天津市五区县重点校联考2024-2025学年高二下学期4月期中考试 数学 含答案

这是一份天津市五区县重点校联考2024-2025学年高二下学期4月期中考试 数学 含答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高二数学
出题学校：芦台一中 静海一中
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）
1．已知函数的导函数为，且，则
A．B．C．D．
2．在的展开式中的系数是
A．B．C．D．7
3．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为
A．B．C．D．
4．若直线是曲线的一条切线，则的值为
A．B．C．2D．
5．已知是的导函数，且，则的图象不可能是
A．B．
C．D．
6．若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
7．由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（ ）种
A．540B．684C．756D．792
8．已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式 的解集为
A．B．
C．D．
9．已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为
A．B．C．D．
二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）
10．若的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为__________．
11．函数的单调递减区间为__________．
12．已知函数，若对，则实数的取值范围为__________．
13．若函数在处取得极大值，则常数a的值为__________．
14．若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为__________．（用数字作答）
15．已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是__________．
三、解答题（本题共5小题，共75分）
16．（本小题14分）
已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等.
（1）求的值；
（2）求的系数；
（3）求的值.
17．（本小题15分）
已知曲线.
（1）求在处的切线方程.
（2）求在内的最值.
（3）若函数有两个零点，求实数m的取值范围.
18．（本小题15分）
一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生．
（1）如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？
（2）如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？
（3）如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中男生甲不能参加数学竞赛，女生乙不能参加物理竞赛，共有多少种选法？
19．（本小题15分）
已知函数.
（1）若，判断的单调性；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，恒成立，求实数b的最小值.
20．（本小题16分）
如果函数，满足：对于任意，，均有（为正整数）成立，则称函数在上具有“级”性质.
（1）判断在区间上是否具有“1级”性质，并说明理由；
（2）若在区间上具有“1级”性质，求的取值范围；
（3）已知函数在定义域上具有“级”性质，求证：对任意，当时，都有成立.
2024～2025学年度第二学期期末重点校联考
高二数学参考答案
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）
二、填空题（本题共6小题，共5分，共30分）
10． 11．/ 12． 13．3 14．14 15．
三、解答题（本题共5小题，共75分）
16．（本小题满分14分）
（1）第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，所以.

由（1）知，的展开式中项为：，所以.

（3）由（1）知，的展开式中，当时，，
因为
所以
当时， ，
所以.
17．（本小题满分15分）
（1）因为，
所以，
，即切点为，
又，所以切线方程为，即
（2），，
当，，所以在单调递减，
当，，所以在单调递增，
又，，，
所以，.
（3）因为，
函数有两个零点，
等价于曲线与直线有两个交点，
又，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以时，取得极小值，
又时，，且当时，，
所以的图象如下所示：
由图可得实数m的取值范围为
18．（本小题满分15分）
（1）所有的不同选法种数，就是从6名学生中选出3人的组合数，
所以选法种数为．
（2）从6个学生中选2名男生和2名女生的选法有种，
将所选四人安排参加三项活动的安排方法有种方法，
根据分步计数原理得共有
（3）从6人中任选4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛的安排方法有种方法，其中男生甲被安排到参加数学竞赛的安排方法有种，女生乙被安排到参加物理竞赛的安排方法有种，男生甲参加数学竞赛且女生乙参加物理竞赛的安排方法有种，
所以满足要求的安排方法有种，
19．（本小题满分15分）
（1）当时，，
，，，
记，，
则，
令，则，
所以在内单调递增，在内单调递减，
.所以，∴在单调递减
（2）函数的定义域为，
，
当时，由，得，得，
在上单调递增，在上单调递减；
当时，由得或；由，得，
函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得或；由，得，
函数在，上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数的递增区间为，递减区间为；
当时，函数的递增区间为，，递减区间为；
当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递增区间为，，递减区间为.
（3）由（2）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则，
依题意，，即恒成立，
令函数，
得，
当时，，当时，
函数在上递增，在上递减，
即，
因此，所以b最小值为
20．（本小题满分16分）
（1）对于函数，
由于，所以，故，
函数具有“1级”性质．
由于
在区间上具有“1级”性质，
不妨设，
所以，
故，
进而，
且，
故在单调递增，
在单调递减，
因此在恒成立，
故在恒成立，
令，
则，
由于均为单调递增函数，
因此单调递增，
单调递减，
又，
故存在，
即，，
当单调递减，
当单调递增，
故取极大值也是最大值，
故，因此，
又在恒成立，
故在单调递减，
故当时，取最小值，
因此，即，
综上可得，
（3）由题意可知，，
将区间进行2024等分，记
，，，，，
．
故，得证. 题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
A
C
A
B
C
B
D
D