河北省邢台市第一中学2024−2025学年高二下学期第二次月考 数学试题（含解析）

这是一份河北省邢台市第一中学2024−2025学年高二下学期第二次月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
2．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（ ）
A．0．4B．0．5C．0．6D．0．7
3．若随机变量X服从两点分布，，则为（ ）
A．0.3B．0.35C．0.6D．0.65
4．下表是离散型随机变量的概率分布，则（ ）
A．B．C．D．
5．若随机变量，则（ ）
A．3.8B．4.8C．8.6D．9.6
6．某城市交通部门对市民上班的出行方式进行了一项调查，调查结果显示，有的市民乘坐公共交通工具（如公交、地铁），有的市民开私家车，有的市民选择骑行（如自行车，电动车）或步行．进一步的数据显示，在乘坐公共交通工具出行的市民中，有的人迟到，在开私家车出行的市民中，有的人迟到，在骑行或步行出行的市民中，有的人迟到．以频率估计概率，从该市随机选择一名市民，若他迟到了，则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．现给如图所示的五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ）

A．420B．340C．260D．120
8．已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（ ）
A．与相互对立B．与相互独立
C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为0
D．是偶函数
11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（ ）

A．第2025行共有2025个数
B．第3斜列为：，则该数列的前项和为
C．70在杨辉三角中共出现了3次
D．记第行的第个数为，则.
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数的取值范围是 .
13．已知，则 .
14．近两年，智能网联汽车逐步进入大众视野，调研数据显示，中国消费者关注度最高的前6名智能网联车技术分别为V2X（车与人、车、路、云平台）的信息交互技术、车联网通信技术、环境感知技术、云计算技术、整车通项技术、物联网技术，某科技自媒体博主准备连续6天分别对这6项技术进行科普，每天只科普一项技术，每项技术只科普1天，则车联网通信技术与云计算技术在相邻两天进行科普，且信息交互技术不在最后一天科普的安排方法种数为 .（用数字作答）
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为．
(1)求的值；
(2)求展开式中含的项的系数；
(3)用二项式定理证明：能被整除.
16．袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为．
(1)求的分布列；
(2)求；
(3)若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为分，求的值．
17．2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率.
(1)若只取1块，求它是由B队所采的概率；
(2)若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为，求的分布列和数学期望；
(3)假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？
18．已知函数，且曲线在点处的切线斜率为.
（1）比较和的大小；
（2）讨论的单调性；
（3）若有最小值，且最小值为，求的最大值.
19．某商场进行周年庆大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏.游戏规则如下：在一个盒子里放着6个大小相同的小正方体，其中有3个A类小正方体，4个面印着奇数，2个面印着偶数；有2个B类小正方体，6个面都印着奇数；1个C类小正方体，6个面都印着偶数.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一个小正方体并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是奇数，则进入最终挑战环节，否则游戏结束，不获得任何礼券.最终挑战的环节是进行第三次投掷，有两个方案可供选择，方案一：继续投掷之前抽取的那枚小正方体，若投掷后向上的面为奇数，则获得200元礼券；方案二：不使用之前抽取的小正方体，从盒子中剩余的5个小正方体里再次随机抽取一个进行投掷，若投掷后向上的面为奇数，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二､若投掷后向上的面为偶数，则获得100元礼券，
(1)求第一次投掷后向上的面为奇数的概率；
(2)若某位顾客抽取一个小正方体后连续投掷两次，向上的面均为奇数，求该小正方体是A类小正方体的概率；
(3)在某位顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种投掷方案最终获得的礼券金额的数学期望，并以此判断选择哪种投掷方案更合适.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，所以当时，，即的单调递增区间是．
故选A.
2．【答案】C
【详解】方法一：在第一次取得红球后，口袋中还剩5个球，2个红球，3个白球，
所以第二次取得白球的概率为；
方法二：设第一次取得红球为事件，设第二次取得白球为事件，
则第一次取得红球第二次取得白球为事件，
则，，
所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率
.
故选C.
3．【答案】A
【详解】由分布列的性质可知：，
又，
两式相减易得：，
故选A.
4．【答案】B
【详解】由题意可得：，解得，
所以．
故选B.
5．【答案】D
【详解】因为，
所以，
所以，
故选D.
6．【答案】C
