湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 设，则的大小关系为， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设是可导函数，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】由可得：，
因为，所以，
故选： A．
2. 各项为正的等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. 4B. 9C. 4或D. 2或
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，由，
则，解得或（舍去），
故.
故选：A
3. 展开式中含的项是（ ）
A. 第8项B. 第9项
C. 第10项D. 第11项
【答案】B
【解析】二项式展开式的通项公式为，
令，解得，故含的项是第项.故选B.
4. 由组成没有重复数字的5位数，其中大于21300的正整数个数为（ ）
A. 81B. 87C. 96D. 105
【答案】C
【解析】当首位是其中一个时，剩下位上的数任意排列，
此时有种情况；
当首位是时，第二位数是其中一个时，剩下位上的数任意排列，
此时有种情况；
当首位是时，第二位数是时，第三位数是其中一个时，剩下位上的数任意排列，
此时有种情况；
所以一共有种情况.
故选：C
5.如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60°,且A1A=3，则A1C的长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知可得点A1在底面的投影O在底面正方形对角线AC上，
过A1作A1E⊥AB于E，
在Rt△AEA1，AA1=3，∠A1AE=60°
∴，连结OE，则OE⊥AB，∠EAO=45°，
在Rt△AEO中，，
在，∴，
在
故选A．
6. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因，故，故，
设，则，
令得，故当时，，
即函数在区间上单调递减，
因，故，
得，即，故，
故选：D
7. 已知点在抛物线上，过焦点且斜率为的直线与相交于，两点，过，两点作准线的垂线，垂足点分别为，两点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将点坐标代入抛物线方程得，,故抛物线方程为，
故焦点坐标为,准线方程为.过焦点且斜率为的直线方程为,代入抛物线方程并化简得，
解得或.
故.
故选：C.
8. 已知定义在上奇函数,其导函数为,当时，恒有.则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意可构造函数，
则，
由题可知，所以在区间上为增函数，
又由于为奇函数，为奇函数，所以为偶函数，
又，
即，
又为开口向上的偶函数，所以，解得或.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 由甲地到乙地有3条不同的道路，由乙地到丙地有2条不同的道路，则由甲地经乙地到丙地共有6种不同的道路选择方式
B. 在3张奖券中仅有1张能中奖，3人依次抽取一张，则排在第2的人抽奖中奖概率为
C. 某地预测明天下雨的概率为，连续两天下雨的概率为，则在明天下雨的条件下后天也下雨的概率为
D. 同时投掷质地均匀的2枚骰子，点数和有共11种可能，则掷出点数和为7的概率为
【答案】AC
【解析】对于A. 由甲地到乙地有3条不同的道路，由乙地到丙地有2条不同的道路，则由甲地经乙地到丙地共分步有种不同的道路选择方式，故A正确；
对于B. 在3张奖券中仅有1张能中奖，3人依次抽取一张，则排在第2的人抽奖中奖概率为，故B错误；
对于C. 某地预测明天下雨的概率为，连续两天下雨的概率为，则在明天下雨的条件下后天也下雨的概率为，故C正确；
对于D. 同时投掷质地均匀的2枚骰子，点数和有共11种可能，这11种可能不是等可能事件，应该用每个骰子有6个点数，两个骰子共有36个点数，所以掷出点数和为7的概率为，故D错误；故选：AC.
10. 历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点距离圆锥顶点长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（ ）
A. 点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为
B. 点为该曲线的一个焦点
C. 该曲线上任意两点之间的最大距离为
D. 该曲线的离心率为
【答案】ACD
【解析】根据圆锥曲线的概念可知截口曲线为椭圆，设与截面垂直的母线垂足点为.
平面交椭圆曲线的另一交点为，由对称性知为该椭圆的长轴端点.
在直角三角形中，由，
则有，，
，，
所以点到该曲线上的任意一点的距离最大值就是，故A正确；
该曲线上任意两点之间的最大距离是，故C正确；
再过作平面垂直于旋转轴，则可得该截面圆的半径，
在这个圆面内作垂直于平面，交椭圆于点，则，
如图2，在截面上取中点为坐标原点，方向为轴正向，建立平面直角坐标系，
则，过作垂直于轴，交椭圆于点，
则，
设椭圆方程为，将代入得：，
最后可得，
由于，所以不是椭圆的焦点，故B错误；
即椭圆离心率为，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知三次函数在区间上的值域也为，那么下列说法正确的是（ ）
A. 且
B. 当时，满足要求的不存在
C. 当时，有
D. 当时，有
【答案】ABD
【解析】对于A，由已知，当时，，且，
则在上为减函数，
此时，矛盾，故且，故A正确；
对于B，由知，的极值点分别为
当时，则，如图1，在上为减函数，则，矛盾，故B正确；
对于C，当时，如图2，由（仅时成立，时，应为），
得，但，矛盾，故C错误；
对于D，当时，
如图3，在上减，在上增，
所以，
有，解得，符合条件，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 向量，，则在方向上的投影向量为________．（坐标表示）
【答案】
【解析】在方向上的投影向量为，
故答案为：
13. 已知反比例函数图像是双曲线，则这个双曲线的焦距长为__________.
