河北省邢台市第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份河北省邢台市第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共14页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列求导运算结果不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用初等函数的导数公式以及导数的运算法则求解可判断每个选项的正误.
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选：A.
2. 如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，根据面积函数的变化趋势，结合图象的变化率先变大在变小，即可求解.
【详解】根据题意，可得面积随着的增大而增加，所以函数为单调递增函数，
且增长趋势先慢后快，过圆心后逐渐变慢，即函数图象的变化率先变大在变小，
结合选项，可得选项D复合题意.
故选：D.
3. 曲线在原点处的切线斜率为（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的几何意义即可求解.
【详解】因为，则，
故选：D.
4. 已知函数 的图象如图所示， 是 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象判断函数增长速度即可得解.
【详解】由图可知，的增长速度越来越慢，所以，
表示在上的平均变化率，
由图可知.
故选：A
5. 若，则（ ）
A. B. 6C. 3D. -3
【答案】C
【解析】
【分析】由导数的定义可得；
【详解】.
故选：C.
6. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导，可得对恒成立，可得对恒成立，求得的最大值即可.
【详解】由，可得，
因为函数在区间上单调递增，
所以对恒成立，即对恒成立，
即对恒成立，
令，则，因为，所以，
所以，所以，
所以实数k的取值范围是.
故选：D.
7. 已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知与有三个不同交点，对求导，利用导数分析其单调性和极值，结合图象即可得结果.
【详解】令，可得，
构建，
若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点，
因为，
令，解得；令，解得或；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，极大值，
且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0，
可得图象，如图所示：

由函数图象可得.
故选：A.
8. 已知是定义在R上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，根据条件判断的单调性，奇偶性进而解不等式即可.
【详解】设，则，
又上，，则，
即函数在上单调递减，
又是定义在R上奇函数，则函数为R上的奇函数，
故在R上单调递减，又，
即，可得，解得．
故选：B.
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．
9. 判断下列命题正确的是（ ）
A. 函数的极小值一定比极大值小．
B. 对于可导函数，若，则为函数的一个极值点．
C. 函数在内单调，则函数在内一定没有极值．
D. 三次函数在R上可能不存在极值．
【答案】CD
【解析】
【分析】根据导数与极值的关系依次判定即可.
【详解】对于A选项，根据极值定义，函数的极小值不一定比极大值小，则A选项错误；
对于B选项，若或恒成立，则无极值点，此时导函数的零点为函数拐点，则B选项错误；
对于C选项，在内单调，因为区间为开区间，所以取不到极值，则C选项正确；
对于D选项，三次函数求导以后为二次函数，若或恒成立，则无极值点，故D选项正确；
故选：CD.
10. 函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ）
A. 是函数的极值点B. 在区间上单调递增
C. 是函数的最小值点D. 在处切线的斜率小于零
【答案】AB
【解析】
【分析】根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合极值的定义，逐一求解.
【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确；
则是函数的极小值点，故A正确；
在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确；
函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确．
故选：AB
11. 函数 ，则下列说法正确的是 （ ）
A. 当 时， 的极小值为
B. 为奇函数
C. 当 时， 一定有三个零点
D. 若直线 与 有三个交点 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用导数确定极值判断A；利用奇函数的定义判断B；由极大值、极小值的正负判断C；利用中心对称的性质判断D.
【详解】对于A，当时，，求导得，
当时，，当时，，为极大值，A错误；
对于B，令，则，
函数是奇函数，B正确；
对于C，，当时，令的二根，
，当或时，；当时，，
函数在上递增，在上递减，，
由三次函数的图象特征知，函数的图象与轴有3个交点，C正确；
对于D，由选项B知，函数的图象关于点对称，而直线关于点对称，
因此函数的图象与直线的3个交点关于点对称，
其交点的横坐标满足，D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分
12. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则_______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据切点在切线上以及导数的几何意义求解即可.
【详解】由已知得，，
.
故答案为：.
13. 若函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的运算法则先求，再计算即可.
【详解】因为，所以，
得到，解得，
故答案为：.
14. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】求，根据分离参数，构造函数可得的取值范围.
【详解】∵，∴，
∵在区间内存在单调递增区间，
∴在上有解，故在上有解，
令，则，
∵，∴，即在上为减函数，
∴，故．
故答案为：.
四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在x＝1处取得极值．
（1）求a的值；
（2）求f（x）在区间[－4，4]上最大值和最小值．
【答案】（1）9；（2）最大值为76，最小值为－5.
【解析】
【分析】（1）求出导函数，利用在处取得极值，，求解即可．
（2）求出．判断导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解极值，求解端点值，推出最值即可．
【详解】解：（1）因为，
所以．
因为在x＝1处取得极值，
所以，即，解得
经检验，符合题意．
（2）由（1）得．
所以．
令，得或；
令，得．
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．
所以极大值为，极小值为
又， ，
所以
所以的最大值为76，最小值为
16. 已知函数.
（1）若函数的图象在点处的切线方程是，求和；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）
（2）递增区间为，递减区间为.
【解析】
【分析】（1）求得，得到且，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）求得，结合和的解集和定义域，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，可得，则且，
因为函数的图象在点处的切线方程是，
可得 解得.
【小问2详解】
解：由函数的定义域为，且，
令，即，即，可得；
令，即，即，可得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
17. 2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量（单位：）与速度（单位：）在的函数关系为.假设电价是1元.
（1）当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？
（2）已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？
【答案】（1）
（2）150元.
【解析】
【分析】（1）利用导数求函数的最小值；
（2）首先计算汽车行驶总费用，并求函数的导数，由题意可知，是函数的极值点，代入即可求解.
小问1详解】
由
有，令，得或（舍），
当时，,单调递减，
当时，,单调递增，
所以当车速为时，车辆每千米的耗电量最低；
【小问2详解】
设司机的工资为元，则行车的总费用为
，由题意知时，，
得，即司机每小时的工资为150元.
18. 设函数．
（1）若恒成立，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，当时，函数的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）由给定的恒成立的不等式分离参数，构造函数，求出函数的最大值即可.
（2）利用导数按分类讨论函数在上的单调性，并求出最小值即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，不等式，
令，依题意，恒成立，，
当时，；当时，，
函数在上递增，在上递减，，则，
所以实数a的取值范围是.
【小问2详解】
由函数，求导得，由，得，
当时，，函数在上单调递减，
，解得，无解；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，解得，符合题意，
所以存在实数a，当时，函数的最小值是2，.
19. 已知函数，
（1）若，求的单调区间；
（2）当时，求证；
（3）若函数有两个极值点，（）且恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域，再对函数求导，根据导数的正负可得出函数的单调区间；
（2）将条件代入，得到函数的不等式，通过导数分析函数的单调性，结合零点的应用得到最值，即可得证；
（3）将函数的极值点转化成方程的根，根据和韦达定理求出的关系式及取值范围，利用分离参数将恒成立问题转化成求函数最值问题，构造函数，求导分析单调性即可求得其最小值，从而得到结果.
【小问1详解】
由题意，当时，，定义域为，
则，
令，得，解得
所以，当或时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故的单调递增区间为和，单调递减区间为.
【小问2详解】
当时，则，即.
令函数，则，
令函数
易知为增函数，令则，
，根据零点存在定理，则有.
又时，，即，则在上单调递减；
时，，即，则在上单调递增.
.
故，即.
【小问3详解】
由题意，的定义域为，，
有两个极值点，（）即方程有两个不相等正数根，
则有，解得
因为恒成立，所以对恒成立，
分离参数可得对恒成立，
令，则
令则解得或（舍去）.
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故即，是减函数.
所以，
故实数的取值范围是