【详解】由题知市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为×=，
市民开私家车出行迟到的概率为×=，
市民骑行或步行出行迟到的概率为×=，
则这名市民迟到的概率为×+×+×=，
故所求的概率为.
故选C.
7．【答案】A
【详解】若同色、同色，有，此时有3种涂法，共有种，
若同色、不同色，有，此时有种涂法，共有种，
同理同色、不同色也有120种，
若的颜色互不相同，则有种，
综上，共有种.
故选A.
8．【答案】A
【详解】令函数，由，得，
又，求导得，
函数在R上单调递增，不等式，
解得，所以不等式的解集为.
故选A.
9．【答案】BD
【详解】对于A，由题意可知，事件与事件有可能同时发生，
例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件与事件不是互斥事件，当然也不是对立事件，故A错误；
对于B，依题意，，，
所以事件与事件相互独立，故B正确；
对于C、D，，因为，所以，
所以，故D正确，C错误．
故选BD．
10．【答案】AC
【分析】通过对函数求导，即可得出结论.
【详解】由题意，，
在中，，
∴当时，，
∴曲线在点处切线的斜率为，C正确；
A项，当时，，
故在单调递增，A正确；
B项，当时，，
当时，，所以只有0一个零点，B错误；
D项，函数的定义域为，不关于原点对称，∴不是偶函数，D错误.
故选AC.
11．【答案】BCD
【详解】对于A：行数比每行的个数少1，所以第2025行共有2026个数，所以A错误；
对于B：由公式得：
，所以B正确.
对于C：由组合数可知只有，所以C正确，
对于D，记第行的第个数为，则，
则，D正确；
故选BCD.
12．【答案】
【详解】由，可知，
，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
存在唯一极值点2，
所以，解得：，
又，所以，
所以实数的取值范围是.
13．【答案】
【详解】，
展开式的通项为，
令，可得；令，可得.
则项的系数为.
14．【答案】192
【详解】因为车联网通信技术与云计算技术要在相邻两天进行科普，所以可将这两项技术“捆绑”在一起，看作一个元素.对车联网通信技术与云计算技术进行内部排列，它们之间的排列顺序有种，
由于信息交互技术不在最后一天科普，那么信息交互技术可安排在前天中的任意一天，所以信息交互技术的安排方法有种.
将车联网通信技术与云计算技术看作一个整体后，除信息交互技术外，还剩下项技术以及这个整体，共个元素.
对这个元素进行全排列，排列方法有种，
根据分步乘法原理知道，满足条件的安排方法种数为（种）.
15．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意可得，解得
（2）设的展开式的通项为，则，
令得，．
含的项的系数为；
（3）由二项式定理可知，
各项都能被整除.
能被整除
16．【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得，的可能取值为0，1，2，且，
，
，
，
所以的分布列如下．
（2）因为，所以．
（3）由已知得，
因为，
所以，所以．
17．【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)不能，建议见解析
【详解】（1）由题意知，冰块之间是没有差异的，所以，从三个工程队采出的所有冰块
中随机抽取一块抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的.
因为A，B，C三个工程队所采冰块总量之比为6：7：5，
所以若只取1块，它是B队所采的概率为.
（2）据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果的影响，
即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取.
设事件A，B，C分别表示随机抽取的一块冰是由A，B，C二个队分別采回的，
与（1）同理可求得若只取1块，则，
由B，C两队所采的概率为.
依题意可知的取值为0，1，2，且.
所以，，，
所以的分布列为：
数学期望.
（3）设事件表示冰块被利用，由（2）知，.
所以，，.
又
，即今年冰块的利用率约为0.67.
可见，今年冰块的利用率比往年提升了约.
但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著，
可以进一步查阅数据，构造相关统计量再进行判断.
18．【答案】（1）；
（2）答案见详解；
（3）.
【分析】（1）根据导数意义列方程即可求解；
（2）求导，分和讨论导数符号即可得解；
（3）利用（2）中结论表示出最小值，然后利用导数求最值即可.
【详解】（1），由题知，
整理得.
（2）由（1）知，，
当时，恒成立，此时在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）知，当时，无最小值，
当时，在处取得最小值，所以，
记，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在单调递减，
所以当时，取得最大值，
即的最大值为.
19．【答案】(1)
(2)
(3)，，选择方案二更合适
【详解】（1）记事件分别表示第一次抽到A类，B类，C类小正方体，
亊件表示第一次投掷后向上的面为奇数，事件表示第二次投掷后向上的面为奇数.
（2）续投掷两次向上的面均为奇数的概率为
故所求概率为
（3）若选择方案一、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数，
设第三次投掷后最终获得的礼券为元，
的可能取值为200，100，
则
，
，
所以.
若选择方案二、记事件表示第三次投掷后向上的面为奇数，
设第三次投掷后最终获得的礼券为元，
的可能取值为300，100.
①若第一次抽到的是A类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体，
则
；
②若第一次抽到的是B类小正方体，记事件（）分别表示第二次抽到A类，B类，C类小正方体，
则
所以，
则，
所以，
所以，
则，
所以选择方案二更合适.1
2
3
4
P
0
1
2
0
1
2
P