【答案】4
【解析】由反比例函数曲线是等轴双曲线，可知其离心率为，
再由函数与焦点所在的直线的交点坐标为，
这两点间的距离为实轴长，即，所以，
再由，
故双曲线的焦距长为，
故答案为：.
14. 已知递增数列的各项均是正整数，且满足，则__________，__________.
【答案】2；37
【解析】由已知，若，将有，矛盾；
若，则，与单调性矛盾；故.
由，有，所以；
又，则，所以，
故，
则由，即，知，故.
故答案为：；
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求曲线的斜率等于的切线方程；
（2）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值.
解：（1）因为，所以
设切点坐标为，则，即，
所以切点坐标为，
可得切线方程为，即.
（2）由，曲线在点处的切线方程为，
令，得，令，得，
所以，
所以，
由得，
由得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故最小值为.
16. 已知等差数列中，前10项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）若从数列中依次取出第项，按原来的顺序排列成一个新的数列，若，求数列的前项和.
解：（1）由题意得，解得，
所以.
（2），
则，
设，则，
又因为，
所以，
则，
所以.
17. 如图，四棱锥中，平面底面，且在底面正投影点在线段上，，.
（1）证明：；
（2）若，与所成角的余弦值为，求钝二面角的余弦值．
解：（1）如图，连接交于点.
因为,即为等腰三角形，又平分，
所以,
因为平面底面，平面底面，底面，
所以平面, 因为平面,
所以.
（2）作于点，则底面, ,
以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.
，而,得,
又，
故
设，则由，得，
而，
因为与所成角的余弦值为，
所以，得，
则,
所以，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
由得可取，
由得，可取，
从而法向量夹角的余弦值为.
由图可知二面角是钝角，故二面角的余弦值为.
18. 已知
（1）（i）证明：当时，；
（ii）当时，试确定的符号.
（2）若，试说明在内有唯一零点.
解：（1）（i）当时，等价于，
设，即证明，
记，则，
所以在上单调递减，其中，
所以，不等式得证；
（ii）时，，理由如下：
要说明，即说明，，
由（i）可知，当时，，所以，
故只需说明，其等价于，
时，上式只需，
即，由知，该式显然成立，
从而对恒成立，
（2）由已知，当时，易知单调递减，
，
故存在唯一实数，使得；
当时，，
记，
易知在为减函数，
，
故存在唯一实数，使得，即，
则在为增函数，在为减函数，
且，
，
则存在唯一实数，使得，
则在为正，在为负，
在上单调递增，在上单调递减，
故，，
故在上恒成立，
综上可知：在内有唯一零点.
19. “相对运动的本质是观察者所处的参考系不同，物体产生的运动轨迹不同”，在物理学中研究物体运动时有很好的运用.比如从正在飞行的飞机上掉落的物体，在地面视角来看，该物体的运动轨迹是抛物线；但是从飞机的视角来看，该物体是竖直降落的，故可以此为依据，计算物体的降落时间.其实，数学中研究动点运动轨迹的相关问题时也可以运用“相对运动”的观点.
（1）在平面直角坐标系中，圆上有动点，已知定点为.在研究“最大值”问题时，
（i）如果借助两直线的夹角公式（其中为已知两直线的斜率，为两直线的夹角，），试求出用点横坐标表示的函数，并求出其最大值及取得最大值时点的坐标；
（ii）如果运用“相对运动”的观点，视点位置不变，点为动点，试分析何时取得最大值，并给出其最大值；
（2）在平面直角坐标系中，有一动椭圆始终保持与轴正半轴、轴正半轴相切，已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，试求出该椭圆中心点的轨迹方程.
解：（1）（i）如图1，由
可知，
所以

又且，
则，设，
则，
故当且仅当即时，有最大值，此时点为；
（ii）如图2，视点固定，点为动点时，可等同于原坐标轴绕旋转，
故点在半径为1的圆上运动，
当所在直线与该圆相切时，最大，此时，
即，与（i）中结果一致.
（2）如图3，用“相对运动”的思想，可以视是定点，且为新的坐标原点，

让椭圆长轴落在新轴，短轴落在新轴，易知椭圆方程为，
此时点（原坐标原点）为与该椭圆相切的两条相互垂直切线的交点，
设为，当斜率均存在时，设两斜率为，
故的方程为，
与联立消有：，
其，
化简有：，
上式整理为关于的二次三项式：，
同理，
故为关于的方程的两不等实根，
于是，则；
当分别平行坐标轴时，易知可取，也满足.
综上可知，在新坐标系下，点始终与点距离为定值，
还原至原坐标系，点也始终距离点为定值，
但由于点始终在第一象限，
则点所在轨迹方程为，表示一段椭圆弧.