
第二轮回答正确的概率
成年男性
成年女性
合计
养宠物
38
60
98
不养宠物
62
40
102
合计
100
100
200