天津市五区县重点校联考2022-2023学年高一下学期4月期中数学试卷（含答案）

天津市五区县重点校联考2022-2023学年高一下学期4月期中数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知，其中i为虚数单位，则(   )

A. B.5 C.2 D.

2、已知向量，若则(   )

A. B. C. D.

3、已知，是夹角为的单位向量，则(   )

A.7 B.13 C. D.

4、已知a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是(   )

A.若，，则 B.若，，，则

C.若，，，则 D.若，，则

5、在中，已知，那么一定是(   )

A.等腰直角三角形  B.直角三角形

C.等腰三角形  D.等边三角形

6、已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为(   )

A. B. C. D.

7、在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若，，，则角B的大小为(   )

A. B. C. D.

8、若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为(   )

A. B. C. D.

9、如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则，的值为(   )

A. B. C. D.

二、填空题

10、若复数z满足，则z的虚部是______.

11、已知圆锥的底面半径是2，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为______.

12、若一个圆柱和一个圆锥的底面周长之比为，圆柱的体积是圆锥体积的2倍，则圆柱的高与圆锥的高的比为___________.

13、在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若，，则的面积是________.

14、一艘轮船沿北偏东方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为_______.

15、如图，在平面四边形中，，，，.若点E为边CD上的动点，则的取值范围为________.

三、解答题

16、已知，.

（1）求与夹角的余弦值；

（2）若，求实数λ的值.

（3）若，，且A、B、C三点共线，求m的值.

17、在非等腰中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，.

（1）求的值；

（2）求的周长；

（3）求的值.

18、如图：在正方体中，M为的中点.

（1）求三棱锥的体积；

（2）求证：平面AMC；

（3）若N为的中点，求证：平面AMC平面.

19、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求角C的大小；

（2）若为锐角三角形，求的取值范围.

参考答案

1、答案：A

解析：由，得，.

2、答案：D

解析：向量，，，，解得.

3、答案：C

解析：已知，是夹角为的单位向量，则，，则.

4、答案：D

解析：

5、答案：C

解析：因为，所以，所以由正弦定理和余弦定理得，化简得，所以，所以为等腰三角形.

6、答案：B

解析：因为，与的夹角为，所以，所以在上的投影向量为.

7、答案：B

解析：，，由正弦定理得，得，得，则或.

8、答案：A

解析：根据题意，设正方体的棱长为a，则其表面积，其体对角线的长为，正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的半径，则球的表面积，故正方体与这个球的表面积之比.

9、答案：B

解析：在中，，，P为CD上一点，且满足，则，又P、C、D三点共线，则，即，又，，则，则的值为.

10、答案：-4

解析：，故虚部为-4.故答案为：-4.

11、答案：

解析：

12、答案：

解析：设圆柱的底面圆的半径为R，高为，圆雉的底面圆的半径为r，高为，因为圆柱和圆锥的底面周长之比为，可得，所以，又因为圆柱的体积是圆锥体积的2倍，可得，解得，即圆柱的高与圆雉的高的比为.

13、答案：

解析：因为，可得，即，又因为，由余弦定理可得，解得，所以的面积为.

14、答案：2

解析：

如图，设轮船原来的位置为点A，轮船航行10分钟后的位置为点C，灯塔的位置为B，根据题意可得，又，，设，在中，根据余弦定理可得，解得，灯塔与轮船原来的距离为2海里.

15、答案：

解析：

如图所示，以D为原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，过点B作轴于点N，轴于点M，，，，，，又，，，，，，，，，，设，，则，，，当的，取得最大值3；当时，取得最小值的取值范围为

16、答案：（1）

（2）

（3）

解析：（1）因为，，所以，，，设与的夹角为，所以

（2）因为，，又，所以，解得

（3）由已知，，因为A、B、C三点共线，所以，.

17、答案：（1）

（2）

（3）

解析：（1）在中，由正弦定理，，，

可得，因为，所以，即，解得.

（2）在中，由余弦定理，得，解得或.由已知a，b，c互不相等，所以.所以的周长为.

（3）因为，所以，所以，，所以

18、答案：（1）

（2）证明见解析

（3）证明见解析

解析：（1）

.

（2）证明：设，接OM，在正方体中，四边形ABCD是正方形，O是BD中点，M是的中点，，平面AMC，平面AMC，平面AMC；

（3）证明：N为的中点，M为的中点，，

四边形为平行四边形，，又平面AMC，平面AMC，平面AMC.由（1）知平面AMC，，平面，平面，平面AMC平面.

19、答案：（1）

（2）

解析：（1）因为，所以，整理得，由正弦定理得，由余弦定理得，因为，所以.

（2），在锐角中，因为，所以，，所以，所以，所以，所以的取值范围为.